平面向量专题-2022-2023学年重庆市高一下学期期末数学试题分类汇编

高一下期期末平面向量专项 专题解读 本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用. 思维导图 知识点巩固 一、向量的基本概念及线性运算 1.两个特殊的向量 (1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.零向量的方向是任意的. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量. 任意方向上都存在单位 向量，单位向量有无数个 2.相等向量与共线向量 1. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，向量相等具有传递性，即若a=b，b=c，则a=c；而向量的平行不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，考虑b=0的特殊情况. 3.向量的线性运算 三角形法则及平行四边形法则 注：①学生手写向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． ②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． 二、平面向量的基本定理 1.向量共线定理（鸡爪定理）、平面向量基本定理（基底的理解） （1）共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． （2） 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，若不共线，称叫做表示该平面内的所有向量的一个基底。 3.向量的三角不等式 图1 图2 图3 (1)当向量a，b不共线时，作=a， =b，则a+b=，如图1所示. 根据三角形的三边关系，有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|. (2)当a与b同向共线或a，b中至少有一个为零向量时，作法同(1)，如图2所示，此时|a+b|=|a|+|b|. (3)当a与b反向共线或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|≥|b|，作法同(1)，如图3所示，此时|a+b|=|a|-|b|. 故对于任意向量a，b，总有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|①. 由于|a-b|=|a+(-b)|，所以||a|-|-b||≤|a-b|≤|a|+|-b|，即||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|②. 将①②两式结合，可得||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，我们称之为向量的三角不等式. 三、平面向量数量积的概念及应用 1.平面向量的数量积 1. 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cos θ. 2. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.投影向量 1.如图，设a，b是两个非零向量，=a，=b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 2.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe. 3.向量数量积的性质 1.设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|. 特别地，a·a=|a|2或|a|=. (4)|a·b|≤|a||b|. 4.向量数量积的运算律 1. 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b=b·a； (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)； (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 11.向量数量积的运算及性质 (1)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2； (2)a2-b2=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2； (3)(a+b)2+(a-b)2=2(|a|2+|b|2)； (4)a2+b2=0⇔a=b=0. 四、向量的坐标表示及运算 1.平面向量共线的坐标表示 1. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则向量a，b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0. 2.向量的坐标表示的重要结论 1. 中点坐标：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为AB的中点，则== (O为坐标原点)，即P. 2. 三角形的重心坐标 在△ABC中，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若△ABC的重心为G，则= =， (O为坐标原点)，即G. 3.定比分点的坐标：设O是坐标原点，若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)， =λ， 则P 4.在△ABC 中，D是BC的中点，则= (+). 5.O是△ABC的重心的充要条件是++=0. 6.与同向的单位向量为（投影向量会用到） 3.向量模、夹角的坐标表示 (1)向量模的公式：设a=(x，y)，则|a|=. 若表示向量a的有向线段的起点和终点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|a|=||= (2) 向量的夹角公式：设两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ==. 4.平面向量数量积的几何意义 投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ,向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ). （3）数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． （4）数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． （5）相关运算和坐标运算对比 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 注意 (1)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； (2)两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线 5、 常用的二级结论 1.极化恒等式平行四边形模式：＝ 证明：不妨设 ，则， ① ② 上面两式相减，得：＝————极化恒等式 2.极化恒等式之矩形大法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ；② 证明：①连接，根据极化恒等式，可得； ②根据极化恒等式，可得 3、鸡爪定理 已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的鸡爪定理． 【证明】先证充分性．若， 则，， 即，，故M，P，N三点共线． 再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数，使得， 即，，故． 综上知，结论成立． 4.等和线定理 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比 5、三角形“四心”的向量表示 （1）三角形四“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 （1）为的外心⇔||＝||＝||＝. （2）为的重心. （3）为的垂心. （4）为的内心. ②为的重心，特别地为的重心； ③为的垂心； ④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； ⑤的内心 6.奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则. 奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 专题练习 一、单选题 1．（22-23高一下·重庆·期末）已知向量，若，则（    ） A．12 B．3 C．-12 D．-3 2．（22-23高一下·重庆北碚·期末）若向量，满足，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（22-23高一下·重庆江津·期末）在中，点为的重心，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·重庆·期末）已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）已知是边长为的正三角形，动点满足，且.若为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·重庆渝中·期末）已知非零不共线向量，满足；，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·重庆北碚·期末）M为△ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 8．（22-23高一下·重庆北碚·期末）△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为线段CD上一点，且满足（，为正实数），则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．（22-23高一下·重庆·期末）如图，，线段与交于点，记，则（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．平行向量不是共线向量 B．若两个非零向量夹角为锐角，则 C．向量与共线的充要条件是存在唯一实数使得 D．向量在非零向量上投影向量的长度为 11．（2023高一下·重庆·期末）已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则 12．（22-23高一下·重庆北碚·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，O为 内一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则内切圆的半径为2 C．若，则 D．若，，则 13．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将，，的面积分别记为，，，则.根据上述结论，下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为的内心，且，则 D．若为的垂心，则 三、填空题 14．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则 . 15．（22-23高一下·重庆江津·期末）已知向量，并且，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 16．（22-23高一下·重庆江津·期末）已知向量与的夹角为，，. (1)求在上的投影向量的模； (2)求与的夹角的余弦值. 17．（22-23高一下·重庆·期末）已知向量. (1)求向量在向量方向上的投影向量； (2)确定实数的值，使. 18．（22-23高一下·重庆·期末）如图，在中，分别为的中点，为与的交点，点在上，且.设. (1)求的值； (2)若，求的值. 19．（22-23高一下·重庆·期末）如图，在平行四边形中，为的中点，记． (1)用表示； (2)若，求． 20．（2023高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，，，过B作于点D，点E为线段BD的中点． (1)求c； (2)求的值． 21．（22-23高一下·重庆·期末）如图，在中，为边上的中点，，. (1)求的余弦值； (2)点为上一点，且，过点的直线与边(不含端点)分别交于.若，求的值. 22．（22-23高一下·重庆·期末）如图，圆心为C的定圆的半径为3，A，B为圆C上的两点. (1)若，当k为何值时，与垂直？ (2)若的最小值为2，求的值； (3)若G为的重心，直线l过点G交边于点P，交边于点Q，且，.证明：为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下期期末平面向量专项 专题解读 本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用. 思维导图 知识点巩固 一、向量的基本概念及线性运算 1.两个特殊的向量 (1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.零向量的方向是任意的. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量. 任意方向上都存在单位 向量，单位向量有无数个 2.相等向量与共线向量 1. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，向量相等具有传递性，即若a=b，b=c，则a=c；而向量的平行不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，考虑b=0的特殊情况. 3.向量的线性运算 三角形法则及平行四边形法则 注：①学生手写向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． ②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． 二、平面向量的基本定理 1.向量共线定理（鸡爪定理）、平面向量基本定理（基底的理解） （1）共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． （2） 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，若不共线，称叫做表示该平面内的所有向量的一个基底。 3.向量的三角不等式 图1 图2 图3 (1)当向量a，b不共线时，作=a， =b，则a+b=，如图1所示. 根据三角形的三边关系，有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|. (2)当a与b同向共线或a，b中至少有一个为零向量时，作法同(1)，如图2所示，此时|a+b|=|a|+|b|. (3)当a与b反向共线或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|≥|b|，作法同(1)，如图3所示，此时|a+b|=|a|-|b|. 故对于任意向量a，b，总有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|①. 由于|a-b|=|a+(-b)|，所以||a|-|-b||≤|a-b|≤|a|+|-b|，即||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|②. 将①②两式结合，可得||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，我们称之为向量的三角不等式. 三、平面向量数量积的概念及应用 1.平面向量的数量积 1. 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cos θ. 2. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.投影向量 1.如图，设a，b是两个非零向量，=a，=b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 2.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe. 3.向量数量积的性质 1.设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|. 特别地，a·a=|a|2或|a|=. (4)|a·b|≤|a||b|. 4.向量数量积的运算律 1. 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b=b·a； (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)； (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 11.向量数量积的运算及性质 (1)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2； (2)a2-b2=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2； (3)(a+b)2+(a-b)2=2(|a|2+|b|2)； (4)a2+b2=0⇔a=b=0. 四、向量的坐标表示及运算 1.平面向量共线的坐标表示 1. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则向量a，b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0. 2.向量的坐标表示的重要结论 1. 中点坐标：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为AB的中点，则== (O为坐标原点)，即P. 2. 三角形的重心坐标 在△ABC中，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若△ABC的重心为G，则= =， (O为坐标原点)，即G. 3.定比分点的坐标：设O是坐标原点，若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)， =λ， 则P 4.在△ABC 中，D是BC的中点，则= (+). 5.O是△ABC的重心的充要条件是++=0. 6.与同向的单位向量为（投影向量会用到） 3.向量模、夹角的坐标表示 (1)向量模的公式：设a=(x，y)，则|a|=. 若表示向量a的有向线段的起点和终点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|a|=||= (2) 向量的夹角公式：设两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ==. 4.平面向量数量积的几何意义 投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ,向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ). （3）数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． （4）数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． （5）相关运算和坐标运算对比 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 注意 (1)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； (2)两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线 5、 常用的二级结论 1.极化恒等式平行四边形模式：＝ 证明：不妨设 ，则， ① ② 上面两式相减，得：＝————极化恒等式 2.极化恒等式之矩形大法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ；② 证明：①连接，根据极化恒等式，可得； ②根据极化恒等式，可得 3、鸡爪定理 已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的鸡爪定理． 【证明】先证充分性．若， 则，， 即，，故M，P，N三点共线． 再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数，使得， 即，，故． 综上知，结论成立． 4.等和线定理 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比 5、三角形“四心”的向量表示 （1）三角形四“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 （1）为的外心⇔||＝||＝||＝. （2）为的重心. （3）为的垂心. （4）为的内心. ②为的重心，特别地为的重心； ③为的垂心； ④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； ⑤的内心 6.奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则. 奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 专题练习 一、单选题 1．（22-23高一下·重庆·期末）已知向量，若，则（    ） A．12 B．3 C．-12 D．-3 【答案】B 【分析】由向量平行的坐标关系运算即可求解. 【详解】因为向量，， 所以有，解得. 故选：B 2．（22-23高一下·重庆北碚·期末）若向量，满足，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】对两边平方化简结合已知可求得结果. 【详解】因为，，， 所以， 所以，解得， 故选：C 3．（22-23高一下·重庆江津·期末）在中，点为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的重心为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，根据向量线性运算的几何表示结合条件即得. 【详解】设分别是的中点， 由于的重心为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点， 所以. 故选：B. 4．（22-23高一下·重庆·期末）已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出，再根据向量在向量上的投影向量的定义列式求出，最后利用平面向量的夹角公式可求得结果. 【详解】因为是与向量方向相同的单位向量，设， 则，所以，得，所以， 因为向量在向量上的投影为，且向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，所以，所以， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B． 5．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）已知是边长为的正三角形，动点满足，且.若为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，根据平面向量共线定理的推论可得、、三点共线，由正三角形的性质可得且，即可得到当是的中点取得最小值. 【详解】如图取的中点，连接，则， 因为，所以，又， 所以、、三点共线，即在直线上， 因为是边长为的正三角形，所以且， 又为的中点，所以当是的中点时且，则， 此时取得最小值，即的最小值为. 故选：B 6．（22-23高一下·重庆渝中·期末）已知非零不共线向量，满足；，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据模长公式可得，再由三者之间的关系，可得，由此得解． 【详解】由，，可得， 则， 又非零向量，不共线， 由三角不等式关系， 则，则， 所以． 故选：D 7．（22-23高一下·重庆北碚·期末）M为△ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】C 【分析】 设边的中点为，结合向量的线性运算法则化简向量等式可得，由数量积的性质可得，由此可得结论. 【详解】设边的中点为， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，又点为边的中点， 所以点在边的垂直平分线上， 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心， 故选：C. 8．（22-23高一下·重庆北碚·期末）△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为线段CD上一点，且满足（，为正实数），则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意结合三点共线的结论可得，再根据基本不等式运算求解. 【详解】因为P为线段CD上一点，则，且， 又因为，可得，即， 所以， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：B. 二、多选题 9．（22-23高一下·重庆·期末）如图，，线段与交于点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用平面向量加法、减法以及数乘的几何意义，结合图形的几何性质，可得答案. 【详解】， 设，，， ∵，∴，同理，，，， 联立解得. 故选：AD. 10．（22-23高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．平行向量不是共线向量 B．若两个非零向量夹角为锐角，则 C．向量与共线的充要条件是存在唯一实数使得 D．向量在非零向量上投影向量的长度为 【答案】BD 【分析】根据平行向量与共线向量的定义判断A；根据数量积的定义判断B；根据特例法判断错；求出向量在非零向量上投影向量为，可判断D. 【详解】根据平行向量与共线向量的定义，平行向量就是共线向量，A错； 若两个非零向量夹角为锐角，则，B正确； 若，满足向量与共线，但不存在实数使得，C错； 两个非零向量夹角，则， 则向量在非零向量上投影向量为， 其长度为，D正确. 故选：BD. 11．（2023高一下·重庆·期末）已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则 【答案】AD 【分析】根据向量的坐标运算求，，对于A：根据向量的夹角公式运算求解；对于B：根据投影向量的定义分析运算；对于C：根据向量垂直的坐标运算求解；对于D：根据向量共线的判定定理分析运算. 【详解】由题意知，， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：在方向上的投影向量为，故B错误； 对于选项C：设与垂直的单位向量的坐标为， 可得，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误； 对于选项D：因为向量与向量共线， 所以若存在，使得， 则，解得，故D正确． 故选：AD. 12．（22-23高一下·重庆北碚·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，O为 内一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则内切圆的半径为2 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】建立直角坐标系，运用坐标作向量的有关计算. 【详解】，是以C为直角的三角形，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，建立直角坐标系如下图： ，A正确； ，的周长=12，设内切圆半径为r，则，B错误； 若，则，，C正确； 对于D，设，， 由题意，，解得，D正确； 故选：ACD. 13．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将，，的面积分别记为，，，则.根据上述结论，下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为的内心，且，则 D．若为的垂心，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由奔驰定理即可直接判断； 对于B，结合平面向量的线性运算可得，进而由奔驰定理即可直接判断； 对于C，由奔驰定理可得，设的内切圆半径为，结合面积公式可得，进而结合勾股定理即可求解； 对于D，结合为的垂心，可得，，，进而根据平面向量数量积的定义可得，进而求解即可. 【详解】对于A，由奔驰定理可得，故A错误； 对于B，由，即， 整理得，由奔驰定理可得，故B正确； 对于C，由，可得， 设的内切圆半径为， 则，，， 所以，即, 所以，即，故C正确； 对于D，，，， 因为为的垂心， 所以，，， 又， ， , 所以，即， 同理可得， 所以， 所以， 由奔驰定理可知D正确. 故选：BCD. 三、填空题 14．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则 . 【答案】1 【分析】 先根据向量的减法法则表示出，然后根据向量的共线定理进行计算. 【详解】依题意得，， 由三点共线可知，存在，使得，即， 由于，是两个不共线的向量，则， 解得. 故答案为：1. 15．（22-23高一下·重庆江津·期末）已知向量，并且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可得，结合，利用二次函数的性质求解. 【详解】∵向量，并且， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴当时，；当时，， ∴实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 16．（22-23高一下·重庆江津·期末）已知向量与的夹角为，，. (1)求在上的投影向量的模； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用投影向量的概念求解； （2）利用向量夹角公式，结合向量数量积的运算性质，化简求值. 【详解】（1）在上的投影向量的模为； （2），， ， . 17．（22-23高一下·重庆·期末）已知向量. (1)求向量在向量方向上的投影向量； (2)确定实数的值，使. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用投影向量的定义求解即可； （2）由可得，解方程可求出的值. 【详解】（1）令向量与向量的夹角为， 又令与同向的单位向量为，则， 所以； （2）因为 所以， ， 因为，故， 解得. 18．（22-23高一下·重庆·期末）如图，在中，分别为的中点，为与的交点，点在上，且.设. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算和基本定理，可推得的值； （2）根据题设，建立基底，将向量，分解为基底表示，再进行数量积运算. 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 因为三点共线，故可设， 又因为， 由平面向量基本定理，可得，解得； （2）因为分别为的中点，所以， 所以相似于，由（1）知， 所以， 所以， 由，可得， 所以， 故， 所以， 因为， . 19．（22-23高一下·重庆·期末）如图，在平行四边形中，为的中点，记． (1)用表示； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，用向量表示，再由 可得答案； （2）两边分别平方联立代入，可得答案. 【详解】（1）设，则 ， 联立两式解得， 所以； （2）， 由， 代入上式， 由得， 即，∴，即. 20．（2023高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，，，过B作于点D，点E为线段BD的中点． (1)求c； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积公式即可求解； （2）根据（1）的结论及余弦定理，再利用三角形的面积公式及等面积法，结合向量的线性运算及向量的数量积公式即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，解得． （2）因为，，， 所以，所以． 又， 所以． 因为点E为线段BD的中点，所以， 又， 所以． 21．（22-23高一下·重庆·期末）如图，在中，为边上的中点，，. (1)求的余弦值； (2)点为上一点，且，过点的直线与边(不含端点)分别交于.若，求的值. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）由题意可得,两边平方，再根据向量的线性运算及数量积求解即可； （2）设,，由三点共线，可得,再由，可得，再结合，可得，求出的值，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为为边上的中点， 所以, 所以, 即， 即， 解得； （2）解：设,， 因为三点共线， 所以, 又因为=， 所以， 所以，① 又因为且， 所以， 化简得，② 则①②可得， 所以,， 所以. 22．（22-23高一下·重庆·期末）如图，圆心为C的定圆的半径为3，A，B为圆C上的两点. (1)若，当k为何值时，与垂直？ (2)若的最小值为2，求的值； (3)若G为的重心，直线l过点G交边于点P，交边于点Q，且，.证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用余弦定理求出AB，利用向量的垂直及数量积的运算建立方程求解即可； （2）利用向量模的运算及数量积的运算律建立函数，利用二次函数求解最值即可求解； （3）利用重心向量表示及向量共线的结论，结合平面向量基本定理即可得到结论. 【详解】（1）因为，， 所以由余弦定理得，即，所以， 若与垂直，则， 所以，所以， 解得，即时，与垂直； （2）设，与的夹角为，在中，， 所以， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值2时，； （3）因为为的重心，所以， 又因为，，所以， 由于三点共线，所以存在实数使得，所以 化简为，所以，所以为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$