精品解析：山西省晋城市第一中学校丹河校区2023-2024学年高二下学期第四次调研考试（5月）数学试题

山西省晋城市第一中学校丹河校区2023-2024学年高二下学期第四次调研考试（5月）数学试题 出题人：常荻 审题人：张若男 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请将全部答案按要求写在答卷纸上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间基底的概念，结合选项，判断每组向量是否共面，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以不能作为一组空间基底； 对于B中，假设共面，则存在，使得， 即，可得，此时方程组无解，所以不共面，所以向量可以作为空间的一组基底； 对于C中，由，所以不能作为空间的一组基底； 对于D中，由，所以不能作为空间的一组基底. 故选：B. 2. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，结合弦长公式即可求得结果. 【详解】圆心到直线的距离为， 所求弦长为． 故选：C． 【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的求解，属简单题. 3. 已知x，y的取值如表所示： x 2 3 4 y 6 4 5 如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】算出、，然后代入方程可得答案. 【详解】∵，， ∴回归直线过点，∴， ∴． 故选：A． 4. 在数列中，若，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】通过递推公式求出可得数列是周期数列，根据周期即得. 【详解】由题可得，，， 则数列周期数列，满足，， . 故选：A. 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，则，， 所以. 故选：C 6. 朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家.朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是，如果12音阶中第一个音的频率是，那么第二个音的频率就是，第三个单的频率就是，第四个音的频率是，……，第十二个音的频率是，第十三个音的频率是，就是.在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分析题意，利用等比数列的求和公式即可计算得解. 【详解】由题意知，第二个音到第十三个音的频率分别为， 显然以上12个数构成了以为首项，以为公比的等比数列， 由等比数列求和公式得： . 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和公式，解题的关键是分析题意将第二个音到第十三个音的频率构成以为首项，以为公比的等比数列，再根据等比数列求和公式可得，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题. 7. 一个架子上有8本书，每次至少拿出1本，拿完为止，则一共有几种拿法（ ） A. 108 B. 120 C. 128 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】分8种情况求解，然后利用分类加法原理求解即可 【详解】解：1次拿完，有种， 2次拿完，相当于8本书分2堆，有种， 3次拿完，相当于8本书分3堆，有种， 4次拿完，相当于8本书分4堆，有种， 5次拿完，相当于8本书分5堆，有种， 6次拿完，相当于8本书分6堆，有种， 7次拿完，相当于8本书分7堆，有种， 8次拿完，相当于8本书一本一本拿，有种， 由分类加法原理可得共有 种， 故选：C 8. 在平面直角坐标系中，点A，B分别是圆与直线上的动点，若的最小值为，则t的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 求出圆心到直线的距离，可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即可求出. 【详解】圆心到直线的距离为， 可得的最小值为，解得. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，） A. ， B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正态分布的知识确定A选项正确性，根据对称性确定BCD选项的正确性. 【详解】依题意，所以， 即，，故A选项错误. 由于，所以，故B选项正确. 由于，所以，故C选项正确. 由于，，故D选项正确. 故选：BCD 10. 已知随机事件的概率分别为，且，则（ ） A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件相互对立 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意可求得再利用条件概率公式可得，由相互独立事件的定义可知，即事件与事件相互独立；显然，即事件与事件不是相互对立事件；由概率的加法公式和条件概率公式计算可得C正确，D错误. 【详解】对A，根据题意可得 由条件概率公式可得，又 所以，又易知， 所以； 即满足，所以事件与事件相互独立，即A正确； 对B，又，不满足，所以事件与事件不是相互对立事件，即B错误； 对C，易知，即C正确； 对D，由条件概率公式可得，所以D错误. 故选：AC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ） A. 当时，EP//平面 B. 当时，取得最小值，其值为 C. 的最小值为 D. 当平面CEP时， 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答. 【详解】在棱长为2正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，则点， 对于A，，，，而， 显然，即是平面的一个法向量， 而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误； 对于B，，则， 因此当时，取得最小值，B正确； 对于C，， 于是，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，取的中点，连接，如图， 因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面， 连接，连接，连接，显然平面平面， 因此，平面，平面，则平面， 即有，而，所以，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得______. 【答案】三分鹿之一 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的公式可求得结果. 【详解】显然5人所得依次成等差数列， 设公士所得为，则， 解得． 故答案为：三分鹿之一. 【点睛】本题考查了数学文化、等差数列的前项和公式的应用，属于基础题. 13. 已知椭圆C：，直线l与C在第二象限交于A，B两点（A在B的左下方），与x轴，y轴分别交于点M，N，且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3，则l的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得点为线段中点，设点坐标为，求出A点坐标，代入椭圆方程解出点的坐标即可得解. 【详解】如图， 由条件得点为线段中点，设点坐标为，得， 由得坐标为，将坐标分别代入中， 得解得 则坐标分别为､， 故直线方程为，即， 所以直线的方程为． 故答案为： 14. 若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，，底面是边长为2的正三角形，其重心为点，是线段上一点，且． （1）求证：∥平面; （2）求平面与底面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解（2） 【解析】 【分析】(1)利用面面垂直的性质定理可证平面，建立空间直角坐标系，利用向量可证，进而证明线面平行；(2)利用空间向量求面面夹角，． 【详解】（1）侧面底面，,过作，垂直为 平面平面，平面平面 ∴平面，则与底面成的角为 则为以的中点，以O为坐标原点，射线OC，OB，分别为轴的正方向 则 ∴ 平面的一个法向量为 ∵，则 平面，则∥平面 (2)根据（1）得 设平面的法向量为 ∵，则，可得 又∵平面ABC的法向量 ∴ 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 16. 已知等比数列的前n项和为，且的前3项和为，的前6项和为78． （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）若数列为首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式列方程组求解； （2）先利用等比数列的通项公式出，然后利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由已知得，解得， 所以； 【小问2详解】 由已知得，所以， 所以， 则， 所以， 两式相减得， 整理得. 17. 已知椭圆两个焦点分别为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点． 【答案】（1）; （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出的值即可； （2）联立直线方程和椭圆方程后利用两直线垂直可算出. 【小问1详解】 由题意得：，，， 故可知， 椭圆方程为：. 【小问2详解】 M为椭圆C的左顶点， 又由（1）可知：，设直线AB的方程为：，， 联立方程可得：， 则，即， 由韦达定理可知：，， ，则， ， 又， ， ， 展开后整理得：，解得：或， 当时，AB的方程为：，经过点，不满足题意，舍去， 当时，AB的方程为：，恒过定点. 所以直线过定点． 18. 已知函数，． （1）当时，证明：在上恒成立； （2）若有2个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，对函数求导得，根据指数函数和幂函数的性质知函数在上单调递增且，结合导数研究函数的单调性求出即可； （2）函数有2个零点等价于函数与的图象有2个交点，利用导数讨论函数的单调性，结合图形即可求解. 【小问1详解】 当时，设， 则，设， 由函数和在上单调递增， 知函数在上单调递增，且， 所以当时，，即上单调递减， 当时，，即上单调递增， 所以 即在上恒成立； 【小问2详解】 由，得，令， 则有2个零点，等价于函数与的图象有2个交点， 令，得， 当时，当时， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远比大，故趋向于0， 作出函数的大致图象如下： 结合图象可知，当时，与的图象有2个交点， 故a的取值范围是． 19. 某校数学兴趣小组由水平相当的位同学组成，他们的学号依次为．辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的.挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题； ②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战： ④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功，挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ⑤若挑战进行到了第轮，则不管第号同学答对多少题，下轮不再安排同学. （1）令随机变量表示名挑战者在第轮结束，求随机变量的分布列； （2）若把挑战规则①换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答． 令随机变量表示名挑战者在第轮结束，求随机变量的分布列． 【答案】（1）分布列见解析 （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）先算出位同学在轮挑战中成功的概率和失败的概率，得到，，即可求出随机变量的分布列； （2）先考虑时，第k人必答对第二题，有，再考虑当时，故，于是得到的分布列. 【小问1详解】 位同学在轮挑战中成功的概率为，失败的概率为， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 P 【小问2详解】时，第k人必答对第二题， 若前面人都没有人答对第一题，其概率为， 若前面人有一人答对第一题，其概率为， 故； 当时， 若前面人都没有人答对第一题，其概率为， 若前面人有一人答对第一题，其概率为， 故. 所以的分布列为： 1 2 3 … P … 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西省晋城市第一中学校丹河校区2023-2024学年高二下学期第四次调研考试（5月）数学试题 出题人：常荻 审题人：张若男 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请将全部答案按要求写在答卷纸上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知x，y的取值如表所示： x 2 3 4 y 6 4 5 如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在数列中，若，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 朱载堉是明太祖朱元璋九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家.朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是，如果12音阶中第一个音的频率是，那么第二个音的频率就是，第三个单的频率就是，第四个音的频率是，……，第十二个音的频率是，第十三个音的频率是，就是.在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为（ ）. A. B. C. D. 7. 一个架子上有8本书，每次至少拿出1本，拿完为止，则一共有几种拿法（ ） A. 108 B. 120 C. 128 D. 144 8. 在平面直角坐标系中，点A，B分别是圆与直线上的动点，若的最小值为，则t的值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，） A. ， B. C. D. 10. 已知随机事件的概率分别为，且，则（ ） A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件相互对立 C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ） A. 当时，EP//平面 B. 当时，取得最小值，其值为 C. 的最小值为 D. 当平面CEP时， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得______. 13. 已知椭圆C：，直线l与C在第二象限交于A，B两点（A在B的左下方），与x轴，y轴分别交于点M，N，且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3，则l的方程为__________． 14. 若函数在区间上有单调递增区间，则实数取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，，底面是边长为2的正三角形，其重心为点，是线段上一点，且． （1）求证：∥平面; （2）求平面与底面所成锐二面角的余弦值． 16. 已知等比数列的前n项和为，且的前3项和为，的前6项和为78． （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）若数列为首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和． 17. 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点． 18. 已知函数，． （1）当时，证明：在上恒成立； （2）若有2个零点，求a的取值范围． 19. 某校数学兴趣小组由水平相当位同学组成，他们的学号依次为．辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的.挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题； ②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战： ④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认挑战成功，挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ⑤若挑战进行到了第轮，则不管第号同学答对多少题，下轮不再安排同学. （1）令随机变量表示名挑战者在第轮结束，求随机变量的分布列； （2）若把挑战规则①换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答． 令随机变量表示名挑战者在第轮结束，求随机变量的分布列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$