精品解析：安徽省阜阳市太和中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题

太和中学高一下学期期中教学质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册第六章～第九章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A 63% B. 47% C. 55% D. 42% 6. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知内有一点满足，则向量与的夹角为（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若一组数据，，平均数为4，则数据，，的平均数为_________． 13. 函数的零点是_________． 14. 如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为． （1）若，，，求； （2）若，且的面积为，求的最小值． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求的周长. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 18. 如图，在正方体中，为中点． （1）求证：‖平面； （2）上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点位置；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 太和中学高一下学期期中教学质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册第六章～第九章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 3. 已知为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解. 【详解】． 故选：A． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用和的单调性，即可求出结果. 【详解】因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以有， 所以，，的大小关系是， 故选：C． 5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A 63% B. 47% C. 55% D. 42% 【答案】B 【解析】 【分析】设只喜欢篮球百分比为，只喜欢羽毛球的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为，画出图形，列出方程求解即可． 【详解】解：设只喜欢篮球的百分比为，只喜欢羽毛球的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为， 由题意，可得，，，解得． 该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是． 故选：B． 6. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，根据棱台的体积公式结合条件即得. 【详解】如图，在正四棱台中，，，连接，， 则，， 设侧棱长为，则棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为， 解得． 故选：B． 7. 已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由余弦定理结合三角形面积公式可得的面积的表达式，结合二次函数性质可求出其最大值，即可求得的面积最大值，从而求解. 【详解】由题意为的中点，设，则， 则在中，, 则的面积 ，当时取等号， 所以的面积最大值为，的面积最大值为， 上高的最大值为． 故选：D． 8. 已知内有一点满足，则向量与的夹角为（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角 【答案】B 【解析】 【分析】把条件转化为，再根据向量的运算法则逐步计算即可求解. 【详解】由条件得，则， 所以， 所以， 则，即， 所以，则， 所以向量与的夹角为． 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律分别计算即可. 【详解】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由基本不等式对选项逐一判断． 【详解】由，得． 对于A，（当且仅当，即时取等号），A正确； 对于B，（当且仅当，即），B错误； 对于C，（当且仅当，即时取等号）， ，解得（当且仅当时取等号），C错误； 对于D，（当且仅当，即时取等号），由C知（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号），D正确． 故选：AD 11. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得到和，结合三角函数的性质和选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数， 将的图象向左平移个单位长度得到， 因为，可得， 即，可得，解得， 又因为，所以，所以，， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由为奇函数，所以B不正确； 对于C中，由， 则 ，所以C正确； 对于D中，由 ，因为，可得， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若一组数据，，平均数为4，则数据，，的平均数为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据一组数据加上或乘以一个数之后的新数据的平均数的性质，即可求得答案. 【详解】若一组数据，，的平均数为4， 则数据，，的平均数为． 故答案为：10 13. 函数的零点是_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接解方程求零点即可. 【详解】由已知可得，当时，； 当时，由，得， 故的零点是． 故答案为：. 14. 如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设内切球半径为，三棱锥表面积为，根据三棱锥体积求出，然后由球的表面积公式可得. 【详解】因为，，所以，， 当时，，因为，， 所以平面，，， ， 则三棱锥的表面积为， 设内切球半径为，则由等体积法知， 解得，所以内切球的表面积． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为． （1）若，，，求； （2）若，且的面积为，求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用平方关系求出，然后由正弦定理即可得解； （2）已知结合余弦定理可得，由面积公式可得，然后由基本不等式可得的最小值. 【小问1详解】 因为，且，所以， 由正弦定理，得． 小问2详解】 因为，所以， 又，所以， 因为的面积为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，余弦定理边化角，利用同角三角函数的商数关系化简，再由正弦定理边化角，得，可得角的大小； （2）由的面积求出，再由余弦定理求出，可得的周长. 【小问1详解】 中，由，得， 由余弦定理得， 即， 由正弦定理得， ，，得， ，则. 【小问2详解】 若的面积为，则，得， ，由余弦定理，得， 解得， 的周长为. 17. 已知，，分别为三个内角，，对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解； （2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，． 又，， ，，， ，． 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 的面积为． 18. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：‖平面； （2）上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点为的中点 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，则由三角形的中位线定理得‖，再由线面平行的判定理可证得结论； （2）当点为的中点时，即满足平面‖平面，连接，，可证得‖平面，由（1）知‖平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【小问1详解】 证明：如图，连接交于，连接． 正方体，底面为正方形，， 为的中点，又为的中点， 是的中位线，‖， 又平面，平面， ‖平面． 【小问2详解】 当点为的中点时，即满足平面‖平面，理由如下： 连接，， 为的中点，为的中点，‖，， 四边形为平行四边形，‖， 又平面，平面， ‖平面． 由（1）知‖平面， 又，，平面， 平面‖平面． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，推出平面，从而是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值. （2）取的中点，连接，取的中点，连接，，由，，可得，并由已知条件推出平面，根据线面垂直性质推出，可得是二面角的平面角，在中，由已知条件即可求出. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 在中，，，，， 平面，平面，， ，分别为，的中点，， ，，又，平面， 直线与平面所成角为， 在中，，， ， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 取的中点，连接，取的中点，连接，， 由，，可得， ，，， 又，平面， 又平面，， 是二面角的平面角， 在中，，， ，， 故二面角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$