精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2023-2024学年高一下期06月测试（A） 数学试题 命题人：高军 审题人：杨立雅 闫云云 胡兴华 占兰兰 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由复数， 所以复数的虚部为. 故选：B. 2. 已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法求解. 【详解】 因为有8个数，且，所以分位数是第三个数5． 故选：D 3. 已知向量，，若与垂直，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示求解作答. 【详解】向量，，则，， 而与垂直，所以，解得， 所以与垂直时，实数值为. 故选：C 4. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 与互斥 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出，，进一步求出与，从而判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项. 【详解】由题意可知：，，，， 因为在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，可知事件A和事件B相互独立，故B正确，D错误； 可得，故A正确； 又因为， 所以，故C正确； 故选：D. 5. 已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过数量积定义得出与重合时取得最大值，与重合时，取得最小值，然后建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标法求数量积． 【详解】如图，过作于，则，当与同向时为正，当与反向时为负， 分别过作，，为垂足， 则得当与重合（即与重合）时，取得最大值，当与重合（即与重合）时，取得最小值， 是正六边形，因此以为轴，为建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，是中点，则， ，，， ，， 所以的范围是， 故选：B． 6. 在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可. 【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为， 如图设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以， 则. 故选:C. 【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法： 几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角. 向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 7. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，则，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】在中由余弦定理 ，所以, 设外接圆的半径为，则，所以， 又平面，，设三棱锥外接球的半径为， 则， 所以三棱锥外接球的表面积. 故选：C 8. 下列结论正确的个数为（ ） ①在中，若，则； ②在锐角中，不等式恒成立； ③在中，若，，则为等腰直角三角形； ④在中，若，，面积，则外接圆半径为. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据大边对大角、余弦函数的单调性可判断①；由余弦定理可判断②；由余弦定理、正弦定理可判断③；由三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理可判断④. 【详解】对于①：在中，若，根据大边对大角则， 因为，在上单调递减，所以，故选项①正确； 对于选项②：在锐角三角形中，，即， 故不等式恒成立，故选项②正确； 对于选项③：在中，， 由余弦定理可知：，因此有 可得 ， 即，因为，所以， 因此，所以或，即，或（舍去）， ，所以，故③正确． 对于选项④：在中，若，，三角形面积， 所以，解得， 所以， 由正弦定理，故选项④正确． 故选：D． 【点睛】方法点睛：在解三角形问题中，主要利用正弦定理、余弦定理及面积公式解题，考查了学生思维能力、计算能力. 二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9. 已知是虚数单位，若，则（ ） A. 复数的虚部为； B. 复数对应的点在第二象限； C. ； D. 复数是关于的方程的一个根. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得复数的虚部判断选项A；求得复数对应的点所在象限判断选项B；求得的值判断选项C；代入验证法判断选项D. 【详解】由题意可得，， 复数的虚部为，故A正确； ，对应的点在第二象限，故B正确； ，故C错误； 由 可得复数是关于的方程的一个根.故D正确. 故选：ABD 10. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第60百分位数约为85 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图各小矩形面积和为1计算判断A；利用频率分布直方图结合第p百分位数、平均数的意义计算判断BC；利用分层抽样求出抽取的人数作答. 【详解】对于A，由图知，解得，A错误； 对于B，成绩在内对应的频率为， 成绩在内对应的频率为， 因此第60百分位数位于区间内，， 所以估计样本数据的第60百分位数约为85，B正确； 对于C，平均数约为，C正确； 对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为，则应选取成绩在内的学生人数为，D正确. 故选：BCD 11. 已知，则（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可判断C；由向量与向量的夹角为钝角，可得且不共线，进而可判断D. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，，则，当时，，故C正确； 对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线，由，由得，所以的取值范围为，故D错误. 故选：ABC. 12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；对于B：根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；对于C：根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；对于D：利用等体积法求点到平面的距离，结合线面夹角的定义运算求解. 【详解】对于选项A：因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 所以平面， 且平面，可得， 同理可得：， 且，平面， 所以直线平面，故A正确； 对于选项B：因为∥，且，则为平行四边形，可得∥， 且平面，平面，所以∥平面， 又因为点在线段上运动，则到平面的距离为定值， 且的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对在选项C：由选项B可知：∥， 所以异面直线与所成角为直线与直线的夹角. 又因为，则为等边三角形， 当为的中点时，直线与直线的夹角最大， 可得，即直线与直线的夹角为； 当与点或重合时，直线与直线的夹角最小， 可得直线与直线的夹角为； 所以异面直线与所成角的取值范围是，故C错误； 对于选项D：当P为的中点时，直线即为直线， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设点到平面的距离为d，正方体的棱长为2， 因为， 由等体积法可得，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误； 故选：AB. 【点睛】关键点睛：1.利用平行关系可知异面直线与所成角为直线与直线的夹角，进行分析求解； 2.利用等体积法求点到平面的距离，可知直线与平面所成角的正弦值为. 三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 已知向量，的夹角为，，，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算法则进行求解即可. 【详解】因为向量，的夹角为，，， 所以， 则. 故答案为：2. 14. 某学校有绘画、围棋、篮球三个兴趣小组，三个年级参加兴趣小组的学生人数如下表（每名同学只参加一个兴趣小组）： 绘画组 围棋组 篮球组 高一 50 40 高二 30 40 20 高三 20 10 10 学校要对这三个兴趣小组的活动效果进行抽样调查，按各组人数的比例用分层随机抽样的方法，从这些学生中抽取30人，若围棋组被抽出10人，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分层抽样的等比例性质求解即可. 【详解】由题意可知三个兴趣小组的人数分别为， 围棋组被抽出10人，故，则. 故答案为：. 15. 在中，且，则边上的高等于________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理求得，结合面积相等，列出方程，即可求解. 【详解】因为且，可得， 则， 由正弦定理得且，所以， 所以， 设边上的高为，可得，解得，所以边上的高为. 故答案为：. 16. 如图，在120°的二面角中，且，垂足分别为A，B，已知，则线段的长为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】利用，两边平方计算，可得线段的长． 【详解】因为，所以．又因为二面角的平面角为120°，所以．所以，所以． 故答案为：12 【点睛】本题考查空间距离的计算，考查向量知识的运用，属于中档题． 四、解答题（共6小题，满分70分） 17. 已知复数，其中是正实数，是虚数单位 （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用复数的四则运算求得，再利用复数的分类即可得解； （2）先利用复数的四则运算化简，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去）， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 则， 因为是关于的方程的一个复根， 所以与是的两个复根， 故，则， 所以. 18. 某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）由频率直方图求样本中分数的中位数； （2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； （3）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差． 【答案】（1）72.5 （2）20人 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图数据求解； （2）由频率分布直方图数据求解； （3）由总样本的均值与方差的公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图，设分数中位数为，则有，解得， 所以分数的中位数为72.5； 【小问2详解】 由频率分布直方图知，分数在的频率为， 在样本中分数在的人数为（人）， 在样本中分数在的人数为95人，所以估计总体中分数在的人数为（人）， 总体中分数小于40的人数为20人； 【小问3详解】 总样本的均值为， 所以总样本的方差为． 19. 已知两个不共线的向量的夹角为，且. （1）若与垂直，求； （2）若与平行，求实数x的值并指出此时与同向还是反向. 【答案】（1） （2），与反向. 【解析】 【分析】（1）由题意知，计算化简即可得出答案。 （2）由题意知存在使得，再根据向量不共线，计算出为负值，即可说明之. 【小问1详解】 因为与垂直，所以，即，得.又，所以，所以. 【小问2详解】 因为与平行，所以存在使得，又与不共线，所以解得因为，所以与反向. 【点睛】本题考查向量垂直、向量平行的判定，属于基础题。 20. 试分别解答下列两个小题： （1）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，记事件“方程没有实根”，事件 “方程有且仅有一个实根”，求． （2）甲、乙、丙三位同学各自独立地解决同一个问题，已知这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，记“三人中只有一个人正确解决了这个问题”，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用古典概型的概率公式分别算出和，进而可得结果； （2）分别计算出只有甲、乙、丙正确解决这个问题的概率，从而可得. 【小问1详解】 设样本空间为，则，样本点的个数为36个， ， 为满足，必须：当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 中样本点的个数为17个， ， ， 为满足，必须：当时，；当时，， 中样本点的个数为2个， 【小问2详解】 ∵这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为， ∴仅甲同学单独解决了这个问题的概率为： 仅乙同学单独解决了这个问题的概率为： 仅丙同学单独解决了这个问题的概率为： 21. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案. 问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 . （1）求角C； （2）若点D满足，且，求的面积的最大值. （注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 【答案】（1）选条件①或者条件②， （2） 【解析】 【分析】（1）根据所选的条件，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，可求角C； （2）利用向量法或余弦定理，结合基本不等式求的面积的最大值. 【小问1详解】 若选①：由正弦定理得， 在中，，所以， 即， 所以，又，有， 所以，由，得. 若选②：由正弦定理得， 在中，， 所以 即， 所以，又，有， 所以，由，得. 【小问2详解】 方法一：由，可得， 两边平方可得， 即， 所以，当且仅当时取“＝”， 所以，所以. 方法二：由角C余弦定理可得③， 由结合余弦定理可得 ，整理得④， 由③可得，当且仅当时取“＝”， 所以，所以即. 22. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点， 所以， 因为，面面，面面，面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； （2） （3） 当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案； （3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接， 则且，， 故， 因为面面，面面，面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2023-2024学年高一下期06月测试（A） 数学试题 命题人：高军 审题人：杨立雅 闫云云 胡兴华 占兰兰 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 3. 已知向量，，若与垂直，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 4. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（ ） A. B. 与相互独立 C. D. 与互斥 5. 已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 下列结论正确的个数为（ ） ①在中，若，则； ②在锐角中，不等式恒成立； ③在中，若，，则为等腰直角三角形； ④在中，若，，面积，则外接圆半径为. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9. 已知是虚数单位，若，则（ ） A. 复数的虚部为； B. 复数对应的点在第二象限； C. ； D. 复数是关于的方程的一个根. 10. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第60百分位数约为85 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人 11. 已知，则（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 已知向量，的夹角为，，，则__________. 14. 某学校有绘画、围棋、篮球三个兴趣小组，三个年级参加兴趣小组的学生人数如下表（每名同学只参加一个兴趣小组）： 绘画组 围棋组 篮球组 高一 50 40 高二 30 40 20 高三 20 10 10 学校要对这三个兴趣小组的活动效果进行抽样调查，按各组人数的比例用分层随机抽样的方法，从这些学生中抽取30人，若围棋组被抽出10人，则的值为__________. 15. 在中，且，则边上的高等于________. 16. 如图，在120°的二面角中，且，垂足分别为A，B，已知，则线段的长为__________． 四、解答题（共6小题，满分70分） 17. 已知复数，其中是正实数，是虚数单位 （1）如果为纯虚数，求实数的值； （2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 18. 某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）由频率直方图求样本中分数的中位数； （2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； （3）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差． 19. 已知两个不共线的向量的夹角为，且. （1）若与垂直，求； （2）若与平行，求实数x的值并指出此时与同向还是反向. 20. 试分别解答下列两个小题： （1）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，记事件“方程没有实根”，事件 “方程有且仅有一个实根”，求． （2）甲、乙、丙三位同学各自独立地解决同一个问题，已知这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，记“三人中只有一个人正确解决了这个问题”，求． 21. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案. 问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 . （1）求角C； （2）若点D满足，且，求的面积的最大值. （注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 22. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $