预习05全称量词和存在量词（七大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019必修第一册）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习05全称量词和存在量词 一、全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 二、存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 三、命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定； 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是全称量词命题． 考点01 判断是否为全称量词命题与存在量词命题 【方法点拨】判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断． 【例1】（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 【例2】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【变式1-1】下列命题中，是全称量词命题的是 ；是存在量词命题的是 (填序号). （1）每一个矩形的对角线都互相平分；（2）有些集合无真子集；（3）能被8整除的数也能被2整除. 【变式1-2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【变式1-3】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于； (2)有的速度方向不定； (3)对任意直角三角形的两锐角，都有． 考点02 判断全称量词命题的真假 【方法点拨】要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可 【例3】下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【例4】（多选）下列命题是全称量词命题且为真命题的是（    ） A． B． C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．对任意，方程恰有一解 【变式2-1】（多选）下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（    ） A．菱形的对角线互相垂直 B．， C．， D．对任意， 【变式2-2】关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 【变式2-3】（多选）下列全称量词命题中是真命题的有 （　　） A．在实数范围内负数不能开根号 B．对任意的实数，都有 C．二次函数的图象与x轴恒有交点 D．，，都有. 考点03 判断存在量词命题的真假 【方法点拨】判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题 【例5】（多选）下列命题是假命题的有（    ） A． B． C． D．，方程恰有一解 【例6】（多选）下列四个命题是假命题的（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．有一个无理数，它的立方是有理数 C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数 D．每个三角形的内角和都是 【变式3-2】下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【变式3-3】判断下列全称（存在量词）命题的真假： (1)，； (2)有些偶数能被整除； (3)所有的对角线互相垂直的四边形是菱形； (4)有些三角形是锐角三角形. 考点04 量词命题的否定及其真假 【方法点拨】对量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称（存在）量词换为存在（全称）量词．②否定结论 【例7】命题“对任意的”的否定是（    ） A．不存在 B．存在 C．存在 D．对任意的 【例8】写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 【变式4-1】已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【变式4-2】关于命题“，”的否定，下列说法正确的是（    ） A．：，为假命题 B．：，为真命题 C．：，为真命题 D．：，为真命题 【变式4-3】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假. (1)：对于任意的，； (2)：至少有一个实数，使. 考点05 已知全称量词命题的真假求参数 【方法点拨】全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决； 【例9】命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【例10】对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【变式5-1】“，为真命题”是“” 的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】若命题“”为假命题，请写出一个满足条件的的值 ． 【变式5-3】已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 考点06 已知含量词命题的真假求参数 【方法点拨】存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 【例11】已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例12】（多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 考点07 已知命题否定的真假求参数 【例13】命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【例14】已知．若p的否定为假命题，求实数m的取值范围． 【变式7-1】已知命题，若p的否定为真命题，则实数m的取值范围为 . 【变式7-2】若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式7-3】已知，； (1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围 (2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 一、单选题 1．下列结论中正确的个数是（    ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”是真命题； ④命题“有一个偶数是质数”是真命题． A．0 B．1 C．2 D．3 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 3．已知命题：当时，关于x的方程没有实数解．下列说法正确的是（    ） A．p是全称量词命题，且是假命题 B．p是全称量词命题，且是真命题 C．p是存在量词命题，且是假命题 D．p是存在量词命题，且是真命题 4．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．设函数，命题“存在，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列命题中真命题的是（    ） A． B． C． D． 7．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．若命题，使得方程有实数解为假命题，则m的取值范围是 ． 9．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 10．已知命题：存在，. (1)命题的否定为________； (2)若命题是真命题，则实数的取值范围. 11．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 12．已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 13．已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习05全称量词和存在量词 一、全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 二、存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 三、命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定； 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是全称量词命题． 考点01 判断是否为全称量词命题与存在量词命题 【方法点拨】判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断． 【例1】（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 【答案】BC 【详解】由全称量词命题的否定可知，BC选项中的命题为全称量词命题，AD选项中的命题不是全称量词命题. 故选：BC. 【例2】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题； （2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题； （3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题； （4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题. 【变式1-1】下列命题中，是全称量词命题的是 ；是存在量词命题的是 (填序号). （1）每一个矩形的对角线都互相平分；（2）有些集合无真子集；（3）能被8整除的数也能被2整除. 【答案】 （1）（3） （2） 【详解】（1）中含有全称量词“每一个”，（3）中陈述的是所有满足条件的数，所以（1）（3）是全称量词命题； （2）中含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题． 故答案为：（1）（3）；（2）. 【变式1-2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【详解】（1）全称量词命题．表示为，． （2）存在量词命题．表示为一次函数，它的图象过原点． （3）全称量词命题．表示为二次函数，它的图象的开口都向上． 【变式1-3】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于； (2)有的速度方向不定； (3)对任意直角三角形的两锐角，都有． 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 【详解】（1）可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于”，故为全称量词命题． （2）含有存在量词“有的”，故是存在量词命题． （3）含有全称量词“任意”，故是全称量词命题． 考点02 判断全称量词命题的真假 【方法点拨】要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可 【例3】下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 【例4】（多选）下列命题是全称量词命题且为真命题的是（    ） A． B． C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．对任意，方程恰有一解 【答案】AC 【详解】对于，所以，故A选项是全称量词命题且为真命题； 对于B，当时，恒成立，故B选项是存在量词命题且为真命题； 对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是全称量词命题且为真命题； 对于D，当时，方程无解，故D选项是假命题. 故选：AC. 【变式2-1】（多选）下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（    ） A．菱形的对角线互相垂直 B．， C．， D．对任意， 【答案】AD 【详解】A选项，命题是全称量词命题，由菱形的性质可知是真命题，A选项正确； B选项，，当时，，命题为假命题，选项不合题意； 选项，命题为存在量词命题，不合题意. D选项，对任意，，命题是全称量词命题，且是真命题，D选项正确. 故选:. 【变式2-2】关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 【答案】A 【详解】该命题是全称量词命题，对于，， 所以该命题为真命题. 故选：A. 【变式2-3】（多选）下列全称量词命题中是真命题的有 （　　） A．在实数范围内负数不能开根号 B．对任意的实数，都有 C．二次函数的图象与x轴恒有交点 D．，，都有. 【答案】BC 【详解】在实数范围内，负数只是不能开偶次方根，可以开奇次方根，故A为假命题； 对任意的实数，，即，故B为真命题； 因为，所以二次函数的图象与x轴恒有交点，故C为真命题； 当时，，故D为假命题. 故选：BC 考点03 判断存在量词命题的真假 【方法点拨】判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题 【例5】（多选）下列命题是假命题的有（    ） A． B． C． D．，方程恰有一解 【答案】AD 【详解】A.，，故A错误； B.，得，故B正确； C.当和2时，满足成立，故C正确； D.当时，方程为，无解，故D错误. 故选：AD 【例6】（多选）下列四个命题是假命题的（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A项，由，得， 故不存在满足，故A是假命题； B项，由得，但， 故不存在满足，故B是假命题； C项，当时，， 故命题“”是假命题； D项，恒成立， 故命题“”是真命题. 故选：ABC. 【变式3-1】（多选）下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．有一个无理数，它的立方是有理数 C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数 D．每个三角形的内角和都是 【答案】AB 【详解】A中，命题：存在实数，使为存在量词命题，且为真命题，所以A正确； B中，命题：有一个无理数，它的立方是有理数为存在量词命题，且为真命题，所以B正确； C中，命题：存在一个实数，它的倒数是它的相反数为存在量词命题，但为假命题，所以C不正确； D中，命题：每个三角形的内角和都是为全称量词命题，所以D不正确. 故选：AB. 【变式3-2】下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【答案】①④ 【详解】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 【变式3-3】判断下列全称（存在量词）命题的真假： (1)，； (2)有些偶数能被整除； (3)所有的对角线互相垂直的四边形是菱形； (4)有些三角形是锐角三角形. 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)真命题 【详解】（1）由题知，为全称量词命题，当时，，故此命题为假命题. （2）由有些偶数能被整除为存在量词命题，如为偶数也能被整除，故此命题为真命题. （3）所有的对角线互相垂直的四边形是菱形为全称量词命题，但存在四边形边长不相等但对角线垂直的四边形，故此命题为假命题. （4）有些三角形是锐角三角形为存在量词命题，三角形分为锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，故此命题为真命题. 考点04 量词命题的否定及其真假 【方法点拨】对量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称（存在）量词换为存在（全称）量词．②否定结论 【例7】命题“对任意的”的否定是（    ） A．不存在 B．存在 C．存在 D．对任意的 【答案】C 【详解】“对任意的”的否定是：存在. 故选：C． 【例8】写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 【答案】(1)“，”，假命题 (2)“所有的素数都不是偶数”， 假命题 (3)“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，真命题 【详解】（1）命题的否定为“，”， 因为，可得命题的否定是假命题． （2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”， 由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题． （3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”， 若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置， 那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题． 【变式4-1】已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 【变式4-2】关于命题“，”的否定，下列说法正确的是（    ） A．：，为假命题 B．：，为真命题 C．：，为真命题 D．：，为真命题 【答案】D 【详解】因为，故命题为假命题，则为真命题； 又“，”的否定为：“”， 故选：D. 【变式4-3】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假. (1)：对于任意的，； (2)：至少有一个实数，使. 【答案】(1)答案见解析. (2)答案见解析. 【详解】（1）命题的否定为“存在，使得”， 因为， 所以恒成立，该命题为假命题. （2）命题的否定为“不存在，使得”， 解，可得，所以该命题为假命题. 考点05 已知全称量词命题的真假求参数 【方法点拨】全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决； 【例9】命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即， 且，则，由题意可得， 选项中只有选项D满足是的真子集， 所以命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是. 故选：D. 【例10】对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知：对，恒成立， 则，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-1】“，为真命题”是“” 的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，为真命题， 所以不等式在上恒成立，等价于即可， 令，则 由二次函数的性质知，对称轴方程为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 所以， 所以“为真命题”是“” 的必要不充分条件，即“，为真命题”是“” 的必要不充分条件. 故选：C. 【变式5-2】若命题“”为假命题，请写出一个满足条件的的值 ． 【答案】1（答案不唯一，1或2均可） 【详解】或， 命题“”为假命题，所以的值可取1或2. 故答案为：1. 【变式5-3】已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得时，， 则，解得， 故答案为： 考点06 已知含量词命题的真假求参数 【方法点拨】存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 【例11】已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于命题：“，”为假命题， 所以， 解得. 故选：D 【例12】（多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 【变式6-1】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题， 即对恒成立， 所以， 因为， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 故选：C 【变式6-2】已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，又，此时，故. 故选：A. 【变式6-3】命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】，，为真命题，故， 解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 考点07 已知命题否定的真假求参数 【例13】命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且； 综上所述，. 故选：B. 【例14】已知．若p的否定为假命题，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】因为p的否定为假命题，则p为真命题， 即恒成立，即恒成立， 因为，则，即的最小值为0， 所以，所以实数m的取值范围是． 【变式7-1】已知命题，若p的否定为真命题，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为p的否定为真命题，所以命题为假命题， 则方程的判别式，即 ． 故实数m的取值范围为． 故答案为： 【变式7-2】若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为“”的否定是假命题， 所以“”是真命题， 因此关于x的方程有实根， 所以，解得． 因此实数m的取值范围是． 故答案为：． 【变式7-3】已知，； (1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围 (2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)20 (2)或 【详解】（1）由题意，的否定为， 若的否定为真命题，则对任意恒成立， 所以只需，解得； （2）由（1）可得，当的否定为真命题时，，所以当为真命题时，. 若为真命题，则对于任意的，恒成立， 因此只需，解得. 因为，中有且只有一个为真命题，所以可分为两种情况： 若为真命题，为假命题，则有或，解得； 若为假命题，为真命题，则有，解得. 综上可知，实数的取值范围是或. 一、单选题 1．下列结论中正确的个数是（    ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”是真命题； ④命题“有一个偶数是质数”是真命题． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】①命题，“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，所以①正确； ②命题，“，”是全称量词命题，所以②正确； ③命题，因为， 所以“，”是假命题，即③不正确； ④命题，“有一个偶数是质数”是真命题，如2，所以④正确． 故选：D． 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 3．已知命题：当时，关于x的方程没有实数解．下列说法正确的是（    ） A．p是全称量词命题，且是假命题 B．p是全称量词命题，且是真命题 C．p是存在量词命题，且是假命题 D．p是存在量词命题，且是真命题 【答案】A 【详解】原命题的含义是“对于任意，方程都没有实数解”，但当时，方程有实数解，故命题是全称量词命题，且为假命题， 故选：A 4．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为命题“”为真命题，则对恒成立， 所以，所以， 所以命题“”为真命题的充分必要条件为，所以选项B不符合题意； 对于A选项，得不到，能得到，所以是的必要不充分条件，所以选项A符合题意； 对于C选项，得不到，也得不到，所以是的既不充分也不必要条件，所以选项C不符合题意； 对于D选项，能得到，得不到，所以是的充分不必要条件，所以选项D不符合题意. 故选：A. 5．设函数，命题“存在，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由命题“存在，”的否定为命题“任意，”， 根据题意，可得命题“任意，”为真命题， 即对任意，不等式恒成立， 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 根据二次函数的性质，当时，，即的最大值为， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 6．下列命题中真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，，所以，选项A是假命题； 对于B，时，，所以选项B是真命题； 对于C，由，得，所以选项C是真命题； 对于D，时，，所以选项D是假命题． 故选：BC． 7．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，，所以，则， 所以当时，，恒成立， 要使“，”是真命题的一个充分不必要条件，则的值要大于， 故，均可． 故选：BC． 三、填空题 8．若命题，使得方程有实数解为假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意命题，使得方程有实数解为假命题， 即，使得方程无实数解为真命题， 即，所以， 即m的取值范围为， 故答案为： 9．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】或 【解析】根据命题为假命题，转化为，恒成立，即可求解. 【详解】因为命题“，”且命题p是假命题， 可得命题“，”为真命题， 即，恒成立， 可得，即，解得或， 即实数a的取值范围是或. 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查了利用命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及恒成立问题的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 四、解答题 10．已知命题：存在，. (1)命题的否定为________； (2)若命题是真命题，则实数的取值范围. 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）命题：存在，是特称命题，其否定为全称命题，即，. （2）若命题：存在，为真命题，则，解得，所以实数的取值范围为 11．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数m的取值范围为 （2）由题意，所以即， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为 12．已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； （2）由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示，    故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 13．已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$