精品解析：辽宁省大连市第十二中学2023-2024学年高一下学期6月份学情反馈数学试卷

大连市第十二中学2023-2024学年度下学期6月学情反馈 高一年级数学试卷 命题人：高一备课组 时间：90分钟 分值：100分 一、单选题（每题4分） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为（ ） A B. 1 C. D. 3. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（ ） A 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 4. 在中，角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 5. 斛是我国古代一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧面积为72，则该正四棱台的体积为（ ） A. 56 B. C. D. 6. 某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 7. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列四个选项中正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 圆台上下底面圆半径分别为，母线长为4，则该圆台的侧面积为 C. 正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，且它的所有顶点在球的表面上，则球O的表面积为 D. 某圆柱下底面圆直径为，其轴截面是边长为2的正方形，分别为线段上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为 9. 如图所示，长方体的表面积为6，，则（ ） A. 该长方体不可能为正方体 B. 该长体体积的最大值为1 C. 若长方体下底面的一条边长为2，则三棱锥的体积为 D. 该长方体外接球表面积的最小值为 三、填空题（每题4分） 10. 已知复数满足，则的虚部为______． 11. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，，则__________. 12. 已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为，体积分别为，若，则______． 四、解答题 13. 在①，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数：. （1）若_______，求实数的值； （2）若复数的模为，求的值. 14. 已知三个内角所对的边分别为，且. （1）求值； （2）若的面积，且，求的周长. 15. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为. （1）求该圆锥的侧面积； （2）求圆锥的内切球的表面积； （3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大连市第十二中学2023-2024学年度下学期6月学情反馈 高一年级数学试卷 命题人：高一备课组 时间：90分钟 分值：100分 一、单选题（每题4分） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】利用复数的四则运算化简，再根据复数的几何意义即可得解. 【分析】因为， 所以对应的点为，它位于第二象限. 故选：B 2. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为（ ） A B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得原图形三角形的底与高的值，进而求得原图形的面积. 【详解】因为在直观图中，，所以， 所以原图形是一个底边长为，高为的直角三角形， 故原图形的面积为． 故选：A 3. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】B 【解析】 【分析】确定，，根据正弦定理得到，解得答案. 【详解】，，，， 则，即，， 故选：B 4. 在中，角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】由正弦定理得 因为，所以，故， 如图所示， 则的面积为， 即， ． ． 当且仅当时取等号． 所以，的最小值为． 故选：D． 5. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧面积为72，则该正四棱台的体积为（ ） A. 56 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出正四棱台的侧棱长和高，根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】 如图，记该正四棱台为，在等腰梯形中，过作于E，则． 由该正四棱台的侧面积为72可知，， ∴，则． 连接AC，，则，， 在等腰梯形中，过作于F，则． 根据正四棱台的性质可知，平面ABCD． 在中，． 该正四棱台的体积， 故选：B． 6. 某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，利用正弦定理得到，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解. 【详解】法一：设，， 则，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中， （其中）， 所以当时，所以最小值为． 法二：如图，因为，所以点在如图所示的圆上， 圆的直径为， 由圆周角的性质可得，所以，． 连接，可得（当为与圆的交点时取等号）． 在中，，，， 根据余弦定理可知， 即，所以的最小值为． 故选：B 二、多选题（每题6分） 7. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到，，根据余弦定理得到，，得到答案. 【详解】，故，根据正弦定理：，即， ，故，，. ，化简得到，解得或， 若，故，故，不满足，故. . 故选：. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8. 下列四个选项中正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 圆台上下底面圆的半径分别为，母线长为4，则该圆台的侧面积为 C. 正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，且它的所有顶点在球的表面上，则球O的表面积为 D. 某圆柱下底面圆直径为，其轴截面是边长为2的正方形，分别为线段上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用反例结合棱柱的定义可判定A，利用圆台的侧面积公式可判定B，利用多面体的外接球及球表面积公式可判定C，利用圆柱的展开图计算可判定D. 【详解】对于A中，有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的两个扣在一起的斜棱柱组成的多面体就不是棱柱，所以A错误； 对于B，圆台侧面积，故B正确； 对于C，球的直径，所以半径， 则球的表面积为，故C正确； 对于D，如图，连接，将沿直线旋转到的位置， 且在的延长，由于圆柱的轴截面是边长为2的正方形， 故， 则，当三点共线时取等号， 当时，最小，最小值为， 即的最小值为，故D正确． 故选：BCD 9. 如图所示，长方体表面积为6，，则（ ） A. 该长方体不可能为正方体 B. 该长体体积的最大值为1 C. 若长方体下底面的一条边长为2，则三棱锥的体积为 D. 该长方体外接球表面积的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】设长方体的长、宽分别为，若，该长方体可能为正方体可判断A；由基本不等式求出可判断B；由三棱锥的体积公式可判断C；求出长方体外接球表面积结合二次函数的性质可判断D. 【详解】设长方体的长、宽分别为， 因为长方体的表面积为6，所以， ， 对于A，若，满足，所以该长方体可能为正方体，故A错误； 对于B，，当且仅当时取等， 所以，解得：，即， 所以长方体体积的最大值为，故B正确； 对于C，若长方体下底面的一条边长为2，设， 则，解得：， 此时长方体的体积为， 因为三棱锥 ， ， ， 三棱锥的体积， 故C错误； 对于D，长方体外接球的半径为，，所以， 所以长方体外接球表面积为， 因为，所以 则 ， 令，，所以， 当时，，所以,故D正确. 故选：BD. 三、填空题（每题4分） 10. 已知复数满足，则的虚部为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故答案为： 11. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】在中，由正弦定理得出，再在中，由余弦定理得出即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理可知，，即，则， 在中，， ， 解得或（舍去）， 所以. 故答案为：3. 12. 已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为，体积分别为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系，用，表示出圆台和球的体积，由条件求出，之间的关系，结合球的体积公式求. 【详解】第一步：找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系. 设圆台的母线长为，高为，上、下底面圆心分别为，，半径分别为，，球的球心为，半径为，做出该组合体的轴截面如图所示，连接，易知点为的中点，则．设为球与圆台侧面的一个切点，连接，根据切线长定理可得，（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等） 所以（勾股定理的应用）所以， 第二步：用，表示出圆台和球的体积. 则，， 第三步：根据得到，之间的关系. 即． 第四步：求出， 因为，，（圆台的表面积公式），故， 故答案为：. 四、解答题 13. 在①，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数：. （1）若_______，求实数的值； （2）若复数的模为，求的值. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数和虚数的定义逐一解答即可；（2）化简求模，解出满足的关系，即可求出的值. 【详解】（1）选择①，则， 解得. 选择②为虚数，则， 解得. 选择③为纯虚数，则，， 解得. （2）由可知 复数. 依题意， 解得. 因此. 【点睛】本题考查复数，实数，纯虚数的定义，考查复数模的运算，属于基础题. 14. 已知三个内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若的面积，且，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理将边化角，结合正弦函数的和角公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由三角形的面积公式，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得，，得：. 所以 又，且，所以. 由，故. 【小问2详解】 ，所以. 由余弦定理，. 又. 联立得：. 所以. 故周长为. 15. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为. （1）求该圆锥的侧面积； （2）求圆锥的内切球的表面积； （3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积； （2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积； （3）令正四棱柱的底面边长为，高为，由三角形相似得到，再由侧面积公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 设圆锥母线长、底面半径分别为、， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得， 又，所以， 又因为的面积为， ，解得（负值舍去）， 又，所以， 圆锥的侧面积. 【小问2详解】 作出轴截面如图所示： 根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点， 设内切球半径为，即，则， 所以， 由（1）可知，圆锥的高，， 则有，解得， 所以圆锥的内切球的表面积； 小问3详解】 由（1）知圆锥的高， 令正四棱柱的底面边长为，高为， 则， 由得， ， 所以正四棱柱的侧面积 ，当且仅当，即时等号成立， 所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）设，分别在两个三角形中，由正弦定理可得，的表达式，由辅助角公式可得的取值范围． 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，， 可得； 【小问2详解】 延长交于，延长交于，延长交于，， 根据题意可得，，因为，所以， 设，，在中，由正弦定理可得， 即，可得， 同理在中，可得， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$