精品解析：浙江省金华市东阳市横店镇四校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2023学年第二学期八年级数学期中练习卷 友情提示： 1．全卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，考试时间120分钟，试卷满分120分． 2．试题卷中所有试题的答案书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效． 3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C D. 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A B. C. D. 5. 2021年，党中央国务院赋予浙江省建设“共同富裕示范区”的光荣使命．共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕，下列有关人均收入的统计量特征中，最能体现共同富裕要求的是（ ） A. 平均数大，方差大 B. 平均数大，方差小 C 平均数小，方差小 D. 平均数小，方差大 6. 在ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出ABCD是矩形，那么这个条件是（ ） A. AB=BC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB⊥BD 7. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. 与相交 D. 与相交 8. 如图在平四边形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对称点为点，延长和交于点，连接交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图正方形的边长为，是对角线上的点，连结，过点作交线段于点．当时，的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ） A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 卷Ⅱ 二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 使二次根式有意义的x的取值范围是_________． 12. 为积极响应国家“双减”政策，某县推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程_______． 13. 如图，在中，点D、E分别是、的中点，以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，若，，则的长为_____． 14. 如图，是菱形的对角线，P是上的一个动点，过点P分别作，的垂线，垂足分别是F和E．若菱形的周长是24，面积是12，则的值是________． 15. 已知一组数据5，9，14，8，的众数和平均数相等，则________． 16. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，点是线段上一动点，连接，已知，，当为中点时，则的长为________． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解一元二次方程： （1）； （2）． 19. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A、B均在格点上． （1）在图1中画一个以线段为对角线的正方形，点C、D为格点； （2）在图2中画一个以线段为边且面积为整数的平行四边形，点E、F为格点． 20. 为积极准备初三体育中考，某学校从报考“引体向上”项目的男生中选取了若干同学，随机分成甲、乙两个小组，每组人数相同，进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 （1） ；甲组成绩中位数 乙组成绩的中位数（填“”“”或“”）； （2）求甲组的平均成绩； （3）已知该学校初三男生有400人，请根据抽查的40人的测试成绩，估计该校初三男生测试成绩能到达9分及以上的人数． 21. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别E，F． （1）求证：EO＝FO； （2）若AE＝EF＝4，求AC的长． 22. 【基础感知】若一元二次方程的两个实数根为a，b且，求的值； 【尝试应用】已知，，…，现将两个实数根分别代入方程得：；得：； 对①式和②式分别乘以和得：；得：； 请根据以上过程算出和的值； 【拓展提升】观察、、之间的数量关系，试给出，，的数量关系，并证明． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 24. 如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值． （3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期八年级数学期中练习卷 友情提示： 1．全卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，考试时间120分钟，试卷满分120分． 2．试题卷中所有试题的答案书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效． 3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判定．最简二次根式是指被开方数不能化简的二次根式．据此判定即可． 【详解】解：A、，可化简，原式不是最简二次根式； B、，可化简，原式不是最简二次根式； C、，可化简，原式不是最简二次根式； D、不可化简，原式是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的加法，乘法计算法则和二次根式的性质求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； B、计算正确，符合题意； C、计算错误，不符合题意； D、计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加法和乘法计算，二次根式的性质化简，熟知二次根式的相关性质和运算法则是解题的关键． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 5. 2021年，党中央国务院赋予浙江省建设“共同富裕示范区”的光荣使命．共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕，下列有关人均收入的统计量特征中，最能体现共同富裕要求的是（ ） A. 平均数大，方差大 B. 平均数大，方差小 C. 平均数小，方差小 D. 平均数小，方差大 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平均数和方差定义解答即可． 【详解】解：人均收入平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求． 故选：B． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 6. 在ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出ABCD是矩形，那么这个条件是（ ） A. AB=BC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB⊥BD 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形的判定可知： 添加条件AC=BD，即可推出ABCD是矩形. 故选：B. 7. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. 与相交 D. 与相交 【答案】D 【解析】 【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可 【详解】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时， 首先应假设与不平行，即与相交． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 8. 如图在平四边形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对称点为点，延长和交于点，连接交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由平行四边形的性质得出，则，由等边对等角得出，从而求出，由折叠的性质可得，求出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案，求出是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图正方形的边长为，是对角线上的点，连结，过点作交线段于点．当时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作于，交于，根据正方形的性质得，，再判断为等腰直角三角形得到，接着利用等角的余角相等得到，于是可证明，所以，设，则，，在中用勾股定理即可算出．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作出辅助线构造是本题的关键． 【详解】解：过作于，交于，如图， 四边形为正方形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 而， ， ， ， 而， ， 在和中， ， ， 正方形的边长为，， ， 设，则，， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ） A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵、， ∴ ∵对称， ∴， ∴ ∵对称， ∴， ∴， 同理， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 如图所示， 当三点重合时，， ∴ 即 ∴四边形是菱形， 如图所示，当分别为的中点时， 设，则，， 在中，， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴，， ∴， 根据对称性可得， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形， 当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形 ∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 卷Ⅱ 二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 使二次根式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得，， 故答案为：． 12. 为积极响应国家“双减”政策，某县推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设受益学生人次的平均增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”列出方程，即可求解． 【详解】解：设受益学生人次的平均增长率为x，根据题意得： ． 故答案为：． 13. 如图，在中，点D、E分别是、的中点，以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，若，，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用三角形的中位线得到，进而求得即可求解． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点，， ∴，即， ∵以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键． 14. 如图，是菱形的对角线，P是上的一个动点，过点P分别作，的垂线，垂足分别是F和E．若菱形的周长是24，面积是12，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，如图所示，过点A作于H，连接，根据菱形的面积公式和周长公式求出，，再根据，即可推出． 【详解】解：如图所示，过点A作于H，连接， ∵菱形的周长为24， ∴， ∵菱形面积是12， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 已知一组数据5，9，14，8，的众数和平均数相等，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了平均数和众数，先确定的值，再根据平均数和众数的定义计算即可得出答案． 【详解】解：当时，众数是，则平均数是，这与众数和平均数相等不符； 当时，众数是，则平均数是，这与众数和平均数相等相符，则； 当时，众数是，则平均数是，这与众数和平均数相等不符； 当时，众数是，则平均数是，这与众数和平均数相等不符； 综上所述，， 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，点是线段上一动点，连接，已知，，当为中点时，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质，当为中点时，过点作的平行线交于，交于，证明为的中位线，得出，，再证明四边形为平行四边形，得出，，进而得出，，再证明为等边三角形，即可得出答案，熟练掌握平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：当为中点时，过点作的平行线交于，交于，如图所示： ， ∵四边形为平行四边形，且，，， ∴，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点为中点，， ∴为的中位线，， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则计算即可； （2） 利用二次根式的性质进行化简，再计算减法即可得出答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）运用分解因式法解一元二次方程即可； （2）运用配方法解一元二次方程即可． 小问1详解】 解：， 分解因式得：， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得，即， ， 解得：，． 19. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A、B均在格点上． （1）在图1中画一个以线段为对角线的正方形，点C、D为格点； （2）在图2中画一个以线段为边且面积为整数的平行四边形，点E、F为格点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的定义，画出图形； （2）根据平行四边形的定义以及题目要求，画出图形． 【小问1详解】 如下图，正方形即为所求； 理由：， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形； 【小问2详解】 如下图，四边形ABEF即为所求（答案不唯一）， 理由：，， 四边形是平行四边形， 观察图形，边上的高为， 平行四边形面积，是整数． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，正方形的判定，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 20. 为积极准备初三体育中考，某学校从报考“引体向上”项目的男生中选取了若干同学，随机分成甲、乙两个小组，每组人数相同，进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 （1） ；甲组成绩的中位数 乙组成绩的中位数（填“”“”或“”）； （2）求甲组的平均成绩； （3）已知该学校初三男生有400人，请根据抽查的40人的测试成绩，估计该校初三男生测试成绩能到达9分及以上的人数． 【答案】（1）3， （2）分 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、平均数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据计算即可，先求出甲组成绩的中位数和乙组成绩的中位数，比较即可； （2）根据平均数的求法计算即可； （3）用乘以该校初三男生测试成绩能到达9分及以上的人数所占的比例即可得出答案． 【小问1详解】 解：（人）， 甲组成绩的中位数为：（分）， 乙组成绩的中位数为：（分）， ∴甲组成绩的中位数乙组成绩的中位数； 【小问2详解】 解：甲组的平均成绩为：（分）； 【小问3详解】 解：（人）， 故估计该校初三男生测试成绩能到达9分及以上的人数为人． 21. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：EO＝FO； （2）若AE＝EF＝4，求AC的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB=CD，∠ABE=∠CDF，然后根据题意证明即可． （2）根据OE=OF=求出OE的长度，然后根据勾股定理求出AO的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出AC的长度． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABE=∠CDF， ∵AE⊥ED，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴， ∴BE=DF， ∵OB=OD， ∴OB-BE=OD-DF， ∴OE=OF． （2）∵AE＝EF＝4， ∴OE=OF＝， ∴在中，， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理． 22. 【基础感知】若一元二次方程的两个实数根为a，b且，求的值； 【尝试应用】已知，，…，现将两个实数根分别代入方程得：；得：； 对①式和②式分别乘以和得：；得：； 请根据以上过程算出和的值； 【拓展提升】观察、、之间的数量关系，试给出，，的数量关系，并证明． 【答案】基础感知：；尝试应用：，；拓展提升：，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 基础感知：先利用因式分解法解一元二次方程得出，，结合题意得出，，计算即可得出答案； 尝试应用：由基础感知得：，，再结合题意计算即可得出答案； 拓展提升：由题意得出，两边都乘以得：①， 同理可得：②，由得出，即可得出答案． 【详解】解：基础感知：∵， ∴， 解得：，， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴； 尝试应用：由基础感知得：，， ∴，； （3）猜想： 证明：一元二次方程根定义可得出，两边都乘以，得：①， 同理可得：②， 由，得：， ∵，，， ∴，即． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】任务一：平均增长率为；任务二：该零件的实际售价应定为50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：（1）设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元． 24. 如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值． （3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度． 【答案】（1）见解析 （2）72 （3） 【解析】 【分析】（1）作交EF于点G，则，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形ABCD是正方形； （2）证明得，同理得出，即可得，设，，则，，，在中，由勾股定理得，进行计算得，即可得； （3）把沿PQ翻折得，把沿PR翻折得，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得，四边形PMGD是正方形，则，，即可得，，设，则，，在中，由勾股定理得，，进行计算即可得． 【小问1详解】 证明：如图所示，作交EF于点G， 则， ∵，， ∴， ∴四边形ABCD是矩形， ∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A， ∴，， ∴， ∴四边形ABCD是正方形． 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴， 在和中， ， ∴（HL）， ∴， 在和中， ， ∴（HL）， ∴， ∴， 设，， 则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴ = = = =72． 【小问3详解】 解：如图所示，把沿PQ翻折得，把沿PR翻折得，延长DQ、MR交于点G， 由（1）（2）得，四边形PMGD是正方形，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 解得，， 即． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，矩形的判定，翻折变换的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点，本题综合性较强． 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