精品解析：2024年海南省海口市第十四中学中考三模数学试题

2024年6月海口市第十四中学教育集团中考模拟测试 数学科试题 （温馨提示：本卷满分120分，考试时间100分钟。请将答案写在答题卡上） 一、单选题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 当时， 代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 2023年9月23日晚，杭州亚运会开幕式现场，超过1.05亿名线上火炬手汇聚而成的“数字火炬手”与现场真实的火炬手一起，共同点燃亚运之火，创造了新的吉尼斯世界纪录．其中数据1.05亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下面简单几何体从正面看到的形状图是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 学校开展捐书活动，其中6名同学捐的书本数分别为2，3，1，2，6，4．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 1， 2 B. 1.5， 2 C. 2.5， 2 D. 1.5， 1.5 7. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 点A（－1，），B（－2，）在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. ＞ B. = C. ＜ D. 不能确定 9. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，的顶点坐标分别为、、，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，按此作法进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 因式分解：_________． 14. 数形结合能够把图形与数字有效结合在一起，使理解更加有效准确．如图，根据这一 思想，小明借助勾股定理把无理数表示在数轴上，点B表示的数为2，，根据图中的弧线可知，点A表示的数为__． 15. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 __． 16. 在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点处．请完成下列探究： 的大小为__________； 当四边形是平行四边形时的值为__________． 三、解答题（本大题满分72分） 17. （1）计算：． （2）解不等式组： 18. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．求成人票和儿童票每张原价多少元？ 19. 为迎接运动会，某校开设了A:篮球，B:建球，C:跳绳，D:健美操四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的同学必须选择而且只能在4中体育活动中选择一种）．将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）． （1）这次调查中，一共查了___________名学生； （2）请补全两幅统计图； （3）若该校共有1500名学生，试估计该校选择跳绳体育运动的学生有___________人． （4）若有3名最喜欢毽球运动的学生，1名最喜欢跳绳运动的学生组队外出参加一次联谊互活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），则两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率___________． 20. 亮亮和小明一起去草原骑马，如图，亮亮位于游客中心的正北方向的处，其中，小明位于游客中心的西北方向的处，亮亮向正西方向匀速步行，同时小明骑马向南偏东方向缓慢前进，他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇．（参考数据：，，，） （1）填空：______°，______°； （2）求亮亮从处到处的距离； （3）求小明从处到处的距离．（结果保留1位小数） 21. 如图1，在平行四边形中，，于，于，交于． （1）①求证：； ②若，，求的长； （2）如图2，若，求的值； （3）如图3，平行四边形外部有一点，连接、，满足，，请直接写出、和三者的数量关系． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积； （3）若以P，M，C为顶点的三角形是以为底角的等腰三角形时，求线段的长； （4）已知点Q是直线PC上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年6月海口市第十四中学教育集团中考模拟测试 数学科试题 （温馨提示：本卷满分120分，考试时间100分钟。请将答案写在答题卡上） 一、单选题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 当时， 代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，正确计算是解题的关键． 【详解】解：把代入中得， 故选：A． 3. 2023年9月23日晚，杭州亚运会开幕式现场，超过1.05亿名线上火炬手汇聚而成的“数字火炬手”与现场真实的火炬手一起，共同点燃亚运之火，创造了新的吉尼斯世界纪录．其中数据1.05亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，将1.05亿写成的形式即可，其中，n是正整数，掌握a和n的取值方法是解题的关键． 【详解】解：1.05亿，保留1位整数为1.05，小数点向左移动8位， 因此1.05亿， 故选C． 4. 下面简单几何体从正面看到的形状图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握几何体的特征是解题的关键．根据几何体的特征即可解答． 【详解】解：从正面看，看到的形状图是：， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】A、，故此选项正确． B、，故此选项错误． C、，故此选项错误． D、，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 6. 学校开展捐书活动，其中6名同学捐的书本数分别为2，3，1，2，6，4．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 1， 2 B. 1.5， 2 C. 2.5， 2 D. 1.5， 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，将所给数据从小到大排列，第三和第四个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的即为众数． 【详解】解：将6名同学捐的书本数从小到大排列：1，2，2，3，4， 6． 则这组数据的中位数为，众数为2， 故选：C． 7. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解， 故选：B． 8. 点A（－1，），B（－2，）在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. ＞ B. = C. ＜ D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小，根据题意可得：－1＞－2，则． 故选:C． 考点：反比例函数的性质． 9. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据画图过程，得到OD=OC，由等边对等角与三角形内角和定理得到∠ODC=∠OCD=，同理得到∠DOE=∠DEO=40︒，由∠OCD为△DCE的外角，得到结果． 【详解】解：∵以为圆心，长为半径画，交于点， ∴OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠AOB=40︒， ∴∠ODC=∠OCD=， ∵以为圆心，长为半径画，交于点， ∴DO=DE， ∴∠DOE=∠DEO=40︒， ∵∠OCD为△DCE的外角， ∴∠OCD=∠DEC+∠CDE， ∴70︒=40︒+∠CDE， ∴∠CDE=30︒， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用． 10. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，根据两直线平行，同旁内角互补求出，根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 11. 如图，的顶点坐标分别为、、，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，按此作法进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化-旋转，规律型-点的坐标，根据旋转找到规律是解题的关键． 观察图形可知与重合，6次一个循环利用规律即可得出答案． 【详解】解：画图可知： ，，，，， 6次一个循环， 故选C． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解． 【详解】解：由题意当0≤x≤4时， y＝×AD×AB＝×3×4＝6， 当4＜x＜7时， y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x． 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式．根据式子的特点将公因数提取出来即可． 【详解】解：式子中含有公因数， ∴， 故答案为：． 14. 数形结合能够把图形与数字有效结合在一起，使理解更加有效准确．如图，根据这一 思想，小明借助勾股定理把无理数表示在数轴上，点B表示的数为2，，根据图中的弧线可知，点A表示的数为__． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据数轴上两点距离计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 __． 【答案】##28度 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，根据切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理计算的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点处．请完成下列探究： 的大小为__________； 当四边形是平行四边形时的值为__________． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】（1）根据折叠得到∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，，进而得到∠AQP=90°，以及∠A=180°-∠B=90°，再由折叠，得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可； （2）根据题意得到DC∥AP，从而证明∠APQ=∠PQR，得到QR=PR和QR=AR，结合（1）中结论，设QR=a，则AP=2a，由勾股定理表达出AB=AQ=即可解答． 【详解】解：（1）由题意可知，∠D+∠C=180°， ∴AD∥BC， 由折叠可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR， ∴∠AQR+∠PQR=，即∠AQP=90°， ∴∠B=90°，则∠A=180°-∠B=90°， 由折叠可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ， ∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°， 故答案为：30； （2）若四边形APCD为平行四边形，则DC∥AP， ∴∠CQP=∠APQ， 由折叠可知：∠CQP=∠PQR， ∴∠APQ=∠PQR， ∴QR=PR， 同理可得：QR=AR，即R为AP的中点， 由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且AB=AQ， 设QR=a，则AP=2a， ∴QP=， ∴AB=AQ=， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形中的折叠问题，涉及了平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是读懂题意，熟悉折叠的性质． 三、解答题（本大题满分72分） 17. （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值化简计算即可． （2）根据解不等式组的基本方法解答即可． 本题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值化简，解不等式组，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，解不等式组是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2）解： 解，得， 解，得， 该不等式组的解集为． 18. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．求成人票和儿童票每张原价多少元？ 【答案】成人票每张原价40元，儿童票每张原价25元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，根据第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元：第二个旅游团有40名成人和50名儿童，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，由题意得： ， 解得：， 答：成人票每张原价40元，儿童票每张原价25元． 19. 为迎接运动会，某校开设了A:篮球，B:建球，C:跳绳，D:健美操四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的同学必须选择而且只能在4中体育活动中选择一种）．将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）． （1）这次调查中，一共查了___________名学生； （2）请补全两幅统计图； （3）若该校共有1500名学生，试估计该校选择跳绳体育运动的学生有___________人． （4）若有3名最喜欢毽球运动的学生，1名最喜欢跳绳运动的学生组队外出参加一次联谊互活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），则两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率___________． 【答案】（1） （2） 补图如下： （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了扇形图与概率的知识，解题时要注意认真审题，理解题意；在用列举法求概率时，一定要注意不重不漏．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数； （2）用整体减去A、C、D类所占的百分比，即可求出B所占的百分比；用总人数乘以C所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形； （3）让全校总人数去乘以C组所占的百分比即可解题 （4）根据题意采用列举法，举出所有的可能，注意要做到不重不漏，再根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的总学生是（名）； 故答案为：． 【小问2详解】 B所占的百分比是， C的人数是：（名）， 【小问3详解】 解：（人） 故答案为：． 【小问4详解】 用，，表示名喜欢毽球运动的学生，B表示名跳绳运动的学生，则从人中选出人的情况有：（，），（，），（，B），（，），（，B），（，B），共计种，选出的人都是最喜欢毽球运动的学生有（，），（，），（，）共计种，则两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率． 故答案为：． 20. 亮亮和小明一起去草原骑马，如图，亮亮位于游客中心的正北方向的处，其中，小明位于游客中心的西北方向的处，亮亮向正西方向匀速步行，同时小明骑马向南偏东方向缓慢前进，他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇．（参考数据：，，，） （1）填空：______°，______°； （2）求亮亮从处到处的距离； （3）求小明从处到处的距离．（结果保留1位小数） 【答案】（1）45，30 （2）亮亮从处到处的距离为； （3）小明从处到处的距离约为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据方位角的定义即可得到结论； （2）根据正切的定义求出的长即可； （3）过点作交延长线于点，设，过点作于点，得矩形，可得，，，在中，由，得出，解得，进而求得，然后利用30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得结果． 【小问1详解】 解：由题意，得：，， 故答案为：45，30； 【小问2详解】 解：根据题意可知：，， ， 答：亮亮从处到处的距离为； 【小问3详解】 解：如图，过点作交延长线于点， ，， 是等腰直角三角形， ， 设， 过点作于点，得矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ． 答：小明从处到处的距离约为． 21. 如图1，在平行四边形中，，于，于，交于． （1）①求证：； ②若，，求的长； （2）如图2，若，求的值； （3）如图3，平行四边形外部有一点，连接、，满足，，请直接写出、和三者的数量关系． 【答案】（1）①见解析；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①利用直角三角形的性质即可证明；②利用全等三角形的性质及勾股定理即可求解． （2）作辅助线，证明，，利用相似三角形的性质即可求解． （3）作辅助线，证明四边形为矩形，，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ①证明：，， ，， 在中，， 在中，， ， 又， ； ②解：， ， 在中，， ， ， ； 【小问2详解】 解：过作交于点，如图， ， ，， ，，， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：，理由如下： 过点作于点，交于点，连接，交于点，交于点，如图所示， 四边形为平行四边形， ∴， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ∵， ∴， ，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积； （3）若以P，M，C为顶点的三角形是以为底角的等腰三角形时，求线段的长； （4）已知点Q是直线PC上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）先求出点坐标，进而求出直线的解析式，设，则：，根据列出方程，求出的值，进而求出点坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）分和两种情况，进行讨论求解； （4）求出直线的解析式，设，利用平移思想求出点坐标，进而求出点坐标，再验证即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，过点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∵， ∴，即：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 设，则：， ∴， ①当时，过点作，则， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：（舍去）或； ∴； ②当时，过点作，则：， ∵， ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 故； 【小问4详解】 存在： 由（3）可知：，， 设直线的解析式为，把代入得：， ∴， 设， 若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形为矩形， ∴， ∵点先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点， ∴将点先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 则四边形为矩形，满足题意； 故． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及求二次函数解析式，一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，掌握相关性质，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $