精品解析：2024年湖南省郴州市嘉禾县坦坪镇田心中学中考二模数学试题

九年级下册数学模拟测试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 反比例函数的图象是（ ） A. 线段 B. 直线 C. 抛物线 D. 双曲线 2. 如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其主视图是( ) A. B. C. D. 3. 如图，在中，分别是的边上中线，则（　　） A. B. C. D. 4. 路灯下，小强对小华说：“我可以踩到你的影子．”从而可以断定他们在路灯的（　　） A. 同侧 B. 异侧 C. 同侧或异侧 D. 以上答案都不正确 5. 某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行​小时到达B处，那么tan∠ABP=（         ） A. B. 2 C. D. 6. 按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得到，则下列说法错误的是（　　） A. 与位似 B. 与相似 C. 与的面积之比为 D. 与的周长之比为 7. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线与反比例函数的图象有2个公共点，则b的取值范围是（　　） A. b＞2 B. ﹣2＜b＜2 C. b＞2或b＜﹣2 D. b＜﹣2 8. 如图，在中，斜边．若，则( ) A. 点到的距离为sin54° B. 点到的距离为tan36° C. 点到的距离为sin36°sin54° D. 点到的距离为cos36°sin54° 9. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 10. 如图所示，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象队的图象经过点B，若，则k的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 11. 计算： _____． 12. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上，若线段AB=4 cm，则线段BC=______cm 13. 如图，在中，点D，E分别在边上，，若，，则______． 14. 某新修“商场大厦”的一处自动扶梯如图，已知扶梯长l为，该自动扶梯到达的高度h为，自动梯与地面所成的角为θ，则的值为_____． 15. 晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为_米． 16. 如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数（x＜0）的图象上，则k=____________． 17. 一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点B的坐标为_____． 18. 小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2,0），则点E的坐标是_____． 三、解答题（本大题共6小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 画出下面立体图形的三视图． 20. 如图，在一个长40m，宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地.当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上.此时，A处的小旗在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.求： （1）他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？ （2）张华追赶王刚的速度是多少？ 21. 如图，点A，B分别在轴，轴上，点D在第一象限内，DC⊥轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k>0）的图象过CD的中点E． （1）求证：△AOB≌△DCA； （2）求的值； （3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在轴上，试判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 22. 如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（取1.73） （1）求楼房的高度约为多少米？ （2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由． 23. 达州市凤凰小学位于北纬21°，此地一年中冬至日正午时刻，太阳光与地面的夹角最小，约为35.5°；夏至日正午时刻，太阳光的夹角最大，约为82.5°．已知该校一教学楼窗户朝南，窗高207cm，如图（1）．请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚BCD，如图（2），要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡． （1）在图（3）中画出设计草图； （2）求BC、CD的长度（结果精确到个位）（参考数据：sin35.5°≈0.58，cos35.5°≈0.81，tan35.5°≈0.71，sin82.5°≈0.99，cos82.5°≈0.13，tan82.5°≈7.60） 24. 如图，在中，于点D，点E为的中点，与交于点G，点F在上，且． （1）若，求证：； （2）若，求的值； （3）若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下册数学模拟测试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 反比例函数的图象是（ ） A. 线段 B. 直线 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可直接得到答案． 【详解】解：∵y＝是反比例函数， ∴图象是双曲线． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质． 2. 如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：长方体的主视图为矩形，圆柱的主视图为矩形，根据立体图形可得：主视图的上面和下面各为一个矩形，且下面矩形的长比上面矩形的长要长一点，两个矩形的宽一样大小． 考点：三视图． 3. 如图，在中，分别是的边上中线，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线定义，三角形的中位线定理，相似三角形的性质，根据中位线的性质得，从而得，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：∵分别是的边上中线， ∴D是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 路灯下，小强对小华说：“我可以踩到你的影子．”从而可以断定他们在路灯的（　　） A. 同侧 B. 异侧 C. 同侧或异侧 D. 以上答案都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心投影，根据中心投影的性质可得结论 【详解】解：路灯下，小强对小华说：“我可以踩到你的影子．” 从而可以断定他们在路灯的同侧， 故选：A 5. 某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行​小时到达B处，那么tan∠ABP=（         ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意知道北偏东30°与北偏西60°成直角，利用正切的定义求值即可． 【详解】∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里． ∴PA＝20 ∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处， ∴∠APB＝90°　BP＝60×＝40 ∴tan∠ABP＝＝＝. 6. 按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得到，则下列说法错误的是（　　） A. 与位似 B. 与相似 C. 与的面积之比为 D. 与的周长之比为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故本选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； ∵将的三边缩小为原来的， 与的相似比为， C、∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为，故C选项正确，不符合题意； D∴与的周长之比为，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线与反比例函数的图象有2个公共点，则b的取值范围是（　　） A. b＞2 B. ﹣2＜b＜2 C. b＞2或b＜﹣2 D. b＜﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】联立两函数解析式消去y可得x2-bx+1=0，由直线y=-x+b与反比例函数的图象有2个公共点，得到方程x2-bx+1=0有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得结果． 【详解】解方程组得：x2-bx+1=0， ∵直线y=-x+b与反比例函数的图象有2个公共点， ∴方程x2-bx+1=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2-4＞0， ∴b＞2，或b＜-2， 故选C． 8. 如图，在中，斜边．若，则( ) A. 点到的距离为sin54° B. 点到的距离为tan36° C. 点到的距离为sin36°sin54° D. 点到的距离为cos36°sin54° 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得出B到AO的距离是指BO的长，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出BO=ABsin36°，即可判断A、B；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出AD=AOsin36°，AO=AB•sin54°，求出AD，即可判断C、D． 【详解】B到AO的距离是指BO的长， ∵， ∴∠BAO=∠AOC=36°， ∵在Rt△BOA中，∠BOA=90°，AB=1， ∴sin36°=， ∴BO=ABsin36°=sin36°， 故A、B选项错误； 过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离， ∵∠BAO=36°，∠AOB=90°， ∴∠ABO=54°， ∵sin36°=， ∴AD=AO•sin36°， ∵sin54°=， ∴AO=AB•sin54°， ∵AB=1， ∴AD=AB•sin54°•sin36°=1×sin54°•sin36°=sin54°•sin36°，故C选项正确，D选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了对解直角三角形和点到直线的距离的应用，解此题的关键是①找出点A到OC的距离和B到AO的距离，②熟练地运用锐角三角形函数的定义求出关系式，是一道容易出错的题目． 9. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△MOE∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值． 【详解】解：如图： 在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形， △CEF∽△MOE∽△PFN 则有 , ∴ ， 解得：x=0(舍)，x=7， 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，在图形中找到相似三角形是解题的关键． 10. 如图所示，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象队的图象经过点B，若，则k的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平方差公式，等腰直角三角形的性质，利用点B的坐标，将转化为是解题的关键所在．设B点坐标为，根据等腰直角三角形的性质得，将变形为，利用平方差公式得到，所以，则有，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出． 【详解】解：设B点坐标为 ∵和都是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 11. 计算： _____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数值的计算，根据特殊角的三角函数值计算． 【详解】解： ， 故答案为：0 12. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上，若线段AB=4 cm，则线段BC=______cm 【答案】12 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ， 即， ． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 13. 如图，在中，点D，E分别在边上，，若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．首先由可以得到，而，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ， ， ∴， 故答案为：． 14. 某新修“商场大厦”的一处自动扶梯如图，已知扶梯长l为，该自动扶梯到达的高度h为，自动梯与地面所成的角为θ，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查正切的定义，勾股定理的应用，如图，利用勾股定理求出的长，再根据即可求解． 【详解】解：如图： 在中，； 根据勾股定理，得：； ∴； 故答案为：． 15. 晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为_米． 【答案】6.6 【解析】 【详解】设路灯的高为，∵GH⊥BD，AB⊥BD，∴GH∥AB．∴△EGH∽△EAB． ∴①．同理△FGH∽△FCD. ②．∴． ∴．解得EB=11，代入①得，解得x=6.6（米）． 16. 如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数（x＜0）的图象上，则k=____________． 【答案】-4 【解析】 【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为（-4，0）所∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得出反比例函数的解析式． 【详解】解：过点B作BD⊥x轴于点D， ∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0）， ∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4， ∴OD= OB=2，BD=OB•sin60°=4×=2， ∴B（﹣2，2）， ∴k=﹣2×2=﹣4， 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点，灵活运用，难度适中． 17. 一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点B的坐标为_____． 【答案】（﹣3﹣，3）． 【解析】 【分析】过点B作BD⊥OD于点D，根据△ABC为直角三角形可证明△BCD∽△COA，设点B坐标为（x，y），根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】过点B作BD⊥OD于点D， ∵△ABC为直角三角形， ∴∠BCD+∠ACO=90°， ∴∠ACO＋∠CAO=90°, ∴∠BCD=∠CAO（同角的余角相等）， ∵∠AOC=∠BDC=90°， ∴△BCD∽△COA， ∴， 设点B坐标为（x，y），则， ∴y=﹣3x﹣9， ∴由勾股定理得：BC==， 而AC==， ∵∠B=30°， ∴，解得：x=﹣3±， ∵x<0， ∴x=﹣3-，则y=3， 即点B的坐标为（﹣3﹣，3）． 故答案为：（﹣3﹣，3）． 18. 小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2,0），则点E的坐标是_____． 【答案】(4,0) 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∵BC=1.2， ∴DE=2， ∴E（4，0）． 故答案为（4，0）． 【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 画出下面立体图形的三视图． 【答案】画出的三视图如下: 【解析】 【分析】本题考查实物体的三视图．观察实物图，按照三视图的要求画图即可． 【详解】略 20. 如图，在一个长40m，宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地.当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上.此时，A处的小旗在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.求： （1）他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？ （2）张华追赶王刚的速度是多少？ 【答案】（1）m.（2）m/s. 【解析】 【分析】（1）利用平行投影的性质，确定AC∥DE，利用三角形相似（△ACB∽△DEB）求解即可； （2）利用勾股定理求出BE的长，然后求出王刚的时间，减去4得到张华的时间，再根据速度=路程÷时间列式计算即可求解． 【详解】（1）根据题意可知：DE∥AC， ∴△ACB∽△DEB ∴， 在Rt△ABC中，AB=40m，BC=30m，BD=2m， ∵在一个长40m、宽30m的长方形小操场上， ∴AC=50m， ∴，解得（m）. ∴他们的影子重叠时，两人相距米． （2）根据题意得 ∴DE2=BD2+BE2， ∴， ∴s王=AB+BE=42m， ∴， ∴t张=t王-4=10s， ∴s张=AD=AB-BD=40-2=m， v张=（m/s）.． ∴张华追赶王刚的速度是m/s． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理在实际生活中的运用，解答此类问题的关键是根据题意列出方程求解． 21. 如图，点A，B分别在轴，轴上，点D在第一象限内，DC⊥轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k>0）的图象过CD的中点E． （1）求证：△AOB≌△DCA； （2）求的值； （3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在轴上，试判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵点A，B分别在x，y轴上，DC⊥x轴于点C， ∴∠AOB=∠DCA=90°， ∵AO=CD=2，AB=DA=， ∴△AOB≌△DCA； （2）k=3 （3）解：∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称， ∴BF=DC=2，FG=AC=1， ∵点F在y轴上， ∴OF=OB+BF=1+2=3， ∴G（1,3）， 把x=1代入y=中得y=3， ∴点G在反比例函数图象上． 【解析】 【分析】（1）利用HL可证△AOB≌△DCA； （2）由勾股定理可求出AC的长，从而得到OC的长，可得E坐标，代入即可求解； （3）由△BFG和△DCA关于某点成中心对称可知BF=DC=2，FG=AC=1，从而可得点G坐标，代入判断即可 【详解】（1）略 （2）解：∵∠DCA=90°，DA=，CD=2， ∴AC==1， ∴OC=OA+AC=2+1=3， ∵E是CD的中点， ∴E（3,1）， ∵反比例函数y=的图象过点E， ∴k=3×1=3； （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的坐标特征，中心对称的性质，掌握等三角形的判定与性质、中心对称的性质、待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 22. 如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（取1.73） （1）求楼房的高度约为多少米？ （2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由． 【答案】（1）楼房的高度约为17.3米； （2）当时，老人仍可晒到太阳；理由如下： 假设没有台阶，当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F，与MC的交点为点H， ∵∠BFA=45°， ∴，此时的影长AF=BA=17.3米， 所以CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1， ∴CH=CF=0.1米， ∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上． ∴老人仍可晒到太阳． 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABE中，根据∠α的正切值即可求得楼高； （2）当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F，与MC的交点为点H.可求得AF=AB=17.3米，又因CF=CH=17.3-17.2=0.1米，CM=0.2，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，即老人仍可晒到太阳． 【详解】解：（1）当α=60°时，在Rt△ABE中， ∵, ∴BA=10tan60°=米. 即楼房的高度约为17.3米； （2）略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键． 23. 达州市凤凰小学位于北纬21°，此地一年中冬至日正午时刻，太阳光与地面的夹角最小，约为35.5°；夏至日正午时刻，太阳光的夹角最大，约为82.5°．已知该校一教学楼窗户朝南，窗高207cm，如图（1）．请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚BCD，如图（2），要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡． （1）在图（3）中画出设计草图； （2）求BC、CD的长度（结果精确到个位）（参考数据：sin35.5°≈0.58，cos35.5°≈0.81，tan35.5°≈0.71，sin82.5°≈0.99，cos82.5°≈0.13，tan82.5°≈7.60） 【答案】（1）如图所示：         （2）BC的长度是21cm，CD的长度是30cm． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意结合入射角度进而画出符合题意的图形即可； （2）首先设CD=x，则tan35.5°=，表示出DC的长，进而利用tan82.5°=求出DC的长，进而得出答案． 试题解析：（1）略 （2）由题意可得出：∠CDB=35.5°，∠CDA=82.5°， 设CD=x，则tan35.5°=， ∴BC=0.71x， ∴在Rt△ACD中， tan82.5°===0.76， 解得：x≈30， ∴BC=0.71×30≈21（cm）， 答：BC的长度是21cm，CD的长度是30cm． 考点：解直角三角形的应用． 24. 如图，在中，于点D，点E为的中点，与交于点G，点F在上，且． （1）若，求证：； （2）若，求的值； （3）若，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：，点E为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，点E为的中点，得到，由，得到，进而得到，根据直角三角形的特征证明，从而证明，即可证明； （2）作于H，由（1）中结论可得，，易得都是等腰直角三角形，根据题意可得，设，则，求出，进而得到，即可求出的值； （3）作于H，于Q，先证明四边形是矩形，得出，则，再由两角对应相等的两三角形相似证明，得出，再证明，推出，根据，得到，进而得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于H， 由（1）中结论可得，， 都是等腰直角三角形， ，点E为的中点， ， ， 设，则， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，作于，于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ， ， 点E为的中点， ， ， ， ∴． ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形是矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $