精品解析：云南丽江市2025-2026学年下学期期末教学质量检测高二数学试卷

丽江市2026年春季学期高中期末教学质量检测 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得解. 【详解】， 的虚部是. 故选：. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，要注意的是虚部不含，是基础题. 2. 若向量，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可结合充分不必要条件的定义求解. 【详解】若，则，即. 若，则，解得. 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：C 3. 记为等差数列的前项和，已知，则数列的公差为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式计算即可求解. 【详解】设数列的公差为，则，解得. 故选：. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数定义域结合根号下非负的条件即可求解. 【详解】由题意：，解得；又且，即， 所以函数的定义域为． 5. 如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合正态分布的密度函数图象性质判断即得. 【详解】令对应的正态密度函数分别为， 则函数图象的对称轴分别为，且， 观察图象，得，，所以，. 故选：C 6. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 7. 已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，与双曲线交于(在第一象限)，两点，，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题需要根据已知条件，在焦点三角形中运用余弦定理，建立与的方程，进而算出离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为，则为平行四边形，所以 因为，所以 又，所以， 因为，所以，在中运用余弦定理有 ，得，故离心率 故选：D. 【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、得到a，c的关系． 8. 设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（ ） A. [0,1] B. [－1,1] C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在上满足得到是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解. 【详解】，， 在R上满足， 或， 则是上的单调递增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， ， 则转化为， 则转化为在上恒成立， 则需要满足，解得，即， 则实数a的取值范围为，故选项B正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某市气象部门对本市的温度（单位：℃）与相对湿度进行研究，记录了五组数据如表所示： 温度 28 25 22 19 16 相对湿度 41 48 62 65 70 已知与线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为，则（ ） A. 与负相关 B. 经验回归直线一定经过点 C. 当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2% D. 样本相关系数 【答案】AC 【解析】 【详解】A.由表格可知，温度越小，越大，所以与负相关，故A正确； B.，，所以经验回归直线一定经过点，故B错误； C.，得，所以，当时，， 所以当温度为时，相对湿度大约为，故C正确； D.因为与负相关，所以样本相关系数，故D错误. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X服从二项分布，，则 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 D. 若一组样本数据，，…，的方差，则这组样本数据的总和为60 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式及期望的性质计算判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；求出第70百分位数判断C；利用方差的定义计算判断D. 【详解】对于A，由随机变量X服从二项分布，得， 又，则，A正确； 对于B，随机变量X服从正态分布，则， 因此，B正确； 对于C，由，得所求第70百分位数为，C错误； 对于D，依题意，样本数据的平均数，因此这组样本数据的总和为，D正确. 11. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A. 三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C. 三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为 D. “等腰四面体”的外接球与内切球的球心重合 【答案】ABD 【解析】 【分析】将“等腰四面体”放入长方体内，分别对选项进行一一求解. 选项A，长方体的三条面对角线分别为，设长方体的长宽高分别为，列出关于的方程组，从而求出的值，则“等腰四面体”的体积，代入数值得解；选项B，用表示“等腰四面体”的每个面的三条棱长，得到四个面全等，求出任意两条边的平方和大于第三边的平方，从而得到“等腰四面体”的每个面均为锐角三角形，从而得到结论；选项C，球的直径计算得解；选项D，“等腰四面体”的外接球球心为体对角线的中点，由四面体是全等的四面体，得到到面，面，面的距离相等，从而得到也为“等腰四面体”的内切球球心，从而得到结论． 【详解】如图所示，可将“等腰四面体”放入长方体内， 选项A，长方体的三条面对角线分别为， 设长方体的长宽高分别为，所以有， 累加得，解得， 所以“等腰四面体”的体积，故A正确； 选项B，“等腰四面体”的每个面的三条棱长分别为， 故四个面全等， 又， “等腰四面体”的每个面均为锐角三角形，故B正确； 选项，可知，累加得， 球的直径，故C错误； 选项D，因为“等腰四面体”的外接球球心为体对角线的中点， 故（为外接球的半径）， 从而四面体是全等的四面体， 故到平面，平面，平面的距离相等， 故也为“等腰四面体”的内切球球心，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据赋值法，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为64， 所以，或舍去， 二项式的通项公式为， 令， 所以展开式中的常数项为. 故答案为： 13. 已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可根据圆的弦长公式求解. 【详解】由得，故，进而可得曲线在处的切线方程为：，即， 圆心到直线的距离为， 故.其中为圆的半径. 14. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由的范围，判断两个零点的值，列不等式求的取值范围；再由的范围，判断两个零点的值，列不等式求的取值范围，取交集即可. 【详解】当时，， 函数在上的两个零点只能满足或， 所以，解得①． 由题意，得， 当时，． 由①知， 函数在上的两个零点只能满足或， 所以，解得②． 由①②，得的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键是由角的范围，确定函数和在上两个零点的值，进而通过不等式求的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且成等差数列． （1）求角的大小； （2）若，，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：根据已知成等差数列，利用正弦定理“边转角”，注意减元，求出角，求角时注意角的范围.再利用余弦定理，注意到三者的联系，本考点属于高考高频考点，务必引起高度的注意. 试题解析：（1）由成等差数列， 可得， 故，所以， 又，所以，故， 又由，可知，故，所以．　 （另法：利用求解） （2）在△ABC中，由余弦定理得，　 即，故，又，故， 所以 ， 故． 【点睛】利用正、余弦定理解三角形问题，注意使用“边转角、角转变”，注意减元，求角时注意角的范围.利用余弦定理时注意到三者的联系，本考点属于高考高频考点，务必引起高度的注意. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调性和极值． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类探讨函数的单调区间及极值. 【小问1详解】 当时，则，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得，显然， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值， 所以当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值. 17. 在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面． （1）求证：； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为，且， 可得，， 又因为，可得， 所以，则， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）存在点，此时，理由如下： 因为平面，且平面，所以， 如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系， 可得，，，， 所以，． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 假设存在点，使得与平面所成角为， 设，（其中），则，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可证明平面，再由线面垂直的性质即可得； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； （3）在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 设，，， 当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立化简得， 且，，① 又，直线的方程为， 令，解得， 将①代入可得，所以定点为， 当直线与轴重合时，即直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点. （3）. 【解析】 【分析】（1） 根据椭圆的离心率公式和点在椭圆上的条件，列出关于的方程组，求解得到椭圆的标准方程. （2） 设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两点坐标的关系，再根据直线的方程求出其与轴的交点坐标. （3）求出两直线交点，，分别表示与的面积，求范围即可. 【小问1详解】 依题意可知 解得，，， 所以椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当直线的斜率为时， ，比值无意义，故以下讨论直线斜率不为的情况. 两直线交于，， 因为，， 所以， 所以， . 所以. 又因为，所以 . 19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，向四个方向移动的概率均为，且每秒的移动方向彼此独立互不影响，例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. （1）求粒子在第2秒末移动到点的概率； （2）求第6秒末粒子回到原点的概率； （3）设粒子在第3秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列. 【答案】（1） （2） （3）X的分布列为： 1 3 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分类讨论回到原点的可能性情况，结合古典概型分析求解； （3）分析可知的可能取值为，，1，3，结合题意求分布列. 【小问1详解】 由题意得，粒子在第2秒末移动到点的概率. 【小问2详解】 粒子在第6秒后回到原点，分四种情况考虑： ①两上两下一左一右，共有种情形； ②两左两右一上一下，共有种情形； ③三上三下，共有种情形； ④三左三右，共有种情形； 所以. 【小问3详解】 粒子向右或向上则X的取值加1，粒子向左或向下则X的取值减1， 的可能取值为，，1，3，对应的概率分别为： ，，，， 所以X的分布列为： 1 3 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽江市2026年春季学期高中期末教学质量检测 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 若向量，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 记为等差数列的前项和，已知，则数列的公差为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 7. 已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，与双曲线交于(在第一象限)，两点，，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（ ） A. [0,1] B. [－1,1] C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某市气象部门对本市的温度（单位：℃）与相对湿度进行研究，记录了五组数据如表所示： 温度 28 25 22 19 16 相对湿度 41 48 62 65 70 已知与线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为，则（ ） A. 与负相关 B. 经验回归直线一定经过点 C. 当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2% D. 样本相关系数 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X服从二项分布，，则 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 D. 若一组样本数据，，…，的方差，则这组样本数据的总和为60 11. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A. 三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C. 三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为 D. “等腰四面体”的外接球与内切球的球心重合 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 13. 已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 14. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且成等差数列． （1）求角的大小； （2）若，，求的值． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调性和极值． 17. 在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面． （1）求证：； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； （3）在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，向四个方向移动的概率均为，且每秒的移动方向彼此独立互不影响，例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. （1）求粒子在第2秒末移动到点的概率； （2）求第6秒末粒子回到原点的概率； （3）设粒子在第3秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $