精品解析：2024年甘肃省武威市凉州区永昌九年制学校教研联片九年级中考三模数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省武威市凉州区永昌 九年制学校联片教研九年级数学第三次模拟考试试卷 一、选择题（共10题；共30分） 1. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 单项式的系数和次数分别是（ ） A. ，4 B. ，3 C. 12，3 D. 12，4 4. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正五边形中，F为边中点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ） A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 7. 往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 8. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转90°得到，点B的对应点在边上（不与点A，C重合），则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 32 10. 如图，已知点，，射线绕点A逆时针旋转30°，与轴交于点，则过，，三点的二次函数中，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（共24分） 11. 若m与-2互为相反数，则m的值为________． 12. 请写出关于x，y的二元一次方程的一个解：______． 13. 过一个多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数是______． 14. 因式分解：_____． 15. 如图，已知矩形，，，为边上一点，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，则当的值为______时，是以为腰的等腰三角形． 16. 已知：一次函数的图象与直线平行，并且经过点(0,4)，那么这个一次函数的解析式是______． 17. 如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC＝75°，BC＝cm，则OC的长为______cm． 18. 如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为_____m． 三、计算题（共8分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 四、作图题（共6分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）请作出绕O点逆时针旋转90°的，并求出线段AB扫过的面积． （2）以点O为位似中心，将扩大为原来的2倍，得到，在y轴的左侧． 五、解答题（共52分） 21. 已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E，求证：AB=DE. 22. 如图， 四边形是矩形， 把矩形沿对角线折叠， 点落在点处，与相交于点． （1）求证∶ （2）若求的面积． 23. 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，生产1吨乙种药品的成本是4860元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 24. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 如图，已知正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为______________． 26. 某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： （1）本次调查学生共_____人，a=_____，并将条形图补充完整； （2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？ （3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值以及此时点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期甘肃省武威市凉州区永昌 九年制学校联片教研九年级数学第三次模拟考试试卷 一、选择题（共10题；共30分） 1. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法表示较大的数时，形式为，其中， 为整数．确定的值时，看原数变成时小数点移动的位数．据此解答即可． 【详解】解：∵ 1300000 的小数点向左移动 6 位得到 1.3， ∴，即． 故选：C． 2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项错误； B、不是中心对称图形，故该选项错误； C、不是中心对称图形，故该选项错误； D、是中心对称图形，故该选项正确 故选：D． 3. 单项式的系数和次数分别是（ ） A. ，4 B. ，3 C. 12，3 D. 12，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数，次数的意义是解题的关键． 根据单项式的系数，次数的意义判断即可． 【详解】解：单项式中的数字因数叫单项式的系数，即的系数是，单项式次数是所有字母的指数和，即的次数是4． 故选：A． 4. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先对不等式进行求解，再根据不等式组无解，得，能根据题意建立关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∵该不等式组无解， ∴， 解得：， 故选：． 5. 如图，正五边形中，F为边中点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，AD，正五边形ABCDE中，得到AB=AE=BC=DE，∠B=∠E，证得△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠CAF=∠DAF，即可得到结论． 【详解】解：连接AC，AD， 五边形ABCDE是正五边形， ，， 在△ABC和△AED中 △ABC≌△AED， ． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ） A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵OA=OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB=CD，故选项B符合题意； C、∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 7. 往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D，根据垂径定理求得OC，利用圆的半径求得CD即可. 【详解】如图，连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D， ∵AB=24， ∴AC=12， ∵OA=13， 在直角三角形OAC中， OC==5， ∴CD=OD-OC=13-5=8， 故选C. 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，过圆心向弦作垂线构造垂径定理是解题的关键. 8. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转90°得到，点B的对应点在边上（不与点A，C重合），则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 9. 如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），可求得BC＝OC＝5，继而求得点B的坐标，然后由待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：∵点C的坐标为（3，4）， ∴OC＝＝5， ∵四边形OABC是菱形， ∴BC＝OC＝5，BCOA， ∴点B的坐标为（8，4）， ∵反比例函数（x＞0）的图象经过顶点B， ∴k＝xy＝8×4＝32． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意根据菱形的性质求得点B的坐标是关键． 10. 如图，已知点，，射线绕点A逆时针旋转30°，与轴交于点，则过，，三点的二次函数中，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线AB的函数解析式，再求出点，再根据三角函数求，则射线绕点逆时针旋转30°，后，利用解直角三角形求出，利用待定系数法即可求出答案A． 【详解】解：如图所示，直线AB交x轴于点C1，过点A作轴交x轴于点N，射线绕点逆时针旋转30°，交x轴于点C2． 设一次函数解析式为，将，，代入，得： 解得： ∴ ∴点 又∵ ∴ ∴则 ∵射线绕点逆时针旋转30°，交x轴于点，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，，代入 ∴解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、解直角三角形的综合题目，能构造直角三角形是解答此题的关键． 二、填空题（共24分） 11. 若m与-2互为相反数，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据相反数的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵m与-2互为相反数 ∴m+（-2）=0 ∴m=2 故答案为：2． 【分析】互为相反数的两个数和为0，依此列出式子，计算即可得出答案． 12. 请写出关于x，y的二元一次方程的一个解：______． 【答案】（答案不唯一，写成，不扣分） 【解析】 【分析】由二元一次方程的解的定义，即可得到答案． 【详解】解：当时，二元一次方程成立， ∴二元一次方程的一个解； 故答案为：； 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟记所学的知识进行判断． 13. 过一个多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据多边形对角线的性质，从一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形，其中n为多边形的边数. 【详解】解：设多边形的边数为n，则从一个顶点出发的对角线分成的三角形个数为个； 由题意：，解得 故答案为：. 14. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 15. 如图，已知矩形，，，为边上一点，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，则当的值为______时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，求出，，由勾股定理求出，，分为两种情况：①当时，②当时，求出即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， 由勾股定理得：， 过作于， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ①当时，， 解得：，， ∵不符合题意，舍去； ②当时，， 解得：， 即当的值为或时，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 16. 已知：一次函数的图象与直线平行，并且经过点(0,4)，那么这个一次函数的解析式是______． 【答案】##y=4-2x 【解析】 【分析】根据互相平行的两直线解析式的k值相等设出一次函数的解析式，再把点（0，4）的坐标代入解析式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线y=−2x+1平行， ∴设一次函数的解析式为y=−2x+b， ∵一次函数经过点(0,4)， 解得b=4， 所以这个一次的表达式是y=−2x+4， 故答案为y=−2x+4. 【点睛】本题考查的是一次函数，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键. 17. 如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC＝75°，BC＝cm，则OC的长为______cm． 【答案】4 【解析】 【分析】如图：连接．由AB垂直平分半径OD可得即进而得到再说明明为等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：如图：连接OA，OB. ∵AB垂直平分半径OD， ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵OB=OC， ∴ ∴△OBC是等腰直角三角形, ∴cm． 故答案为4． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要解直角三角形、等腰三角形的判定与性质等知识点，根据题意得到是解题答本题的关键． 18. 如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为_____m． 【答案】9.6 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】解：据相同时刻的物高与影长成比例， 设旗杆的高度为x（m），则可列比例式为，解得x＝9.6（m）， 故答案是：9.6． 【点睛】考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力． 三、计算题（共8分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解分式方程． （1）根据特殊锐角三角函数值，零指数幂，以及实数的运算，即可解题． （2）先去分母转化为整式方程，解整式方程，再检验即可解题． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得， 整理得， 经检验，是原方程的解． 四、作图题（共6分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）请作出绕O点逆时针旋转90°的，并求出线段AB扫过的面积． （2）以点O为位似中心，将扩大为原来的2倍，得到，在y轴的左侧． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： 线段AB扫过的面积； （2） 如图所示， 即为所求． 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据坐标和旋转的性质，得，，，再根据扇形性质计算，即可得到答案； （2）根据坐标、位似的性质，计算得，，，再分别连接、、，即可得到答案． 【小问1详解】 ∵的三个顶点坐标分别是，， ∴绕O点逆时针旋转90°，得，， ∵， ∴， 线段AB扫过的面积； 【小问2详解】 ∵的三个顶点坐标分别是，， ∴，， 【点睛】本题考查了旋转、位似、扇形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、位似、扇形面积计算的性质，从而完成求解． 五、解答题（共52分） 21. 已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E，求证：AB=DE. 【答案】 证明：∵AC∥BE， ∴∠C=∠DBE． 在△ABC和△DEB中， ∵∠C=∠DBE，BC=EB，∠ABC=∠E， ∴△ABC≌△DEB， ∴AB=DE． 【解析】 【详解】试题分析：先利用平行线的性质得到∠C=∠DBE，再根据“ASA”可证明△ABC≌△DEB，然后根据全等三角形的性质即可得到结论． 试题解析：略 22. 如图， 四边形是矩形， 把矩形沿对角线折叠， 点落在点处，与相交于点． （1）求证∶ （2）若求的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， 又由折叠可知， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识， 熟记矩形的各种性质以及三角形的面积公式是解题的关键． （1） 由矩形的性质和折叠的性质证明，再由等腰三角形的判定与性质即可得到； （2）由含的直角三角形性质及勾股定理得到，的长， 再由三角形面积公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， 又， 在中，由勾股定理可得，解得， ， ． 23. 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，生产1吨乙种药品的成本是4860元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 【答案】一样大 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设甲、乙两种药品成本的年平均下降率为x、y，利用方程求解即可． 【详解】设甲种药品成本的年平均下降率为x， 根据题意得：， 解之得：（舍去），， 所以甲种药品成本的年平均下降率约为； 设乙种药品成本的年平均下降率为y， 根据题意得： 解之得：（舍去）， 所以乙种药品成本的年平均下降率约为； 答：甲乙两种药品成本的年平均下降率一样大． 24. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴． 25. 如图，已知正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，由旋转可得，为直角，可得出，由，得到，可得出，再由，利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出；则可得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为的长． 【详解】解：∵逆时针旋转得到，， ∴， ∴， ∴F、C、M三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，正方形的边长为3，即， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， ， 解得：, 即． 故答案为：． 26. 某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： （1）本次调查学生共_____人，a=_____，并将条形图补充完整； （2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？ （3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率． 【答案】（1）300，10； 图形如下： （2）有800人； （3）． 【解析】 【详解】解：（1）120÷40%=300， a%=1﹣40%﹣30%﹣20%=10%， ∴a=10， 10%×300=30， （2）2000×40%=800（人）， 答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2， 所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率=． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值以及此时点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）面积的最大值为4，此时点P的坐标为 （3）存在，Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过P作轴交于K，求出，直线解析式为，设，则，可得，故，根据二次函数性质可得答案； （3）当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，，证明，有，设设，可得，即知，直线解析式为，联立，解得；当Q在BC下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，同理可得． 【小问1详解】 解：把，两点代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过P作轴交于K，如图： 在中，令得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴直线解析式为， 设，则， ∴ ∴， ∵， ∴当时，取最大值4，此时， ∴面积的最大值为4，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线上存在点Q，使，理由如下： 当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 当Q在BC下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，如图： 同理可得， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴直线解析式为， 联立， 解得 ， ∴， 综上所述，Q的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $