精品解析：重庆市重庆市长寿区重庆市长寿川维中学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2023-2024学年度下期川维中学第二次月考 高二数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 3 C. 1或4 D. 1或3 2. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A. 2 B. C. 10 D. 5 3. 甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 B. 乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C. 水果质量服从的正态分布的参数 D. 甲类水果的平均质量 4. 甲､乙､丙､丁4名志愿者参加创文巩卫志愿者活动，现有三个社区可供选择，每名志愿者只能选择其中一个社区，每个社区至少一名志愿者，则甲不在社区的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（ ） A. B. 3 C. D. 6. 已知随机变量，满足，若，则，分别（ ） A. 6，2.4 B. 6，5.6 C. 2，2.4 D. 2，5.6 7. 已知函数的定义域内R，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22第40百分位数为12 B. 回归分析模型中，决定系数越大，说明模型模拟效果越好 C. 在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等 D. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点 与的残差相等，则 10. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ） A. 事件，为互斥事件 B. 事件B，C为独立事件 C. D. 11. 已知函数，是自然对数的底数，则（ ） A. 的最大值为 B. C. 若，则 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中常数项为 __________.(用数字作答) 13. 一排有个座位，如果每个座位只能坐人，现安排四人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有__________种用数字作答． 14. 当时，函数的图象恒在抛物线的上方，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值，其中． （1）求的值； （2）当时，求的最大值和最小值． 16. 教育部决定自年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节. （1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据： 若该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求关于的线性回归方程. （2）根据规定每名考生只能报考强基计划一所试点高校，某考生准备从甲、乙两所大学选择一所报考，已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立，若该考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率分别为、、，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率均为.若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，该考生应报考哪所高校. 参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，. 17. 某市为了了解全市1万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估算该校50名学生成绩的中位数； （2）现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，这两人成绩排名（从高到低）在全市前230名的人数记为，求的概率分布和均值. 参考数据：，则 18. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 19. 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为. （1）当时，求 （2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下期川维中学第二次月考 高二数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 3 C. 1或4 D. 1或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的定义和性质分析求解. 【详解】因为，则或， 解得或，检验可知均符合题意. 故选：D. 2. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A. 2 B. C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合导数的定义分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 3. 甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 B. 乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C. 水果的质量服从的正态分布的参数 D. 甲类水果的平均质量 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的曲线特征可判断出的值以及的大小关系，结合曲线表示的含义，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由图象可知甲类水果的平均质量为，D正确， 乙类水果的平均质量为， 故甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小，A错误； 由于甲曲线比乙曲线更“高瘦”，故 故甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，B，C错误； 故选：D 4. 甲､乙､丙､丁4名志愿者参加创文巩卫志愿者活动，现有三个社区可供选择，每名志愿者只能选择其中一个社区，每个社区至少一名志愿者，则甲不在社区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分配分组问题，结合排列组合以及分步分类即可求解个数. 【详解】4名志愿者分配到3个社区方法共有种， 其中甲在社区的方法有两种情况， 若A社区分配2名志愿者，则从乙丙丁三人中选择1人连同甲一起去A社区，则有种情况， 若A社区只有甲这1名志愿者，则从乙丙丁中选择2人去BC两个社区其中之一，则共有种情况， 故甲不在社区一共有种， 故甲不在社区的概率为. 故选：C. 5. 若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，设出点，根据点处的切线斜率为，求得切点，再用点到直线的距离公式即可求得结果. 【详解】要使点P到直线的最小距离，只需点为曲线与直线平行的切线的切点， 即点为斜率为的切线的切点， 设，， 解得或（舍去）， 点到直线的距离为， 所以曲线上任一点到直线距离最小值为. 故选：. 【点睛】本题考查由切线的斜率，求切点坐标，涉及点到直线的距离公式，属基础题. 6. 已知随机变量，满足，若，则，分别为（ ） A. 6，2.4 B. 6，5.6 C. 2，2.4 D. 2，5.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望与方差公式求出随机变量的期望与差，再根据期望与方差的性质即可得解. 【详解】解：∵， ∴，． ∵，∴， ∴，． 故选：C． 7. 已知函数的定义域内R，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式可得分母不为0，等价于函数的图象与轴没有交点，利用导数求的最值可得出实数m的取值范围． 【详解】函数的定义域内R，则恒成立， 令，则， 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增，， 时，，则有，得， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 8. 已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程变形为或，然后分析的单调性，再对不同的进行分类讨论即可得到结果. 【详解】由于，故原方程等价于或. 由于当时，，故在上单调递减. 而当时，有，故此时， 从而当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减. 从而当时，有，而在上单调递减，， 所以有唯一的解. 若原方程有四个不同的解，则存在四个不同的实数满足或， 而只有一个解，所以方程至少有三个解. 假设，则当时，当时，所以至多有一个解，矛盾，所以. 假设，则当，时有， 从而在上至多有一个解，由在上单调递减知在上至多有一个解， 所以至多有两个解，矛盾，所以. 综上，有，即； 另一方面，当即时，设， 由于，，， 且. 故在，，上各有一个解，从而至少有三个解. 而，（因为），所以或有四个解. 综上，的取值范围是，即，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于恰当选取不同的情况进行分类讨论，对于取值范围问题，需要严格证明命题成立当且仅当参数属于对应范围，而这往往意味着论证需要包含充分性和必要性两方面. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12 B. 回归分析模型中，决定系数越大，说明模型模拟效果越好 C. 在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等 D. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点 与的残差相等，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据百分位数的定义分析求解；对于B：根据决定系数的性质分析判断；对于C：利用赋值法求各项系数和，并结合二项式系数之和的结论分析判断；对于D：根据题意结合残差的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为样本中有10个数据，且， 所以第40百分位数为第4、5两个数据的平均数，即为，故A错误； 对于选项B：因为决定系数越大，说明模型模拟效果越好，故B正确； 对于选项C：令，可得各项系数和为， 因为，可得所有项二项式系数和为， 所以各项系数和与所有项二项式系数和相等，故C正确； 对于选项D：由题意可得：，所以，故D错误； 故选：BC. 10. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ） A. 事件，为互斥事件 B. 事件B，C为独立事件 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得判断C，根据条件概率的定义求得判断D． 【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确； 由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错； ，C正确； 事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，是自然对数的底数，则（ ） A. 的最大值为 B. C. 若，则 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得最大值；对于B，根据函数的单调性，即可判断；对于C，构造函数，判断其单调性，结合即即可判断；对于D，将展开整理得，然后采用分析法的思想，推出，构造函数，求其最小值即可判断. 【详解】由题意得，则 ， 当 时，，递增 ，当 时，，递减， 故，故A正确； 由于，由于当 时，递减，故 ， 即 ，即， 因为 ， 故，即， 故，故B正确； 因为，即， 设 ，由于当 时，递增 ，当 时， 递减， 故单调减函数，故， 即，由于，不妨设， 则 ， 即，故C错误； 对任意两个正实数，且，若，不妨设 ， 即，设，则， 则，， 而 ， 设 令 ，则， 即为单调增函数，故， 即成立，故，故D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式展开式中常数项为 __________.(用数字作答) 【答案】60 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出的指数为0的项即得. 【详解】二项式的展开式的通项公式， 由，得，则， 所以二项式的展开式中常数项为60. 故答案为：60 13. 一排有个座位，如果每个座位只能坐人，现安排四人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有__________种用数字作答． 【答案】 【解析】 【分析】将问题看成可看成个坐着人的座位和个空座位排队，先将个坐着人的座位全排，然后结合插空法可得. 【详解】解：可看成个坐着人的座位和个空座位排队， 先安排个坐着人的座位，共有种坐法，产生个空， 然后安排空座位到空中，相邻的两个空座位捆在一起，看作一个元素，有种坐法， 然后再从剩余的个空中选择两个将空座位安上， 因为空座位相同，所以只需要选出两个空位即可，有种坐法， 所以共有种坐法． 故答案为：． 14. 当时，函数的图象恒在抛物线的上方，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再变形分离参数，构造函数并求其最大值作答. 【详解】因为当时，函数的图象恒在抛物线的上方， 则有，， 令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递减， ，，即，当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值，其中． （1）求的值； （2）当时，求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为4，最小值为 【解析】 【分析】（1）通过对原函数求导，利用题设条件，列出方程组，求得的值，回代解析式验证即得； （2）根据（1）求得的函数解析式，求导讨论函数单调性，推得时，函数有极小值，也是最小值，无极大值，结合区间端点值比较求得函数最大值. 【小问1详解】 由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，，由求得或， 当时，，函数递增，当时，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. 【小问2详解】 由（1）得， 令解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当 时， 取得极小值， 无极大值， 所以 ， 所以在区间上，的最大值为或，而． 所以在区间上的最大值为4，最小值为． 16. 教育部决定自年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节. （1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据： 若该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求关于的线性回归方程. （2）根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，某考生准备从甲、乙两所大学选择一所报考，已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立，若该考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率分别为、、，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率均为.若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，该考生应报考哪所高校. 参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，. 【答案】（1） （2）建议该考生报考甲大学，理由见解析 【解析】 【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出关于的线性回归方程； （2）设该考生报考甲、乙大学笔试过程中通过科目数分别为、，根据题意求出、的值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 解：由表格中的数据可得，， 所以，， ， 所以，，， 因此，关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 解：设该考生报考甲、乙大学笔试过程中通过科目数分别为、， 由题意可知，随机变量的取值有、、、， 则，， ， ， 所以，， 由题意可知，，则， 所以，，故建议该考生报考甲大学. 17. 某市为了了解全市1万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率分布直方图. （1）求值，并估算该校50名学生成绩的中位数； （2）现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，这两人成绩排名（从高到低）在全市前230名的人数记为，求的概率分布和均值. 参考数据：，则. 【答案】（1）；估计该校50名学生成绩的中位数为 （2）分布列见详解， 【解析】 【分析】（1）根据题意结合频率和为1求得a，再根据中位数的定义分析求解； （2）先利用正态分布的原则计算方法求得全市前230名的分数要求，从而求得这50人中满足要求的有多少人，由此得到的可能取值，再结合超几何分布求的分布列及均值. 【小问1详解】 由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得； 又因为， 可知该校50名学生成绩的中位数， 则，解得， 所以估计该校50名学生成绩的中位数为. 小问2详解】 成绩在的人数为， 因为，， 则， 且，可知全市前230名的成绩需在90分以上， 而50人中90分以上的人数为，所以的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 的期望. 18. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解； （2）由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解. 【小问1详解】 的定义域为， ∵在上单调递增， ∴在上恒成立，即在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立， ∴； 【小问2详解】 由题意， ∵有两个极值点， ∴为方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，，                ∵，∴， 又，解得， ∴ ， 设（）， 则， ∴在上单调递减， 又，， ∴， 即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（2）问中，由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解. 19. 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为. （1）当时，求 （2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值. 【答案】（1） （2）1250 【解析】 【分析】（1）根据二项分布公式计算； （2）运用二项分布公式算出 和 ，再根据题意求出 中a的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解. 【小问1详解】 由已知， 所以 ； 【小问2详解】 由已知，所以， 若，则，即， 即. 由切比雪夫不等式， 要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则， 解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250； 综上， ，估计信号发射次数的最小值为1250. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $