精品解析：四川省泸州市龙马潭区五校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题

2024年春期龙马潭区五校联考八年级半期模拟质量监测数学试卷 考试时间120分钟，试卷总分120分 一、选择题（本题共12个小题，每个小题3分，共36分） 1. 下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 6，7，8 C. 2，3，4 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【详解】A. ，故不为直角三角形； B. 62+72≠82，故不为直角三角形； C. 22+32≠42，故不为直角三角形； D. 82+152=172，故为直角三角形． 故选D． 2. 下列四个二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式定义与识别，最简二次根式必须满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母；根据最简二次根式定义逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式满足的条件是解决问题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加、乘、除运算法则计算即可作答． 【详解】A项，，计算正确，故本项不符合题意； B项，，计算正确，故本项不符合题意； C项，，计算正确，故本项不符合题意； D项，，原计算错误，故本项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式加、乘、除运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的基础． 4. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，错误； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，熟记定理是解题的关键． 5. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ） A. 22 B. 20 C. 16 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=6， ∵△OCD的周长为16， ∴OD+OC=16−6=10， ∵BD=2DO，AC=2OC， ∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=20， 故选B． 6. 如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的对角线的性质，可得∠ACD＝∠ACB＝45°，进而可得∠ACE的大小，再根据三角形外角定理，结合CE＝AC，易得∠CEF＝22.5°，再由三角形外角定理可得∠AFC的大小． 【详解】解：AC是正方形的对角线， ∴∠ACD＝∠ACB＝45°， ∴∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝135°， 又∵CE＝AC ∴∠CEF＝22.5°， ∴∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°； 故选B． 【点睛】此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质． 7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可知，是直角三角形， 在中，，， ∴，， 在中，，，则， ∴， ∴小巷的宽为， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键． 8. 估计的值应在（ ） A. 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，先进行二次根式的混合运算，再进行无理数的估算即可得到答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的值应在1与2之间． 故选：B 9. 实数在数轴上的位置如图所示，化简： （ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、二次根式的性质、实数与数轴，熟练掌握绝对值和二次根式的性质是解题的关键．由数轴得出，求出，，代入求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ，， ． 故选：D． 10. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（ ） A. 19 B. 13 C. 42 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查“赵爽弦图”为背景的代数式求值，涉及勾股定理、三角形面积及正方形面积等知识，熟练掌握“赵爽弦图”图形构成，数形结合，掌握代数式求值方法是解决问题的关键． 根据题意，求出大正方形边长、直角三角形面积、大正方形面积，进而得到，，利用完全平方和公式展开后，代入求值即可得到答案． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， ，且直角三角形的斜边长为， 大正方形的边长为，则， 大正方形的面积为16，小正方形的面积是3， ，即，则， ， 故选：D． 11. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（ ） A 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE＝∠DEA，再求出∠OAF＝30°，在直角三角形OAF中即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD， ∴AD＝DE，∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠AOD＝90°， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°−150°）＝15°，∠OAF＝45°−15°＝30°， ∴AF＝2OF＝2， ∴OA＝ ＝＝， ∴AB＝OA＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法；根据正方形和等边三角形的性质弄清各个角之间的关系是解决问题的关键． 12. 如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，连接，将菱形翻折，使点落在线段上的点处，折痕交于，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，交延长线于点，根据在边长为4的菱形中，，是边的中点，得到，从而得到，，进而利用锐角三角函数关系求出的长，利用勾股定理求得的长，即可得出的长． 【详解】解：如图所示，过点作，交延长线于点， ∵在边长为4的菱形中，，是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、折叠的性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，利用勾股定理计算求解． 二、填空题（本题共4个小题，每个小题3分，共12分） 13. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，涉及解一元一次不等式等知识，先由二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：若二次根式有意义，则的取值范围是，解得， 故答案为：． 14. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 【答案】20 【解析】 【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：， ， ，， ， 点和点分别是和的中点， ，，是的中位线， ， ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质． 15. 如图，长方形中，，，边在数轴上，表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，表示的数为， ∴，， ∴， ∴点表示点数． 故答案为：． 16. 如图，在菱形中， ，，E是边的中点，P，M分别是上的动点，连接，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，记的交点为，作关于的对称点，连接，作于，，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小为，由，可求，然后作答即可． 【详解】解：如图，记的交点为，作关于的对称点，连接，作于， ∵菱形， ∴，，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题有3个小题，共18分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先由平方差公式及二次根式性质化简，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及平方差公式、利用二次根式性质化简、二次根式乘法与二次根式减法运算等知识熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分母有理化是解题的关键． 19. 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据推出 ≌，得出对应边相等即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴≌， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；解题的关键是证明 ≌． 四、（本大题共2个小题，共14分） 20. 已知，，求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出． ，再根据进行求解即可． 【详解】解：，， ． ． ． 21. 已知：某校有一块四边形空地，如图现计划在该空地上种草皮，经测量，，若每平方米草皮需元，问需投入多少元? 【答案】3600元． 【解析】 【分析】根据勾股定理得出BD的长，再利用勾股定理的逆定理得出△DBC是直角三角形，进而求出总的面积求出答案即可． 【详解】解：连接BD ∵∠A=90° ∴DB2=AB2+AD2=25 ∵BD2+BC2=25+122=169=132= CD2 ∴∠DBC=90° ∴S四边形 = ， ∴36×100=3600 答：需投入3600元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理应用以及勾股定理的逆定理，得出△DBC是直角三角形是解题关键． 五、（本大题共2个小题，共16分） 22. 如图，一艘渔船正以的速度由西向东追赶鱼群，在点A处看见小岛C在船的北偏东方向上，后，渔船行至点B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东方向上； （1）求点A处与小岛C之间的距离； （2）渔船到达点B处后，航行方向不变，则渔船继续航行多长时间才能与小岛C之间的距离最短？ 【答案】（1） （2）小时 【解析】 【分析】（1）如图1，记的交点为，由题意知，，，，则，，，则，，根据，计算求解即可； （2）如图2，作的延长线于，则与小岛C之间的最短距离为，由，可得，进而可求时间． 【小问1详解】 解：如图，记的交点为， 由题意知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴A处与小岛C的距离是． 【小问2详解】 解：如图，作的延长线于， ∴与小岛C之间的最短距离为， ∴， ∴， ∵， ∴渔船继续航行小时或（10分钟）才能与小岛C之间的距离最短． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，等角对等边，垂线段最短等知识．熟练掌握解直角三角形的应用，三角形内角和定理，等角对等边，垂线段最短是解题的关键． 23. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，，然后由面积法求出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：， ，即， 四边形是平行四边形， ∴，， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形矩形， ，， ，，， ， 为直角三角形，， ， ，即，解得， ． 六、（本大题共2个小题，共24分） 24. 观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： ，，，． （1）观察算式规律，计算、 ； ； （2）用含正整数 n 的代数式表示上述算式的规律 ； （3）计算： ． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算中的规律探究： （1）根据题干给定的等式，进行作答即可； （2）根据题干给定的等式，确定相应的规律作答即可； （3）先根据规律化简各式，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：；； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，可得：或； 【小问3详解】 ． 25. 如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒． （1）求边上高的长度； （2）连接，，当为何值时，四边形为菱形； （3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形． 【答案】（1）； （2）当t为时，四边形为菱形； （3）当t为或时，四边形为正方形． 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得出．再解，即可求出的长度； （2）先证明四边形为平行四边形，则当时，四边形为菱形．根据列出方程，解方程即可； （3）先证明四边形为矩形，则当时，四边形为正方形．根据列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴． 在中， ， ∴， 由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 解：∵点M、N分别以A、C为起点，/秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形． ∵，， ∴， ∴， 解得． 所以当t为时，四边形为菱形； 【小问3详解】 解：∵于P，于Q，， ∴四边形为矩形， ∴当时，四边形为正方形． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或． 所以当t为或秒时，四边形为正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、菱形的判定、正方形的判定，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春期龙马潭区五校联考八年级半期模拟质量监测数学试卷 考试时间120分钟，试卷总分120分 一、选择题（本题共12个小题，每个小题3分，共36分） 1. 下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 6，7，8 C. 2，3，4 D. 8，15，17 2. 下列四个二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C D. 4. 下列命题中，正确是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 5. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ） A. 22 B. 20 C. 16 D. 10 6. 如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）． A. B. C. D. 8. 估计的值应在（ ） A. 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间 9. 实数在数轴上的位置如图所示，化简： （ ） A. B. C. D. 1 10. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（ ） A. 19 B. 13 C. 42 D. 29 11. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 3 12. 如图，在边长为4菱形中，，是边的中点，连接，将菱形翻折，使点落在线段上的点处，折痕交于，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 二、填空题（本题共4个小题，每个小题3分，共12分） 13. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 14. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 15. 如图，长方形中，，，边在数轴上，表示数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为__________． 16. 如图，在菱形中， ，，E是边的中点，P，M分别是上的动点，连接，则的最小值是____________． 三、解答题（本大题有3个小题，共18分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：． 四、（本大题共2个小题，共14分） 20. 已知，，求的值． 21. 已知：某校有一块四边形空地，如图现计划在该空地上种草皮，经测量，，若每平方米草皮需元，问需投入多少元? 五、（本大题共2个小题，共16分） 22. 如图，一艘渔船正以的速度由西向东追赶鱼群，在点A处看见小岛C在船的北偏东方向上，后，渔船行至点B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东方向上； （1）求点A处与小岛C之间的距离； （2）渔船到达点B处后，航行方向不变，则渔船继续航行多长时间才能与小岛C之间的距离最短？ 23. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 六、（本大题共2个小题，共24分） 24. 观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： ，，，． （1）观察算式规律，计算、 ； ； （2）用含正整数 n 的代数式表示上述算式的规律 ； （3）计算： ． 25. 如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒． （1）求边上高的长度； （2）连接，，当为何值时，四边形为菱形； （3）作于，于，当何值时，四边形为正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $