精品解析：2024年江苏省扬州市梅岭中学教育集团九年级第一次中考模拟数学试题

梅岭中学教育集团2023-2024学年初三第一次模拟考试试卷 初三年级数学学科 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提醒：所有试题的解答请在所提供的答题纸上作答，否则一律无效！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 绝对值等于2的数是(　　) A. 2 B. -2 C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计18的算术平方根介于（ ） A 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于函数的图像与性质叙述正确的是（ ） ①该函数图像关于轴对称；②该函数图像关于轴对称；③该函数随着的增大而增大；④该函数的最小值为． A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④ 8. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记（n取正整数），则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可输出约万度清洁电力．将448000用科学记数法表示应为______． 10. 分解因式：______. 11. 已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是_________． 12. 已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开圆心角的度数为，则该圆锥的母线长为______． 13. 如图，在中，，，的面积为1，则的面积为______． 14. 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D，E 在⊙O 上，若∠AED＝20°，则∠BCD 的度数为_________． 15. 如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为________． 16. 某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50到8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是______． 17. 已知在二次函数中，函数值y与自变量x部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 0 … 则满足方程的解是______． 18. 如图，在矩形中，点E、F是对角线上两点，，，点G是边的中点．当取最小值时，的值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. 先化简，再从0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 20. 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：——第一步 ——第二步 ——第三步 ——第四步 ——第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据______（运算律）进行变形的；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 21. 如图，电路图上有A、B、C、D，4个开关和1个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡发亮． （1）任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是______； （2）任意闭合其中的2个开关，小灯泡发亮的概率是多少？（请用列表或画树状图的方法说明理由） 22. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，） b．甲小区用气量的数据在这一组的是： 15，15，16，16，16，16，18，18，18，18，18，19 c．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下： 小区 平均数 中位数 众数 甲 17.2 m 18 乙 17.7 19 15 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m值为______； （2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为．比较，的大小，并说明理由； （3）估计甲小区中用气量不超过15立方米的户数． 23. 2024年扬州鉴真半程马拉松比赛于4月1日举行，本届赛事设置半程马拉松、健康跑、欢乐跑项目．小明参与了“半程马拉松”（约）项目，小明前按计划的速度跑，之后为了提高成绩，平均速度提高到之前的倍，最终比原计划提前到达目的地．求小明前的平均速度． 24. 如图，矩形中，的平分线分别交边于点E、F． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当为多少度时，四边形是菱形？请说明理由． 25. 如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点D．点E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求线段的长． 26. 阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（ ）； A．换元思想 B．数形结合思想 C．整体思想 （2）如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； （3）判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 27. 如图1，在等腰中，，，点是边上一点（不与点、重合），连接，将沿翻折得，连接． （1）若，解决下列问题： ①当点落在边上时，与的关系是______； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点的位置； （2）如图，①当点落在边上，且 为等腰三角形时，求的值； ②当点在边上运动时，存在点落在边上，则的取值范围是______． 28. 如图1，已知点，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点． （1）当，时，求直线解析式及k的值； （2）当的面积为10时，求k的值； （3）当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 梅岭中学教育集团2023-2024学年初三第一次模拟考试试卷 初三年级数学学科 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提醒：所有试题的解答请在所提供的答题纸上作答，否则一律无效！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 绝对值等于2的数是(　　) A. 2 B. -2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出绝对值即可解答． 【详解】A． ∵=2，故不符合题意； B． =2，故不符合题意； C． ，故符合题意； D． =2，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 根据合并同类项法则，同底数㫧相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 估计18的算术平方根介于（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用了算术平方根与被开方数的关系． 根据算术平方根越大被开方数越大，可得答案． 【详解】解：由，得， 即， 故选：D． 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到． 由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到，而，即可求出． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 6. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以用含的式子表示出的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 立柱根部与圭表的冬至线的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 7. 下列关于函数的图像与性质叙述正确的是（ ） ①该函数图像关于轴对称；②该函数图像关于轴对称；③该函数随着的增大而增大；④该函数的最小值为． A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，解题个关键是熟知二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求解． 【详解】该函数图象关于轴不对称，故①错误； 该函数图像关于轴不对称，故②错误； 该函数随着的增大而增大，故③正确； 该函数最小值为，故④正确． 故选：C． 8. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记（n取正整数），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确的化简计算是解本题的关键，化简为，代入算式，利用裂项相消计算，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，，，，， ， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可输出约万度清洁电力．将448000用科学记数法表示应为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 分解因式：______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是_________． 【答案】10##十 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是掌握多边形的外角和是．利用外角和定理求出边数即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 12. 已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开圆心角的度数为，则该圆锥的母线长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解． 【详解】解：设母线长为，则， 解得：． 故答案为：3． 13. 如图，在中，，，的面积为1，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据得到，结合得，继而得到，，结合，得到，，继而得到，解得即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 14. 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D，E 在⊙O 上，若∠AED＝20°，则∠BCD 的度数为_________． 【答案】110° 【解析】 【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB=90°，∠ACD=20°，即可求∠BCD的度数． 【详解】 连接AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠AED=20°， ∴∠ACD=20°， ∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°. 【点睛】本题考查知识点是圆周角定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理. 15. 如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为________． 【答案】4 【解析】 【详解】分析：根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=4，所以△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，然后得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影=+﹣S△ABC=，最终得到阴影部分的面积． 详解：∵在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB=4，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，∴=×4×2=4． 又∵S阴影=+﹣S△AB，=S△ABC，∴S阴影==4． 故答案为4． 点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．运用面积的和差解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 16. 某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50到8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．先求出等车时间不超过10分钟的时间，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：等车时间不超过10分钟的时间段是7：50～8：00，8：20～8：30，一共20分钟，7：50至8：30一共40分钟， 则他等车时间不超过10分钟的概率是． 故答案为： ． 17. 已知在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 0 … 则满足方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活应用抛物线的性质解决问题，是数形结合的好题目，属于中考常考题型． 先确定抛物线对称轴，再观察表格确定函数值为0时的自变量的值即可解决问题． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 抛物线解析式为：； ， 因式分解得：， 解得：． 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，点E、F是对角线上的两点，，，点G是边的中点．当取最小值时，的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】取的中点，连接．根据点是边上的中点，则，推出四边形是平行四边形，所以，因此，当、、三点在同一直线上时，最小，即，由，推出，代入计算得出答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接． ∵点是边上的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)， ∴， ∴， ∴当、、三点在同一直线上时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，三角形中位线，平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中，证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. 先化简，再从0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 当或2时，分式无意义， 故当时，原式． 20. 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：——第一步 ——第二步 ——第三步 ——第四步 ——第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据______（运算律）进行变形的；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】任务一：①乘法分配律；②三；移项没有变号；任务二： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题词关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④并同类项；⑤化系数为1． 分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解． 【详解】解：第一步， 第二步， 第三步， 第四步， 第五步； ①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有变号； 故答案为：乘法分配律；三；移项没有变号． 任务二：该不等式的正确解集是． 21. 如图，电路图上有A、B、C、D，4个开关和1个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡发亮． （1）任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是______； （2）任意闭合其中的2个开关，小灯泡发亮的概率是多少？（请用列表或画树状图的方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率． （1）让小灯泡发光的情况数除以总情况数即为发光的概率； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：共有4个开关，闭合其中一个开关，有4种情况， 只有闭合才能使灯泡发光， 所以小灯泡发光的概率； 【小问2详解】 画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况， ∴小灯泡发光的概率为：． 22. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，） b．甲小区用气量的数据在这一组的是： 15，15，16，16，16，16，18，18，18，18，18，19 c．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下： 小区 平均数 中位数 众数 甲 17.2 m 18 乙 17.7 19 15 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______； （2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为．比较，的大小，并说明理由； （3）估计甲小区中用气量不超过15立方米的户数． 【答案】（1）16 （2），理由见解析 （3）120户 【解析】 【分析】本题考查求中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握求中位数及其意义，由样本估计总体的方法是解题关键． （1）利用求中位数的方法求解即可； （2）利用中位数和平均数的意义分析即可； （3）根据抽取的30户中用气量超过15立方米的户数所占的比例估算出整体户数． 【小问1详解】 解：甲小区抽取的用户中，中位数为顺序排列后第15位和第16位数的平均数， 即， 故答案为：16． 【小问2详解】 解：由题知，（户）， 在乙小区抽取的用户中，中位数为，平均数为17.7，即最少有15户高于他们的平均用气量，即， ； 【小问3详解】 解：由题知，（户）， 答：甲小区中用气量不超过15立方米的户数为户． 23. 2024年扬州鉴真半程马拉松比赛于4月1日举行，本届赛事设置半程马拉松、健康跑、欢乐跑项目．小明参与了“半程马拉松”（约）项目，小明前按计划的速度跑，之后为了提高成绩，平均速度提高到之前的倍，最终比原计划提前到达目的地．求小明前的平均速度． 【答案】小明前的平均速度为 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设小明前的平均速度为，根据最终小明比原计划提前到达目的地，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设小明前的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解，也符合实际意义． 答：小明前的平均速度为． 24. 如图，矩形中，的平分线分别交边于点E、F． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当为多少度时，四边形是菱形？请说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）当时，四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、平行四边形、菱形，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键． （1）由矩形可得，结合平分、平分得，即可知，根据即可得证； （2）当时，四边形是菱形，由角平分线知、，结合可得，即，即可得证． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分、平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 当时，四边形是菱形， ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 25. 如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点D．点E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）连接、，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，推出是直角三角形，根据直角三角形的性质得到，求得于是得到结论； （2）在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接． ∵， ∴． 又∵是的直径， ∴， ∴是直角三角形． 又∵是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）知， 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 26. 阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用数学思想是（ ）； A．换元思想 B．数形结合思想 C．整体思想 （2）如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； （3）判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 【答案】（1）B （2） （3）只有一个实数根，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式(组)及一次函数与二元一次方程(组)，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． （1）根据题中所给解题过程，可得出其中运用了数形结合的数学思想，据此可解决问题． （2）将所给方程组的解转化为所对应函数解析式图象的交点问题即可． （3）将所给一元三次方程转化为二次函数图象与反比例函数图象的交点问题即可， 【小问1详解】 解：由题知，上述解题过程中还运用了数形结合的思想， 故选：B 【小问2详解】 方程组的解可看成函数与图象的交点坐标， ∵直线：与直线：交于点， 则， ∴两条直线的交点为， ∴方程组解是， 故答案为：． 【小问3详解】 一元三次方程有1个实数根． 由方程得 ， ∴， ∴原方程的实数根的情况可看成函数与函数图象的交点问题， 如图所示： ， 两个函数图像只有一个交点， ∴一元三次方程只有一个实数根． 27. 如图1，在等腰中，，，点是边上一点（不与点、重合），连接，将沿翻折得，连接． （1）若，解决下列问题： ①当点落在边上时，与的关系是______； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点的位置； （2）如图，①当点落在边上，且 为等腰三角形时，求的值； ②当点在边上运动时，存在点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】（1）①， ②画图见详解 （2）①或； ② 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得，，从而得出，即，根据三角函数可得与的关系． ②当时，交与点，利用平行线和等腰三角形的性质和判定，可得，即，所以，从而得出，处于的垂直平分线上，按照垂直平分线的画法画图即可． （2）①当 为等腰三角形时，可分三种情况：，，，从而根据等腰三角形的性质分情况讨论即可． ②当存在点落在边上时，根据，可得，所以，再根据，点可与点重合，不与点重合，可得，代数可得，即，综上可得． 【小问1详解】 ①∵， ∴， 当点落在边上时，， 可得， ∴， ∴，即 ∴， ∴与的关系是，． ②当时，如图所示，交与点， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故处于的垂直平分线上， ∴点位置如下图所示， 【小问2详解】 ①当 为等腰三角形时，可分三种情况： 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 当时， 由上可得， ∵， ∴， ∴， 解得（不符题意舍去）． 当时， 由上可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 综上可得，或． ②当存在点落在边上时，， 即，， ∴， 由上可得，点可与点重合，不与点重合， ∴， ∴， 解得， 综上可得． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，折叠，三角形内角和的性质，垂直平分线的判定和画法，等腰三角形的性质和判定，三角函数的运用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28. 如图1，已知点，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点． （1）当，时，求直线的解析式及k的值； （2）当的面积为10时，求k的值； （3）当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离． 【答案】（1）； （2） （3）平移的距离为 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得直线的解析式，再联立方程组后运用根的判别式即可求得的值； （2）由的面积为10，可得出，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组整理得，运用根的判别式可得，即； （3）根据和反比例函数k值几何意义得出，从而得出当时，取最大值，解出，平移前点，得出．平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴，设点，则，根据，得出，．证明，得出，点，得出，解得，从而得出平移后点，即可求出平移的距离． 【小问1详解】 解：当时，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得：， ∵反比例函数与直线有唯一一个交点， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵的面积为10， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得：， ∵反比例函数与直数有唯一一个交点， ， ． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∴平移前点． ∴， ∴． 平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴， 设点，则， ∵平移，所以， ∴， ∴． ∵点是中点，且， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴，解得． ∵， ∴． ∴平移后点， ∴平移的距离为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的图象交点，相似三角形的性质和判定，平移的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用等，熟练掌握反比例函数的图形和性质，一次函数的性质，平移的性质等知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$