精品解析：福建省龙岩市连城县第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

连城一中2023-2024学年下期（下）模拟考二 高一数学试卷 命题人：邱茂辉 审题人：陈长江 考试时间： 120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若 （虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知是边长为1的正三角形，，，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（    ） A. 6寸 B. 4寸 C. 3寸 D. 2寸 5. 一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 6. 在三棱锥P－ABC中，，，且，，，，则此三棱锥外接球体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶点A，B，C在某圆上，且，，，，，则该圆的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某公司共有员工人，岁以下的员工有人，到岁的员工人，为了了解公司员工的身体情况，进行分层抽样，抽取一个容量为的样本，得到身体健康状况良好的比例如下：岁以下的员工占，到岁的员工占，其他员工占．下列说法正确的是（ ） A. 从岁以上的员工抽取了人 B. 每名员工被抽到的概率为 C. 估计该公司员工身体健康状况良好率为（百分数保留一位小数） D. 身体健康状况欠佳的人数最多的年龄层是岁到岁 10. 如图所示，已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点P与A，B两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形 B. 平面截正方体所得的截面可能是三角形 C. 一定是锐角三角形 D. 面积的最大值是 11. 对任意两个非零的平面向量和，定义：；．若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______． 13. 已知向量和满足：，，，则向量与向量的夹角为______. 14. 如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． （1）求值； （2）求证：． 16. 某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按分成九组，制成如图所示的频率分布直方图： （1）求直方图中的值； （2）根据频率分布直方图估计该市的居民年用水量不超过吨，求的值； （3）已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以所在区间的中点值为代表） 17. 已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求的取值范围. 18. 如图，在三棱柱中，已知侧面，， （1）求证：平面； （2）是线段上动点，当平面 平面时，求线段的长； （3）若为的中点，求二面角平面角的余弦值． 19. 给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数. （1）设向量分别为函数与函数的特征向量，求； （2）设向量的特征函数为，且，，求的值； （3）已知分别为三个内角的对边，，设函数 的特征向量为，且，分别是边的中点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 连城一中2023-2024学年下期（下）模拟考二 高一数学试卷 命题人：邱茂辉 审题人：陈长江 考试时间： 120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若 （为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法先求，然后可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 2. 已知，，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算得，再由向量共线条件的坐标表示即可求出. 【详解】,, 由得，，解得， 故选：C. 3. 已知是边长为1的正三角形，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图像，即可得出，，再得出，代入计算即可得出答案． 【详解】由，可知E为BC中点，所以，如图所示： 因为，根据上图可知 故选：A 4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（    ） A. 6寸 B. 4寸 C. 3寸 D. 2寸 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案. 【详解】 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸， 因为积水深9寸，所以水面半径为寸， 则盆中水的体积为立方寸， 所以平地降雨量等于寸 故选：C. 5. 一组数据按从小到大顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意算出极差，进而得到该组数据的中位数，列式求出，进而利用百分位数的定义得出答案. 【详解】根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17， 则极差为，故该组数据的中位数是， 数据共6个，故中位数为，解得， 因为，所以该组数据的第40百分位数是第3个数6， 故选：C. 6. 在三棱锥P－ABC中，，，且，，，，则此三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得，根据勾股定理证明得到，进而推得平面，则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，求出长方体的体对角线长，即可得出外接球的半径，进而根据体积公式，即可得出答案. 【详解】如图1， 因为，，， 所以. 又，， 所以在中，有， 所以，，即. 又，平面，平面，， 所以平面. 则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，如图2 其中，，，， 则， 所以此三棱锥外接球的半径为， 所以，此三棱锥外接球的体积为. 故选：B. 7. 如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶点A，B，C在某圆上，且，，，，，则该圆的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角形求出,再利用余弦定理求出,结合正弦定理可得圆的半径，然后可得面积. 【详解】连接AC， 在中，，，， 则， 所以，， 因为，所以， 所以，， 所以， 所以， 设该圆的半径为R，则， 所以该圆的面积为． 故选：B． 8. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，结合题意得，结合即得解. 【详解】， 因为，所以， 又，所以． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某公司共有员工人，岁以下的员工有人，到岁的员工人，为了了解公司员工的身体情况，进行分层抽样，抽取一个容量为的样本，得到身体健康状况良好的比例如下：岁以下的员工占，到岁的员工占，其他员工占．下列说法正确的是（ ） A. 从岁以上的员工抽取了人 B. 每名员工被抽到的概率为 C. 估计该公司员工身体健康状况良好率为（百分数保留一位小数） D. 身体健康状况欠佳的人数最多的年龄层是岁到岁 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分层抽样可判断A选项；计算出每名员工被抽到的概率，可判断B选项；计算出该公司员工身体健康状况良好率，可判断C选项；计算出三个年龄段的员工身体健康状况欠佳的人数，可判断D选项. 【详解】对于A选项，该公司岁以上的员工人数为， 所以，样本中岁以上的员工人数为，A对； 对于B选项，每名员工被抽到的概率为，B对； 对于C选项，估计该公司员工身体健康状况良好率为，C错； 对于D选项，岁以下的员工身体健康状况欠佳的人数为， 岁到岁的员工身体健康状况欠佳的人数为， 岁以上的员工身体健康状况欠佳的人数为， 所以，身体健康状况欠佳的人数最多的年龄层是岁到岁，D对. 故选：ABD. 10. 如图所示，已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点P与A，B两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形 B. 平面截正方体所得的截面可能是三角形 C. 一定是锐角三角形 D. 面积的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】依据平面性质画出平面截正方体所得的截面判断选项AB；举反例否定选项C；求得面积的最大值判断选项D 【详解】如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段MP向两端延长， 分别交CD，CB的延长线于点O，Q，连接NO，NQ分别交，于R，S两点， 连接RM，SP，MP此时截面为五边形MPSNR，所以A正确； 当点P与点A或点B重合时，截面为四边形. 综上，平面截正方体所得的截面为四边形或五边形.不可能是三角形，所以B不正确； 考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以C判断错误； 如图，为中点，连接，则，且面， 延长分别交延长线于，则， 若分别中点，易知：面，且，， 易证：面面，即在面上的投影为， 令，面面，则面，面， 所以，若，，则面，面， 所以，即为P到直线MN的距离， 如下图，随从A到B移动过程中，逐渐变大，而不变，故也在变大， 所以当P与点B重合时，点P到直线MN的距离取到最大值， 的面积取到最大值，此时，， 则MN边上的高为， △的面积为，即最大值为，D判断正确． 故选：AD． 11. 对任意两个非零的平面向量和，定义：；．若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得，，从而得，，分和分别求解即可. 【详解】解：因为 设向量和的夹角为， 则． 因为，所以， 所以， 所以， 故． 当时，，又，所以，符合题意； 当时，，又，所以，符合题意． 所以或． 故选：AC. 【点睛】关键点睛：对于新概念题，理解定义是关键，解答本题的关键是理解和的运算法则及基本不等式的应用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆锥底面圆的半径为1得到侧面展开图扇形的弧长为，然后根据侧面展开图扇形的圆心角为列方程，解方程即可得到圆锥的母线长. 【详解】因为圆锥底面圆的半径为1，所以侧面展开图扇形的弧长为， 设圆锥的母线长为，因为侧面展开图扇形的圆心角为，所以，解得，所以此圆锥的母线长为3. 故答案为：3. 13. 已知向量和满足：，，，则向量与向量的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】设向量与向量的夹角为，根据得到，再利用向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】设向量与向量的夹角为， ，则，故， 故，，故. 故答案为： 14. 如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用平行四边形性质，结合勾股定理求出周长的函数关系，再求出函数的值域即可. 【详解】设，则，由，得，显然， 连接，由，，得， ， 因此的周长 显然，当，即时，，而时，， 所以的周长的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 16. 某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按分成九组，制成如图所示的频率分布直方图： （1）求直方图中的值； （2）根据频率分布直方图估计该市的居民年用水量不超过吨，求的值； （3）已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以所在区间的中点值为代表） 【答案】（1） （2） （3）（元） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，即可求得答案; （2）确定m的范围，结合频率分布直方图列式计算，可得答案； （3）计算出区间内的居民年用水量分别超出的吨数，结合频率分布直方图列式计算，即得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图得， 解得. 【小问2详解】 在200户居民年用水量频率分布直方图中， 前5组频率之和为， 前4组频率之和为， 所以， 由，解得. 【小问3详解】 由题可知区间内的居民年用水量分别取为代表，则他们的年用水量分别超出5吨，15吨，25吨，35吨， 则元， 所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为元. 17. 已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由商数关系结合两角和得正弦公式化简即可得解； （2）先利用正弦定理求出，再利用三角函数即可得解. 【小问1详解】 由， 得， 即， 又，则，所以， 又，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以， 所以， 由为锐角三角形， 得，所以， 所以， 所以. 18. 如图，在三棱柱中，已知侧面，， （1）求证：平面； （2）是线段上的动点，当平面 平面时，求线段的长； （3）若为的中点，求二面角平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由，，根据线面垂直的判定定理即可证结论； （2）先证面面，因此过作交线的垂线，可得到平面，即可求得= ； （3）由上一问面，故过作交所在直线为点，则为所求平面的二面角，利用三角函数即可求值． 【小问1详解】 证明：侧面，侧面，得， 由，知，即， 又交于点A，且都在面内，故平面. 【小问2详解】 由已知侧面，面，知面面， 过作于，面，面面， 则面，因面，故平面平面， 此时. 【小问3详解】 由（2）：面，面，则 过P作交于，且都在面内， 所以面，则二面角平面角为或其补角， 由，则，且， 所以，又 ， ，故. 19. 给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数. （1）设向量分别为函数与函数的特征向量，求； （2）设向量的特征函数为，且，，求的值； （3）已知分别为三个内角的对边，，设函数 的特征向量为，且，分别是边的中点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给定义得到、，再根据数量积的坐标表示计算可得； （2）依题意可得，即可求出，再由及两角差的正弦公式计算可得； （3）依题意可得，设，则，分别利用余弦定理表示出，，即可求的取值范围，从而得解. 【小问1详解】 根据定义得， 所以； 【小问2详解】 因为且是其特征函数， 所以， 由得，即， 所以， 因，所以， 又因为，， 所以，即， 故 ； 【小问3详解】 依题意，，由，所以，即， 设，则，因为分别是边的中点，所以，， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 所以 因为，所以，则， 所以，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$