预习02集合间的基本关系（五大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习02集合间的基本关系 一、子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 二、集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 三、真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 四、空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 考点01 空集的概念及应用 【方法点拨】不含任何元素的集合,叫做空集，且空集是任何集合的子集,即 【例1】下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知集合，下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】下列四个集合中，(   )是空集 A． B． C． D． 考点02 有限集合子集、真子集的确定 【方法点拨】求解有限集合子集问题：①确定所求集合，是子集还是真子集； ②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出； ③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 【例3】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【例4】设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【变式2-1】设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 【变式2-2】若某集合有32个子集，则该集合有 个元素． 【变式2-3】已知集合{为10以内的素（质）数}，则集合A的所有非空子集中所有元素的和为 考点03 集合间关系的判断 【方法点拨】判断集合间关系的方法：（1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系；（2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断；（3）图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系． 【例5】设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【例6】下面关于集合的表示正确的序号是 . ①； ②； ③； ④. 【变式3-1】若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【变式3-3】若集合，，，则的关系是（    ） A．  B． C． D． 考点04 利用集合的相等求参数 【方法点拨】（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点；（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 【例7】已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【例8】已知集合，，若，则 . 【变式4-1】设，集合中含有三个元素，集合中含有三个元素，且集合与集合相等，则 . 【变式4-2】已知，，若集合，，且，则的值为 ． 【变式4-3】设集合，是否存在实数，使？ 考点05 利用集合的包含关系求参数 【例9】已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例10】设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【变式5-1】（多选）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【变式5-2】（多选）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．64 C．256 D．1024 【变式5-3】设集合，集合，若且，则实数 . 【变式5-4】已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式5-5】已知集合，，若BA，求实数m的取值范围. 一、单选题 1．下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 2．已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C． D．2 5．若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 二、多选题 6．下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 7．若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 三、填空题 8．已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 9．已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数 ． 四、解答题 10．设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 11．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 12．已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 13．已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习02集合间的基本关系 一、子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 二、集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 三、真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 四、空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 考点01 空集的概念及应用 【方法点拨】不含任何元素的集合,叫做空集，且空集是任何集合的子集,即 【例1】下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 【例2】下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 【变式1-1】（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 【变式1-2】已知集合，下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，故ABD正确； 而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误. 故选：C 【变式1-3】下列四个集合中，(   )是空集 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：集合中有一个元素0，不为空集； 选项B：集合中不存在元素，所以该集合为空集； 选项C：集合中有一个元素1，所以不为空集； 选项D：集合中存在无数个元素，所以不为空集. 故选：B. 考点02 有限集合子集、真子集的确定 【方法点拨】求解有限集合子集问题：①确定所求集合，是子集还是真子集； ②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出； ③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 【例3】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 【例4】设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【答案】答案见解析 【详解】 由，得， 解方程得或或，故集合. 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为； 由2个元素构成的子集为； 由3个元素构成的子集为, 因此集合A的子集为:，，，． 真子集为:，，. 【变式2-1】设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 【答案】D 【详解】由和可得， 所以集合A的真子集个数为个. 故选：D 【变式2-2】若某集合有32个子集，则该集合有 个元素． 【答案】5 【详解】一个集合有n个元素，则子集个数为， 某集合有32个子集，由，则该集合有5个元素. 故答案为：5 【变式2-3】已知集合{为10以内的素（质）数}，则集合A的所有非空子集中所有元素的和为 【答案】136 【详解】依题意有，，集合A的所有非空子集有， 可知集合A中的元素在各非空子集中各出现了8次， 所以集合A的所有非空子集中所有元素的和为. 故答案为：136 考点03 集合间关系的判断 【方法点拨】判断集合间关系的方法：（1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系；（2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断；（3）图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系． 【例5】设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 【例6】下面关于集合的表示正确的序号是 . ①； ②； ③； ④. 【答案】③④ 【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴，∴①不成立； ∵是点集，而不是点集，∴②不成立； ∵与都表示大于1的实数组成的集合，∴③成立； ∵与都表示奇数组成的集合，∴④成立. 故答案为：③④. 【变式3-1】若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 【变式3-2】下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合； B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合； C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合； D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合； 故选：C. 【变式3-3】若集合，，，则的关系是（    ） A．  B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，，， 显然可表示整数，而只能表示偶数；所以． 故选：A． 考点04 利用集合的相等求参数 【方法点拨】（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点；（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 【例7】已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】 由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 【例8】已知集合，，若，则 . 【答案】 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【变式4-1】设，集合中含有三个元素，集合中含有三个元素，且集合与集合相等，则 . 【答案】1 【详解】由题意可知，即， 得，，此时，那么，， 所以. 故答案为：1 【变式4-2】已知，，若集合，，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为且，故， 而集合，， 则，，则，则， 故， 故答案为： 【变式4-3】设集合，是否存在实数，使？ 【答案】存在 【详解】方法一（直接法） 由集合元素的互异性知，且，从而或． 当时，．由知． 此时，符合． 当时，，于是，即与矛盾． 综上，存在，使得． 方法二（间接法） 由，得，即 因为中或都与元素的互异性矛盾，故（Ⅰ）中只有， 代入，只有． 此时，，符合． 因此存在， 考点05 利用集合的包含关系求参数 【例9】已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】集合，集合， 若，又，所以，解得 故选：B 【例10】设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【答案】(1)，是的真子集； (2)． 【详解】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 【变式5-1】（多选）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【详解】因为， 解得，则． 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以， 若，即 若，即． 综上所述，时，的值为． 故选：ABC． 【变式5-2】（多选）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．64 C．256 D．1024 【答案】AC 【详解】当时，由得，满足，所以； 当时，由得，满足，所以； 当时，由得，不满足； 综上，则或256. 故选：AC. 【变式5-3】设集合，集合，若且，则实数 . 【答案】0或或1 【详解】，且， 或或． 当时， 且， 解得.则； 当时， 且， 解得.则 当时， 有， 解得.则； 所以或或1. 故答案为：0或或1 【变式5-4】已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 【变式5-5】已知集合，，若BA，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】当时，由，得. 当时，如图所示.    则，得，即， 综上可得，实数m的取值范围是. 一、单选题 1．下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 2．已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】，又，， 故集合为包含元素和，且为的子集， 故集合可以为：，则集合的个数是个. 故选：B. 3．设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】, 所以，，，故ABD错误,C正确, 故选：C 4．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【详解】由题意，，， 故选：D. 5．若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 二、多选题 6．下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，只有当和时，，故，D正确. 故选：BD 7．若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：三组， 含一组的有，，共3个， 含二组的有，，共3个， 含三组的有共1个. 所以M的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A错B对； 其中不含1的幸福集合个数为3个，故C错误； 其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD 三、填空题 8．已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 9．已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数 ． 【答案】3或 【详解】由题意，或. 故答案为：3或. 四、解答题 10．设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 【答案】集合A的所有子集见解析，集合A的所有子集共有16个 【详解】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 11．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 12．已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 【答案】(1) (2)0或 【详解】（1）当时，由解得， 所以. （2）因为集合只有个子集，所以集合中只有个元素， 当时，，显然满足； 当时，若中只有个元素，只需满足方程仅有个解， 所以，解得，解方程可得，此时，满足条件； 综上所述，的取值为0或 13．已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$