精品解析：2024届吉林省吉林市第一中学高三一模数学试题

2024年（21级）吉林一中适应性训练（一） 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据即可求解. 【详解】， 因为中只有2个元素，则，所以. 故选：B 2. 已知向量，则“ ”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】向量，，解得， 所以“ ”是 “”的充分不必要条件. 故选：A 3. 统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用原则列出不等式，求解即得. 【详解】按照原则可知，，解得， 所以的最大值为4. 故选：B. 4. 投掷6次骰子得到的点数分别为1，2，3，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由中位数的概念与计算方法，结合题意，得到，即只能取5和6，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】将6个数由小到大排列，中位数是第3个数和第4个数的平均数， 因为，且中位数为4，所以第3个数和第4个数只可能是3，5，x中的较小的两个数， 又因为，所以，即只能取5和6，故所求概率为. 故选：B． 5. 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况. A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知将丙和丁看成一个整体，按丙和丁的位置分4种情况讨论，结合分类计数原理计算即可求解. 【详解】由题意知，将丙和丁看成一个整体， 分4种情况分析： ①丙和丁的整体分别为第1、2名，有种情况； ②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第4、5名，有种情况； ③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、5名，有种情况； ④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、3名，有种情况； 所以共有种情况. 故选：B 6. 已知圆，过点的直线l与圆O交于B，C两点，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可得，结合图形得出，然后根据转化法利用向量积求出向量的模即可 【详解】如图，在中，，，，，， 所以. 故选：D 7. 已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形一边中线等于这一边的一半，则这是一个直角三角形，可得是直角，再利用双曲线的定义，及已知的两焦半径关系，结合勾股定理，可得长度关系，即可求得离心率. 【详解】 设双曲线右焦点为，连接， 由题意可知关于原点对称，所以， 所以是直角，由，可设，则，即 由双曲线的定义可知：，， 则，， 由是直角得：， 则，解得：， 又由是直角得：， 则，解得：，所以离心率 故选：B. 8. 设函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判定的奇偶性和单调性，再构造函数，利用单调性比较的大小，最后得出的大小关系即可. 【详解】由，易知是偶函数． 当时，，当时，显然； 当时，，，所以，所以在上单调递增． 设函数，则，当时，；当时，, 所以在上单调递增，在上单调递减． 故，则，所以，即，故，故． 故选:B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程的两个复数根分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】解方程求出，再结合共轭复数、模的意义及复数运算逐项判断即可各个选项. 【详解】方程可转化为，解得或， 不妨设，， 对于A，显然，故A正确； 对于B，，故B 错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则m与n相交或异面 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则m与n平行或相交或异面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判断，逐一判断即可． 【详解】选项A：若，，则m与n相交或异面，A正确． 选项B：若，，则，又，α，β是两个不同的平面，所以，B正确． 选项C：若，，则或，故C错误． 选项D：若，，，则m与n平行或相交或异面，故D正确． 故选：ABD. 11. 若x，．且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，若，，，当且仅当时等号成立，A正确； 对于B，， ，，B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，C错误； 对于D，，则有，变形可得， 故，当且仅当时，取等号，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 【答案】165 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式和组合数的性质可求解. 【详解】因为二项式展开式的通项为（且）， 又， 所以 . 故答案为：165 13. 已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由的一个对称中心为，可得，，再由在上单调递增，得，，由上两式可得答案. 【详解】因为的一个对称中心为，所以，， 即，，①； 又，则，在上单调递增， 所以，， 即，解得，，②； 又，结合①②可得，的最小值为. 故答案为：. 14. 已知抛物线E：的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（A点位于B点右方）.若为的角平分线，则______；直线l的斜率为______. 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】先根据抛物线得性质，求直线与轴所成得角，再利用焦半径公式，可求及点坐标，进一步可得直线即直线的斜率. 【详解】如图： 延长交抛物线E于点D，连接，过点A作轴于点H. 设直线：，代入得：， 设，，则，， 所以. 所以直线与关于x轴对称． 又因为为的角平分线，所以， 所以， 由抛物线定义可知：， 所以，则，. 又因为，所以或． 又因为，所以直线l的斜率或， 所以直线l的斜率为. 故答案为4；. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是推导直线，关于轴对称，求得，利用焦半径公式求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（13分） 15. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱的轴截面是边长为6的正方形，，点在线段上运动． （1）证明：； （2）当时，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）连接并延长，交于，交圆柱侧面于， ，为圆柱的高， 两两垂直，以为原点，过点做平行线为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系， ，， 在中，由射影定理得 ， ， 从而， ， 设，， ， . （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，由得到； （2）先由，得到点是线段的中点，求出的一个方向向量和平面的一个法向量的坐标夹角余弦的绝对值，即为与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，， ，得，即点是线段的中点， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设的一个方向向量为，于是得： ， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 16. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得答案； （2）由正弦定理得，，代入三角形面积公式化简得，结合角的范围求出答案. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 所以， 即， 化简得：，即， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得：， 所以，， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以. 17. 某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，. （1）求和. （2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关， 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 未建立 合计 （3）为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为的样本（假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的倍，且新列联表中的数据都为整数）.若要使得依据的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定的最小值 参考公式及数据：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）， （2） 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 20 4 24 未建立 4 8 12 合计 24 12 36 有关； （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式结合全概率公式即可得到答案； （2）由（1）所计算的概率即可完成列联表，再由独立性检验的知识即可得到结论； （3）利用独立性检验的知识可得，在结合，即可得到答案. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 由于，解得，所以. ，解得. 【小问2详解】 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 20 4 24 未建立 4 8 12 合计 24 12 36 零假设为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关. 根据列联表中的数据，经计算得到. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 【小问3详解】 ，解得. 要使新列联表中的数据都为整数，则需. 又因为，所以的最小值为5，故的最小值是 18. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为． （1）求椭圆的方程． （2）设为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：． 【答案】（1） （2） 由（1）可知． 设，直线的方程为． 由，得， 则，所以． 由，得， 所以，则， 所以点在线段的垂直平分线上，即．易知． 设，则， 则．① 又点在直线上，所以， 则， 所以，则． 整理，得．②由①②，得． 所以，则，所以，故． 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，由已知可得，求解即可得椭圆的方程． （2）设，直线的方程为，联立直线与椭圆方程可得，由根与系数的关系可得，由已知可得点在线段的垂直平分线上，易得，设，可得，利用点在直线上，可得，计算可得，可得，可证结论. 【小问1详解】 设椭圆的方程为． 由题意可知，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】难点点睛：此类题目的解题思路并不困难，一般是利用联立方程，得根与系数的关系，进行化简，难点是计算量较大，基本都是字母参数的运算，比较复杂，需要有较强的计算能力. 19. 点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C：上的点作曲线C的切线与曲线C交于，过点作曲线C的切线与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知． （1）求数列、的通项公式； （2）记点到直线（即直线）的距离为，求证：； 【答案】（1），. （2） 由（1）可知，， 所以直线的方程为：， 化简得：. 所以， 所以， 所以. 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与曲线方程求出切点的坐标，进而可得出数列、的通项公式. （2）求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出，再利用等比数列前 项和公式求解即得. 【小问1详解】 曲线上点处的切线的斜率为，故得到的切线方程为， 联立方程组，消去得：， 化简得：，所以或. 由得点的坐标为， 由得点得坐标为， 所以. 故数列是以1为首项，为等比的等比数列， 所以，. 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：利用导数求函数在其上一点处的切线方程的基本步骤如下： （1）对函数求导得； （2）计算切线的斜率； （3）利用点斜式写出切线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年（21级）吉林一中适应性训练（一） 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则“ ”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 投掷6次骰子得到的点数分别为1，2，3，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况. A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 6. 已知圆，过点的直线l与圆O交于B，C两点，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程的两个复数根分别为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则m与n相交或异面 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则m与n平行或相交或异面 11. 若x，．且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 13. 已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为__________. 14. 已知抛物线E：的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（A点位于B点右方）.若为的角平分线，则______；直线l的斜率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（13分） 15. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱的轴截面是边长为6的正方形，，点在线段上运动． （1）证明：； （2）当时，求与平面所成角的正弦值． 16. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 17. 某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，. （1）求和. （2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关， 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 未建立 合计 （3）为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为的样本（假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的倍，且新列联表中的数据都为整数）.若要使得依据的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定的最小值 参考公式及数据：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为． （1）求椭圆的方程． （2）设为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：． 19. 点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C：上的点作曲线C的切线与曲线C交于，过点作曲线C的切线与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知． （1）求数列、的通项公式； （2）记点到直线（即直线）的距离为，求证：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $