精品解析：江苏省常州市华罗庚中学2024届高三下学期4月二模训练数学试卷

2024届春学期高三数学二模训练 2024.4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合中至少有2个元素，则（ ） A B. C. D. 2. 棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A B. C. D. 5. 甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为（ ）种 A. 6 B. 10 C. 18 D. 36 6. 公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则（ ） A. 81 B. 63 C. 41 D. 32 7. 在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园，并拟计划修建主干路与.为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，平分，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数恰有两个极值点，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 10. 如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ） A B. C. D. 11. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ） A. 若直线的斜率存在，则的取值范围为 B. 当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C. 当时，的面积为12 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若二项式的展开式的第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式的常数项是_______.（用数字作答） 13. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为______.（参考数据：） 14. 正三棱锥，，点为侧棱的中点，分别是线段上的动点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） （2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考数据：； 附：相关系数公式：； 回归直线方程的斜率. 16. 如图，三棱柱 的所有棱长都为3，点在底面上的射影恰好是的中心. （1）证明: 四边形是正方形; （2）设分别为的中点, 求二面角的正弦值. 17. 以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为和，为大圆上一动点，大圆半径与小圆相交于点轴于于点的轨迹为． （1）求点轨迹的方程； （2）点，若点在上，且直线的斜率乘积为，线段的中点，当直线与轴的截距为负数时，求的余弦值． 18. 已知函数，．在下列三个条件中任选一个填在下面的横线上，解答下列问题． ①，②，③． （1）（ⅰ）______，曲线在点处的切线经过点，求实数a的值； （ⅱ）求证：是曲线的一条切线． （2），当，时，求证：． 19. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． （1）若，写出及的值； （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （3）设集合，求证：且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届春学期高三数学二模训练 2024.4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合中至少有2个元素，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于集合中至少有2个元素，所以,从而可求出的取值范围 【详解】解：因为集合中至少有2个元素， 所以，解得， 故选：D 2. 棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】依题意知，， 由棣莫弗公式，得， 所以. 故选：C. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的定义判断作答. 【详解】若，则，即， 当，即时，满足，而无意义， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切可得，求解即可． 【详解】因为圆的圆心为，半径为 抛物线的准线为 所以，即， 故选：A. 5. 甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为（ ）种 A. 6 B. 10 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】先安排甲乙，再安排丙丁，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】解：先安排甲乙共有,再安排丙丁共有, 所以根据分步乘法计数原理得总共有（种）， 故选:C. 6. 公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则（ ） A. 81 B. 63 C. 41 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由条件求出数列的通项公式，再结合等比数列定义求. 【详解】因为， 所以，故， 设等差数列的公差为，则， 所以， 因为，，，，依次成等比数列，， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 7. 在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园，并拟计划修建主干路与.为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据余弦定理及二倍角公式求得，根据的范围即可得解. 【详解】设，则，设，则. 故在中，由余弦定理可得， 而，故，解得， 在直角三角形中，为锐角，故，故. 故选：A. 8. 设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件. 【详解】由题意知函数定义域为， . 因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1. 令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】首先求出函数解析式，由周期知A正确；整体代入法求函数的增区间、对称轴、对称中心知其他选项是否正确. 【详解】因为，向右平移个单位得， 对于选项A：则最小正周期为，故A选项正确； 对于选项B：令，解得， 所以单调递增区间为，故B选项错误； 对于选项C：令，解得，故C选项错误； 对于选项D：令，解得所以函数的对称中心为，故D选项正确. 故选：AD. 10. 如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，小球在下落过程中共碰撞小木钉次数，结合独立重复试验的概率公式和方差的公式，即可求解. 【详解】设事件A表示小球向右下落，设X等于事件A发生的次数，则X等于落入格子的号码， 而小球在下落过程中共碰撞小木钉10次，所以， 则， 所以，所以A正确，B不正确； 又由，所以C不正确，D正确. 故选：AD. 11. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ） A. 若直线的斜率存在，则的取值范围为 B. 当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C. 当时，的面积为12 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由经过点到达点所经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到，得到，设，列出方程，求得，进而可判定C错误；在直角中，结合，可判定D正确． 【详解】如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和， 对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确； 对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为 ，所以B正确； 对于C中，由，得，即，所以， 设，则， 因为，所以，整理得， 解得或（舍去），所以，， 所以的面积，所以C错误； 对于D项，在直角中，， 所以，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若二项式的展开式的第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式的常数项是_______.（用数字作答） 【答案】## 【解析】 【分析】由条件结合展开式的通项公式列方程求，再由通项公式求常数项. 【详解】展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，即，所以， 因此展开式的通项为， 当，即时，对应项为常数项， 即. 故答案为：. 13. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为______.（参考数据：） 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意求出第n次操作后去掉的各区间长度之和,列不等式结合对数运算法则，即可求解. 【详解】由题意可知，每次操作剩下的区间长度为都是原来的， 第n次操作后剩下的区间长度为，则所有去掉的区间长度之和为， 由题意知，，得， 两边取对数得，解得， 又n为整数，∴n的最小值为12． 故答案为：12． 14. 正三棱锥，，点为侧棱的中点，分别是线段上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，计算，，设，得到，根据余弦定理得到，，再确定，根据三角恒等变换结合均值不等式计算得到答案. 【详解】如图所示，过点作于，则， 中，，故， ， 设，，则， 故，所以， ，，故， 故， 故， 而 ，（）， 当且仅当，即时等号成立， 所以； 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中引入变量，转化为三角函数问题可以简化运算，是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） （2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考数据：； 附：相关系数公式：； 回归直线方程的斜率. 【答案】（1），相关程度较高 （2）；投入至少亿元 【解析】 【分析】（1）直接通过计算相关系数来进行判断； （2）先计算回归直线方程，然后再做出预测. 【小问1详解】 ， ， ， ， 所以，所以相关程度较高； 【小问2详解】 由（1）得，， 所以，， 所以，令， 得，所以研发投入至少亿元. 16. 如图，三棱柱 的所有棱长都为3，点在底面上的射影恰好是的中心. （1）证明: 四边形是正方形; （2）设分别为的中点, 求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证明平面，可得，由几何体结构特征即可得出证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出两平面的法向量即可求出二面角的余弦值，即可得二面角的正弦值. 【小问1详解】 设点为的中心，连接，连接并延长交于点， 则平面，因为平面，所以， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以，且， 所以四边形是矩形，因为， 所以四边形是正方形. 【小问2详解】 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 因为为的中点，所以， 所以， 设平面与平面的法向量分别为， 则有，即， 取，则，所以， 易知，平面法向量沿轴方向，不妨取， 所以， 故二面角的正弦值为. 17. 以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为和，为大圆上一动点，大圆半径与小圆相交于点轴于于点的轨迹为． （1）求点轨迹的方程； （2）点，若点在上，且直线的斜率乘积为，线段的中点，当直线与轴的截距为负数时，求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据条件得到，消元即可求出结果； （2）法一：设，直线的方程为，联立直线与椭圆方程得到，由韦达定理得，根据题设得到直线的方程为，再利用点在椭圆上，得到，从而有与y轴负平轴所形成的夹角为，再求出与x正半轴所形成的夹角，即可解决问题；法二：设，直线的方程为，直接求出，再根据条件求出，后面同法一；法三：建立新的坐标系，在新的坐标系中，得椭圆的方程为，及直线的方程为，联立直线与椭圆，再结合条件得到，从而有，后面同法一；法四：设，直线的方程为，联立椭圆方程得，进而得到，通过令，得到，令，得到，从而有 ，下面同方法一. 【小问1详解】 设，则， 消去得，所以点轨迹的方程为. 【小问2详解】 方法一：设，直线的方程为， ，消去y得， ，即 由韦达定理知， ， 所以，整理得， 即， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为，恒过点，不合题意 设，将， 将M、N两点代入到椭圆得，两式相减得， 即，所以， 故， 设与y轴负平轴所形成的夹角为，因为，所以， 设与x正半轴所形成的夹角为，因为，所以， 方法二：设，直线的方程为 消去y可得： 从而，故， 将代入直线的方程可得，所以， 又，将式点M中的k换成得到， ，下面同方法一 方法三：以为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程， 在新坐标系下设，直线的方程为 将椭圆方程变形可得： 将直线的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得， 整理得 即：， 所以，故， 直线的方程为，下面同方法一 方法四：设，直线的方程为 消去y可得： 因为是上述一元二次方程的两个根，所以 ① 又 整理得： 在①式中 令得： ② 令得： ③ 可得：整理得，下面同方法一 【点睛】 关键点点晴，本题的关键在于第（2）问，通过设出直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得到，由韦达定理得，根据题设得到直线的方程为，再利用点在椭圆上，得到，从而将问题转化成解决，其中为与y轴负平轴所形成的夹角，为与x正半轴所形成的夹角. 18. 已知函数，．在下列三个条件中任选一个填在下面的横线上，解答下列问题． ①，②，③． （1）（ⅰ）______，曲线在点处的切线经过点，求实数a的值； （ⅱ）求证：是曲线的一条切线． （2），当，时，求证：． 【答案】（1）（ⅰ）答案不唯一，具体见解析（ⅱ）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）根据导数的几何意义分别求出对应的切线方程，再结合切线过点求解即可得实数a的值；（ii）设切点为，进而根据导数几何意义求得切点坐标为，进而证明. （2）结合（ii）,将问题转化为证明，再结合不等式得，进而只需证明，进而构造函数令，利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 解：（ⅰ）选①， 则， ， 所以切线斜率． 又，所以切点为， 所以切线方程为． 因为切线经过点，所以， 解得． 选②， 则， ， 所以切线斜率． 又，所以切点为， 所以切线方程为． 因为切线经过点，所以， 解得． 选③， 则， 则， 所以切线斜率． 又，所以切点为， 所以切线方程为． 因为切线经过点，所以， 解得． （ⅱ）由，得． 设切点，则，得， 所以，则切点坐标为， 则切线方程为，即， 所以是曲线的一条切线． 【小问2详解】 令， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即． 若要证明，只需证明， 即证．先证当时， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，即，所以． 故只需证明． （直接证明时，计算比较复杂，所以利用放缩法证明） 令， 则，所以在上单调递减， 所以当时，， 所以．综上知，，即原不等式成立． 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，导数的几何意义，考查运算求解能力，逻辑推理能力，放缩法证明不等式等.本题第二问解题的关键在于借助第一问的结论将问题转化为证明，进而结合不等式进一步转化为证明. 19. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． （1）若，写出及的值； （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （3）设集合，求证：且． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意先分别求出，，，，则易得及的值； （2）由题可知，分析判断时，与题设矛盾，推得；再假设存在使得，经推理得出与是等差数列矛盾，可得，利用等差数列基本量运算即得； （3）根据定义得到数列是递增数列；用反证法证明，假设存在正整数，若，则推出，与假设矛盾，所以；，所以要证，只需证，且，能推出，所以，所以，所以结论成立. 【小问1详解】 依题意，，，，， 故得； 【小问2详解】 由题可知，所以，所以． 若，则， 所以，与是等差数列矛盾． 所以． 设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 假设存在使得． 设，由得． 由得，与是等差数列矛盾． 所以对任意都有． 所以数列是等差数列，． 【小问3详解】 因为对于，所以． 所以，即数列是递增数列． 先证明． 假设，设正整数． 由于，故存在正整数使得，所以． 因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 所以． 所以． 又因为数列是递增数列，所以，矛盾． 所以． 再证明． 由题可知． 设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数，使得． 令． 若，则，即，所以． 所以，所以． 若，则， 所以． 所以，所以． 因为，所以． 所以． 综上，且． 【点睛】方法点睛：本题主要考查集合新定义问题，属于难题.对于集合新定义问题的解题策略，首先，要明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行推理和运算，最后得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$