预习03 集合的基本运算（七大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习03集合的基本运算 一、交并补集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．补集 （1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. （2）补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 二、并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 考点01 并集的运算 【方法点拨】求集合并集的方法：（1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；（2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 【例1】已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若集合，，则 ． 【变式1-2】设集合，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    【变式1-3】已知集合，，则 ． 考点02 交集的运算 【方法点拨】集合交集的注意点：（1）求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果；（2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰． 【例3】已知集合，，则 【例4】若集合，则 . 【变式2-1】设集合，则集合的子集个数为 . 【变式2-2】若集合或，则 【变式2-3】已知集合，，则 ． 考点03 补集的运算 【方法点拨】①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解 【例5】设集合，则 ． 【例6】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知全集，，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    【变式3-2】设全集，集合，那么 . 【变式3-3】已知集合，且，则实数的最大值为 ． 考点04 交集、并集、补集的综合运算 【方法点拨】（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 【例7】已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 【例8】己知全集，集合，集合，则 ， ． 【变式4-1】已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知集合． (1)求； (2)求． 考点05 由集合的并集、交集求参数 【方法点拨】借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍 【例9】已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ． 【例10】已知集合，若，求实数的值及. 【变式5-1】已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 【变式5-2】设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 【变式5-3】已知集合和，若，，分别求实数的值. 考点06 由集合的补集求参数 【例11】已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例12】设集合，，，若，则 . 【变式6-1】设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，且，，，则 . 【变式6-3】已知集合，，全集，且， (1)求集合； (2)求. 考点07 由集合的并集、交集的性质求参数 【方法点拨】转化为，转化为 【例13】已知集合，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】已知集合. (1)若，求实数的值及集合； (2)若且，求实数和满足的关系式. 【变式7-1】（多选）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式7-2】已知，设集合，集合，若，则 . 【变式7-3】已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 一、单选题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 3．设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知M，N均为的子集，若存在使得，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知集合，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 8．已知集合，则 . 9．已知全集，且，，，则集合       ． 四、解答题 10．已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 11．已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 12．已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 13．设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 14．设集合，，或，全集. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数b的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习03集合的基本运算 一、交并补集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．补集 （1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. （2）补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 二、并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 考点01 并集的运算 【方法点拨】求集合并集的方法：（1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；（2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 【例1】已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由得或，解得：或， 若，则，不符合题意； 若，，从而， 所以中所有元素之和为4， 故选：C． 【例2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 故选：A. 【变式1-1】若集合，，则 ． 【答案】; 【详解】由集合的并集定义可得，因为，， 所以， 故答案为：. 【变式1-2】设集合，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    【答案】 【详解】由题意知，图中阴影的部分表示为集合， 又， 所以. 故答案为： 【变式1-3】已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】集合，， 所以. 故答案为： 考点02 交集的运算 【方法点拨】集合交集的注意点：（1）求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果；（2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰． 【例3】已知集合，，则 【答案】 【详解】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以. 故答案为：. 【例4】若集合，则 . 【答案】 【详解】, 故答案为：. 【变式2-1】设集合，则集合的子集个数为 . 【答案】4 【详解】由题意可得，故的子集个数为. 故答案为：4. 【变式2-2】若集合或，则 【答案】或 【详解】因为或， 所以或， 故答案为：或. 【变式2-3】已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】提示：由，则是偶数，故； 再由，则是奇数且不小于，即， 故． 故答案为：. 考点03 补集的运算 【方法点拨】①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解 【例5】设集合，则 ． 【答案】/ 【详解】， 则. 故答案为：. 【例6】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合或，， 所以， 故选：B． 【变式3-1】已知全集，，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    【答案】 【详解】全集，，，阴影部分表示， 或，. 故答案为：. 【变式3-2】设全集，集合，那么 . 【答案】 【详解】由全集，可得集合表示直线上的点构成的集合， 又由，可得且，所以集合表示直线上除去点之外的点构成的集合，所以. 故答案为：. 【变式3-3】已知集合，且，则实数的最大值为 ． 【答案】/0.5 【详解】由已知，由得，即．∴的最大值为． 故答案为：． 考点04 交集、并集、补集的综合运算 【方法点拨】（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 【例7】已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得， 所以， 故选：C. 【例8】己知全集，集合，集合，则 ， ． 【答案】 【详解】由全集， 集合，集合， 可得，则，. 故答案为：；. 【变式4-1】已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合的元素为， 而，，则， 得， 故所求集合为. 故选：C. 【变式4-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得：，，， 或，或， 所以，故A错误； 或，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 【变式4-3】已知集合． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以； （2）， ． 考点05 由集合的并集、交集求参数 【方法点拨】借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍 【例9】已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，且为单元素集，所以， 所以的最小值为． 故答案为：． 【例10】已知集合，若，求实数的值及. 【答案】， 【详解】因为，所以且， 又 ，所以或，解得或； 当时，，，则，与已知矛盾，舍去； 当时，，，集合不满足集合的互异性，舍去； 当时，，，则，满足题意； 综上，，此时. 【变式5-1】已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 【答案】 【详解】由题意可知：且， 当，则；当，则；当，则； 若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去； 若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去； 若且，则，故，解得或（舍去）； 综上所述：. 故答案为：. 【变式5-2】设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 【答案】(1)， (2). 【详解】（1）因为全集为R，，所以或. 当时，集合. 所以，或； （2）若，则所以. 所以的集合为. 【变式5-3】已知集合和，若，，分别求实数的值. 【答案】. 【详解】因为，，则3是方程， 根据韦达定理得另一根为，则，所以， 所以，故是一元二次方程的两个实数根， 所以，即， 所以． 综上知. 考点06 由集合的补集求参数 【例11】已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：C. 【例12】设集合，，，若，则 . 【答案】 【详解】由可得，由于，所以，所以，解得， 故答案为： 【变式6-1】设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：. 故选：A. 【变式6-2】已知，且，，，则 . 【答案】 【详解】由题意得， 又，故， 又，故，且，， 因为，故，， 因为，故，， 综上：，画出韦恩图如下： 故答案为： 【变式6-3】已知集合，，全集，且， (1)求集合； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以. （2），由（1）知， . 考点07 由集合的并集、交集的性质求参数 【方法点拨】转化为，转化为 【例13】已知集合，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，所以，又，所以， 故选:C. 【例14】已知集合. (1)若，求实数的值及集合； (2)若且，求实数和满足的关系式. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）若， 则， 所以， 解得， 所以， 综上：，； （2）若，则，此时， 又，所以， 即， 所以， 所以实数和满足的关系式为. 【变式7-1】（多选）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【详解】， 因为，所以， 当时，， 当时，， 则或，所以或， 综上所述，或或. 故选：ABD. 【变式7-2】已知，设集合，集合，若，则 . 【答案】2 【详解】集合，集合，，则是的子集， 当时，等式不成立，舍去， 当时，解得，此时，，满足题意， 故． 故答案为：2． 【变式7-3】已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，，或， 所以 （2）若，则， ①当时，； ②，则，. 综上所述，或． 一、单选题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 2．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图中阴影部分表示的集合为. 故选：D． 3．设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，所以，，则， ，， . 故选：A. 4．已知M，N均为的子集，若存在使得，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，又因为，所以，故，故A正确； 由于题目条件是存在，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故BCD错误； 故选：A. 5．已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：    对于A：，A错误；对于B：，B错误； 对于C：，C正确；对于D：； D错误； 故选：C. 二、多选题 6．已知集合，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，所以，故C错误； 由于，，故， 又因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 7．设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】当，，，时，满足， 此时，不是的子集，所以A、B不一定成立； ，，所以C不一定成立； 对于D，若，则，但，因为， 所以，于是，所以， 同理若，则，， 因此，成立，所以D成立. 故选：ABC. 三、填空题 8．已知集合，则 . 【答案】． 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为： 9．已知全集，且，，，则集合       ． 【答案】 【详解】全集， ，则，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 10．已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），，， 则有 ； （2）； （3），. 11．已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【详解】（1）依题意，集合，， 所以，或， 所以或. （2）由于，若， 则. 12．已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，， 故； （2）选①，，则， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选②，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选③，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是. 13．设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且，+ 解得，所以实数m的取值范围是． 14．设集合，，或，全集. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，解得， 所以a的取值范围是； （2），因为，所以， 所以，解得， 所以b的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$