2024年河南省中考数学类比探究模拟真题解析卷

中考23题 类比探究 1.(1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD·BC=AP·BP. (2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由. (3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题. 如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足∠CPD=∠A,设点P的运动时间为t秒,当DC=4BC时,求t的值. 2.（2023年河南省南阳市西峡县中考数学二模）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断： 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为． 请写出线段与线段的数量关系 　　； （2）迁移思考： 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断，这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． （3）拓展探索： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值． 3.（2023平顶山二模郏县）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转，得到线段DE，连接BE （1）如图1，当α＝60°时，的值是 　 　；∠DCE的度数为 　 　°； （2）如图2，当α＝90°时，请写出，并就图2的情形说明理由； （3）如图3，当α＝120°时，若AB＝8，请直接写出点E到CD的距离． 4.（2023河南封丘）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断： 操作一：将图①所示的正方形纸片沿AE折叠（折痕经过顶点A）得到图②； 操作二：将点A折叠到点E，得到图③，展开得到两条折痕AE和FG，如图④； 根据以上操作：AE与FG的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； （2）迁移探究： 小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下： 将矩形纸片ABCD（图⑤）按照（1）中的方式操作，得到图⑥． 若AB＝kAD，图⑥中折痕AE和FG的数量关系是 　 　，并证明． （3）拓展应用： 在（2）的探究中，若k＝2，且E为BC的中点，折痕AE和FG相交于P，M是边AD上一点，，连接MP，过P作MP的垂线与AB相交于点N，如图⑦，直接写出NG的长． 5.（2023河南辉县二模）某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“四边形折叠”研究活动． 问题情景：在平行四边形ABCD中，AB＝nAD，∠DAB＝α（不与A、D重合）连接BE，将△ABE沿BE折叠 （1）初步探究：如图1，若n＝，α＝90°　 　°，的值是 　 　； （2）类比探究：如图2，n＝1，α＝30°　 　°，的值是 　 　； （3）拓展应用：若n＝1，AB＝2，请直接写出△DEF为直角三角形时DF的长． 6.（2023河南信阳新县三模）数学兴趣小组的同学在学习中点知识时，遇到如下一个问题：如图①，在边长为4的正方形ABCD中，BF＝1，连接BE，点C，H分别是BE，连接GH，求GH的长．小组成员展开讨论 小佳同学是这样思考的： 题目中有两个中点，我想到用中位线，但是这两个中点所在的线段是交叉状态，垂足为P，易证四边形BCPF是矩形，连接EP，则GH是△BEP的中位线 根据以上信息，请回答以下问题： （1）点H是BP中点的依据是 　 　． （2）请根据小佳同学的思路写出具体的证明过程． （3）如图③，在Rt△ABC中，，BC＝2，D，D'分别是AC，A'C'的中点（不包含顶点），求DD'的长度． 7.（河南周口2023三模）综合与实践： （1）问题情景：如图1，已知等边△ABC和它内部一点D，把线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，CE，射线AD，则AD与CE数量关系是 　 　，∠AFC＝　 　°． （2）类比探究：如图2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，过点D作DE∥CB交AB于点E，连接CD′，BE′，设直线CD′，BE′交于点F； （3）拓展应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，若CD＝2（直接写出答案）． 8.（2023洛阳栾川二模）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点． （1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：　 　． （2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB． 9.（2023洛阳市洛龙区一模） [问题情境] （1）王老师给爱好学习小明和小颖提出这样一个问题：如图，在中，，为边上的任一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为．求证：． 小明的证明思路是： 如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：． 小颖的证明思路是： 如图，过点作，垂足为，可以证得：，，则．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究] （2）如图，当点在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：． [结论运用] （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作，，垂足分别为，，若，，求的值． [迁移拓展] （4） 图是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，为边上的一点，，，垂足分别为，，且，，，，、分别为，的中点，连接，，请直接写出与的周长之和． 11.（2023洛阳市洛宁县一模） 综合与实践 （1）【操作发现】如图，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角； （2）【拓展探究】如图，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点． 度； 若，求线段的长； （3）【迁移应用】如图，在矩形，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，，请直接写出线段的长． 12.（2023洛宁三练）综合与实践 我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形． 实践操作： 第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H． 第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH． （1）在图②中，______，______； （2）在图②中， ______；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论； （3）拓展延伸：将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点落在矩形的内部或一边上，设，若，连接，的长度为m，则m的取值范围是______． 14.（2023南阳内乡县三模）综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，老师将矩形 按如图①所示方式折叠，使点与点重合，点的对应点为，折痕为，若为等边三角形． （1）请解答老师提出的问题： 试猜想与的数量关系，并加以证明． 【实践探究】 （2）小明受到此问题启发，将纸片按如图②所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若,， ①试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②若点为的中点，连接，求的长； 【问题解决】 （3） 小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在中，将折叠，使点与点重合，点为折痕所在直线上一点，若，，，请直接写出线段的长． 15.（新乡长垣二模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一；如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线， ① ； ②线段，，之间的数量关系为 ． 深入探究】 操作二：如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出这样两个结论：①；②．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由． （3）【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕或上时，请直接写出线段的长． 16（.2023新乡原阳一模）已知点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，，请完成如下问题： （1）如图1，若和均为等边三角形，①线段与线段的数量关系是________；②直线与直线相交所夹锐角的度数是________； 类比探究： （2）如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； （4） （3）拓展应用：如图3，若，，，，当点B，D，E三点共线时，请直接写出长． 17.（信阳市浉河区）综合与实践： 问题情境：数学活动课上，老师让同学们拿出大小两副三角板，按照如图1所示的方式摆放．其中，，． 问题探究：将三角板绕点B按顺时针方向旋转． （1）如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，试判断与数量关系，并说明理由； （2）在图2中，连接，请求出长度； （3）如图3，G为的中点，则在旋转过程中，点G到直线的距离的最大值是______． 18.（2023郑州金水区三模）在中，，，点为边的中点，以为一边作正方形， （1）如图1，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为______； （2）在（1）的条件下， ①如果正方形绕点旋转，连接、、，线段与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明； ②正方形绕点旋转的过程中，当以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形时．直接写出线段AF的长． 19.（2023郑外三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图，在中，，点和点分别是斜边上的动点，并且满足，分别过点和点作边的垂线，垂足分别为点和点，那么的值是一个定值． 问题：若时，值为___________ ； 【操作探究】如图，在中，； 爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当时，的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图进行证明，并用含和的式子表示的值． 【解决问题】如图，在菱形中，若、分别是边、上动点，且，作，垂足分别为、，则的值为__________ ． 20.（2023周口鹿邑县三模）小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，他们对两块大小不等的等腰直角三角板摆放不同的位置，做了如下探究： （1）将两块三角板的直角顶点重合，如图1，在和中，，，，当点D在线段上时（点D不与点A，B重合）， ①由题意可得，其依据是：___________； A． B． C． D． ②直接写出与的数量关系___________． （2）将两块三角板的锐角顶点重合，如图2，在和中，，，，点A与线段不在同一直线上，（1）中与的数量关系是否仍然成立？若不成立，请求出新的数量关系； （3）将小三角板的锐角顶点与大三角板的直角顶点重合，如图3，在和中，，，．将绕点C在平面内旋转，当点D落在边上时，满足，请直接写出的长． 21.（2023周口沈丘县一模）（1）问题发现 如图1，四边形为矩形，，，点在矩形的对角线上，的两条直角边、分别交、于点、，当，时，__________（用含、的代数式表示）； （2）拓展探究 在（1）中，固定点，使绕点旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的图形给出证明； （3）问题解决 如图3，四边形为正方形，，点在对角线上，、分别在、上，，当时（是正实数），直接写出四边形的面积是__________（用含，的代数式表示）． 22.（2023周口项城三模）综合与实践： （1）问题情景：如图1，已知等边和它内部一点D，把线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，射线交于点F，则与数量关系是___________， __________°． （2）类比探究：如图2，在等腰中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，将绕点A旋转得到，连接，，在旋转的过程中，设直线交于点F，探索和的数量关系和的度数； （3）拓展应用：如图3，在中，，以为斜边作等腰直角三角形，若求线段的长（直接写出答案）． 23.（2023驻马店市某校二模）综合与实践 数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A，D重合，点B，C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为． （1）如图（1）若，则当点落在上时，和的数量关系是________，的度数为________． 思考探究： （2）在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点．当点落在上时，如图（2），设，分别交于点J，K．若，请求出三角形的面积． 开放拓展： （3） 如图（3），在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接，，若，请直接写出的长．(温馨提示：，) 中考23题 类比探究（答案） 1.(1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD·BC=AP·BP. (2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由. (3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题. 如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足∠CPD=∠A,设点P的运动时间为t秒,当DC=4BC时,求t的值. 解析　(1)证明:∵∠DPC=∠A=∠B=90°, ∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°, ∴∠ADP=∠BPC, ∴△ADP∽△BPC, ∴, ∴AD·BC=AP·BP. (2)结论AD·BC=AP·BP依然成立. 理由:∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP, ∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP. ∵∠DPC=∠A=∠B=θ, ∴∠BPC=∠ADP, ∴△ADP∽△BPC, ∴, ∴AD·BC=AP·BP. (3)∵DC=4BC,AD=BD=5, ∴DC=4,BC=1,∠A=∠B, ∵∠CPD=∠A, ∴∠CPD=∠A=∠B, 由(1)(2)的经验可知AD·BC=AP·BP, ∴5×1=t(6-t), 解得t1=1,t2=5, ∴t的值为1或5. 2.（2023年河南省南阳市西峡县中考数学二模）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断： 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为． 请写出线段与线段的数量关系 　　； （2）迁移思考： 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断，这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． （3）拓展探索： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值． （1）连接， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 由折叠知，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2），证明如下： 连接， 四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， 由折叠知，，，， ，， ， ， ， ； （3）四边形是矩形，， ， ， 令，则， 由（1）知， ， 解得， 即的长为． 3.（2023平顶山二模郏县）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转，得到线段DE，连接BE （1）如图1，当α＝60°时，的值是 　 　；∠DCE的度数为 　 　°； （2）如图2，当α＝90°时，请写出，并就图2的情形说明理由； （3）如图3，当α＝120°时，若AB＝8，请直接写出点E到CD的距离． 解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝BC， 同理可得：△BDE是等边三角形， ∴∠BDE＝60°，BD＝BE， ∴∠BDE＝∠ABC， ∴∠BDA＝∠EBC， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CE，∠BCE＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴，∠DCE＝∠BCE﹣∠ACB＝60°， 故答案为：1，60； （2））∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°，， 同理可得：∠BDE＝40°，， ∴∠BDE＝∠ABC，， ∴∠BDA＝∠EBC， ∴△ABD∽△CBE， ∴，∠BCE＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°， ∴∠DCE＝∠BCE﹣∠ACB＝45°； （3）如图2， 作BF⊥CD于F，作EG⊥CD于G，交CE的延长线于H， 在Rt△AEF中，AB＝8， ∴AF＝8•cos60°＝5，BF＝8sin60°＝4， 在Rt△BDF中，BD＝7， ∴DF＝， ∴AD＝AF﹣DF＝8， ∴CD＝AD+AC＝11， 同理（2）可得：，∠BCE＝∠BAD＝60°， ∴CE＝AD＝3， 在Rt△CDH中，CD＝11， ∴DH＝， 由S△DCE＝CD•EG＝， 11EG＝3， ∴EG＝； 如图2， 由上知：DF＝8，AF＝4， ∴CD＝13，AD＝5AD＝5， ∴13EG＝5×， ∴EG＝， 综上所述：点E到CD的距离为：或． 4.（2023河南封丘）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断： 操作一：将图①所示的正方形纸片沿AE折叠（折痕经过顶点A）得到图②； 操作二：将点A折叠到点E，得到图③，展开得到两条折痕AE和FG，如图④； 根据以上操作：AE与FG的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； （2）迁移探究： 小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下： 将矩形纸片ABCD（图⑤）按照（1）中的方式操作，得到图⑥． 若AB＝kAD，图⑥中折痕AE和FG的数量关系是 　 　，并证明． （3）拓展应用： 在（2）的探究中，若k＝2，且E为BC的中点，折痕AE和FG相交于P，M是边AD上一点，，连接MP，过P作MP的垂线与AB相交于点N，如图⑦，直接写出NG的长． 解：（1）由折叠可知AE⊥FG， 过点F作FH⊥CD于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠FHG＝90°，FH＝AD＝AB， ∵AE⊥FG， ∴∠BAE＝∠GFH， 在△ABE和△FHG中， ， ∴△ABE≌△FHG（AAS）， ∴AE＝FG； 故答案为：AE＝FG，AE⊥FG； （2）AE＝kFG． 证明：如图，过点F作AB的垂线，垂足为H． 由题意可知FG⊥AE． ∵矩形ABCD，FH⊥AB， ∴四边形AHFD为矩形， ∴FH＝AD． ∵AB＝kAD， ∴AB＝kFH． ∵FG⊥AE， ∴∠HFG+∠FGA＝∠FGA+∠EAB＝90°， ∴∠HFG＝∠EAB． 在△HFG和△BAE中，∠HFG＝∠BAE，∠FHG＝∠ABE， ∴△HFG∽△BAE， ∴， 即AE＝kFG． 故答案为：AE＝kFG； （3）∵AB＝2AD，E为BC的中点， ∴AB＝4BE． ∵FG⊥AE， ∴∠APG＝∠B＝90°， 又∠PAG＝∠BAE， ∴△PGA∽△BEA． ∴， ∴AP＝4PG． ∵PM⊥PN，FG⊥AE， ∴∠MPA+∠APN＝∠APN+∠NPG＝90°， ∴∠MPA＝∠NPG， ∵∠MAP+∠PAG＝∠PAG+∠PGA， ∴∠MAP＝∠PGA， ∴△PMA∽△PNG． ∴， ∴MA＝4NG， ∴． 5.（2023河南辉县二模）某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“四边形折叠”研究活动． 问题情景：在平行四边形ABCD中，AB＝nAD，∠DAB＝α（不与A、D重合）连接BE，将△ABE沿BE折叠 （1）初步探究：如图1，若n＝，α＝90°　 　°，的值是 　 　； （2）类比探究：如图2，n＝1，α＝30°　 　°，的值是 　 　； （3）拓展应用：若n＝1，AB＝2，请直接写出△DEF为直角三角形时DF的长． 解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∵AB＝， ∴＝， 在Rt△BAD中，tan∠ABD＝＝， ∴∠ABD＝30°， ∴∠ADB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣30°＝60°， 根据折叠的性质可得，∠BAE＝∠BFE＝90°， ∴∠DFE＝90°， ∴∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△DEF中，cos∠DEF＝， ∵AE＝EF， ∴＝； 故答案为：30，； （2）如图，过点D作DG⊥EF于点G， ∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝AD， ∴四边形ABCD为菱形， ∴AB∥CD， ∵∠A＝30°， ∴∠ADC＝150°， ∵BD为菱形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝75°， 根据折叠的性质可得，∠A＝∠F＝30°， ∵∠ADB＝∠F+∠DEF， ∴∠DEF＝∠ADB﹣∠F＝75°﹣30°＝45°， ∴△DEG为等腰直角三角形， ∴DG＝EG，DE＝， 在Rt△DFG中，∠F＝30°， ∴FG＝， ∴AE＝EF＝FG+EG＝＝， ∴＝＝； 故答案为：45，； （3）∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝AD， ∴四边形ABCD为菱形， ①当∠DFE＝90°时，如图， ∴∠BFE＝90°， 根据折叠的性质可得，∠BAE＝BFE＝90°， ∴菱形ABCD为正方形， ∴BD＝＝， ∴DF＝BD﹣FB＝； ②当∠DEF＝90°时，如图， ∴∠EDF+∠DFE＝90°， ∵∠DAB＝α，AD＝AB， ∴∠ADB＝＝，即∠EDF＝， 由折叠的性质可得，∠BAE＝∠BFE＝α， ∴∠DFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣α， ∴， 解得：α＝120°， ∴∠EDF＝＝30°， 在Rt△DEF中，∠EDF＝30°， ∴DE＝EF＝，DF＝2EF， ∴AB＝AE+DE＝＝2， 解得：AE＝， ∴AE＝EF＝， ∴DF＝3EF＝． 综上，当△DEF为直角三角形时或． 6.（2023河南信阳新县三模）数学兴趣小组的同学在学习中点知识时，遇到如下一个问题：如图①，在边长为4的正方形ABCD中，BF＝1，连接BE，点C，H分别是BE，连接GH，求GH的长．小组成员展开讨论 小佳同学是这样思考的： 题目中有两个中点，我想到用中位线，但是这两个中点所在的线段是交叉状态，垂足为P，易证四边形BCPF是矩形，连接EP，则GH是△BEP的中位线 根据以上信息，请回答以下问题： （1）点H是BP中点的依据是 　 　． （2）请根据小佳同学的思路写出具体的证明过程． （3）如图③，在Rt△ABC中，，BC＝2，D，D'分别是AC，A'C'的中点（不包含顶点），求DD'的长度． 【解答】解：（1）由题意可知：四边形BCPF是矩形， ∴FC＝BP， ∵点H是对角线FC的中点， ∴HF＝HC＝FC， ∴HB＝HP＝BP， ∴点H是BP的中点． ∴点H是BP中点的依据是：矩形的对角线平分且相等， 故答案为：矩形的对角线平分且相等； （2）如图①，过点F作FP⊥CD，连接BP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∵FP⊥CD， ∴∠FPC＝∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴四边形BCPF是矩形， ∵点H是对角线FC的中点， ∴点H是BP的中点， ∵点C是BE的中点，点H是BP的中点， ∴CH是△BPE的中位线， ∴， ∵正方形ABCD边长为4，点E是AD的中点， ∴AD＝DC＝4，ED＝5， ∵四边形BCPF是矩形， ∴PC＝BF＝1， ∴DP＝3， 在Rt△EDP中，由勾股定理得EP＝＝， ∴； （3）当点C'落在△ABC边上时，分两种情况，落在边AC上，落在边AB上， 在Rt△ABC中，，BC＝2， ∴tanC＝＝＝， ∴∠C＝60°， ∴AC＝2BC＝4， 情况7：当点C'落在边AC上时，如图②， 由旋转可知：BC＝BC′， ∵∠C＝60°， ∴△BCC'是等边三角形， 此时点C'恰好与点D重合，且A'C'⊥AB， ∵D，D'分别是AC， ∴； 情况2：方法一：当点C'落在边AB上时，分别以AC和A'C'为对角线构造矩形， 如图③，连接BE，EF， ∴点D和点D'为BE，BF的中点， ∴DD'是△BEF的中位线， 延长FC'，交EC于点G， ∴∠FGE＝90°， 在Rt△EFG中，， 由勾股定理可得，EF＝， ∴DD′＝EF＝2； 方法二：如图③，∵矩形ABCE和矩形A'BC'F， ∴AC＝BE＝BF＝A'C'，∠FBE＝90°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴BE＝AC＝2， ∴， ∴． 综上所述：当点G'落在△ABC的边上时（不包含顶点），DD'的长度为2或6． 7.（河南周口2023三模）综合与实践： （1）问题情景：如图1，已知等边△ABC和它内部一点D，把线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，CE，射线AD，则AD与CE数量关系是 　 　，∠AFC＝　 　°． （2）类比探究：如图2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，过点D作DE∥CB交AB于点E，连接CD′，BE′，设直线CD′，BE′交于点F； （3）拓展应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，若CD＝2（直接写出答案）． 【解答】解：（1）AD＝CE，60， 理由如下： ∵等边△ABC， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝60°， 线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE， ∴∠DBE＝60°，BD＝BE， ∴△BDE为等边三角形， ∴DB＝DE＝BE， ∠ABD+∠DBC＝60°，∠DBC+∠CBE＝60°， ∵∠ABD＝∠CBE， 又∵AB＝AC，BD＝BE， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCF， ∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACB+∠BCF）＝180°﹣（∠FAC+∠ACB+∠BAD）＝180°﹣（∠ACB+∠BAC）＝180°﹣120°＝60°， 故答案为：AD＝CA，60； （2）由题意可知＝＝，∠D′CA＝∠E′AB， ∴△D′AC∽△E′AB， ∴＝＝＝，∠D′CA＝∠E′AB， ∠BFC＝180°﹣（∠ACD′+∠ACB+∠BCF）＝180°﹣（∠CBD′+∠ACB+∠BAD）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣135°＝45°， ∴∠BFC＝45°； （3）+1或， 分情况讨论， ①当点D在AB的上方时， 如图1所示，过点D作DE⊥DC交BA的延长线于点E， ∵等腰Rt△ABD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°，AD＝BD， ∴∠DAE＝∠DBC＝135°， ∠EDA+∠ADC＝90°， ∠ADC+∠BDC＝90°， ∴∠EDA＝∠BDC， 又∵AD＝BD， ∴△EDA≌△CDB（ASA）， ∴AE＝BC＝6， ∵CD＝2， ∴EC＝5， ∴AB＝﹣1， ②当点D在AB 的下方时，如图2所示， 同理可得， AB＝+7， ∴线段的AB长为+1或． 8.（2023洛阳栾川二模）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点． （1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：　 　． （2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB． 【详解】试题分析：（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可．（2）首先过C作CE⊥n于点E，连接PE，然后分别判断出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△PAC∽△PBE，即可判断出PA=PB仍然成立．（3）首先延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出AF•BP=AE•BF，再个AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PA•PB=2k．AB，所以PA•PB=k•AB，据此解答即可 试题解析：（1）∵l⊥n， ∴BC⊥BD， ∴三角形CBD是直角三角形， 又∵点P为线段CD的中点， ∴PA=PB． 把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下： 如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE， ， ∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点， ∴PD=PE， 又∵点P为线段CD的中点， ∴PC=PD， ∴PC=PE； ∵PD=PE， ∴∠CDE=∠PEB， ∵直线m∥n， ∴∠CDE=∠PCA， ∴∠PCA=∠PEB， 又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n， ∴l∥CE， ∴AC=BE， 在△PAC和△PBE中，∴△PAC∽△PBE， ∴PA=PB． （3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E， ， ∵直线m∥n， ∴， ∴AP=PF， ∵∠APB=90°， ∴BP⊥AF， 又∵AP=PF， ∴BF=AB； 在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF， ∴， ∴AF•BP=AE•BF， ∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB， ∴2PA•PB=2k．AB， ∴PA•PB=k•AB． 9.（2023洛阳市洛龙区一模） [问题情境] （1）王老师给爱好学习小明和小颖提出这样一个问题：如图，在中，，为边上的任一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为．求证：． 小明的证明思路是： 如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：． 小颖的证明思路是： 如图，过点作，垂足为，可以证得：，，则．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究] （2）如图，当点在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：． [结论运用] （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作，，垂足分别为，，若，，求的值． [迁移拓展] （5） 图是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，为边上的一点，，，垂足分别为，，且，，，，、分别为，的中点，连接，，请直接写出与的周长之和． 【详解】（1）证明： 小明的证明： 连接，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 小颖的证明： 过点作，垂足为，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明： 小明的证明： 连接，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 小颖的证明： 过点作，垂足为，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点作，垂足为，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 又∵， ∴， 由折叠有，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由问题情景中的结论可得：， ∴． ∴的值为． （4）解：延长，交于点，过点作，垂足为，如图⑤， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由问题情景中的结论可得：， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：∴， ∴， ∴， ∴， ∵，、分别为，的中点， ∴，， ∴与的周长之和为 ， ∴与的周长之和． 11.（2023洛阳市洛宁县一模） 综合与实践 （1）【操作发现】如图，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角； （2）【拓展探究】如图，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点． 度； 若，求线段的长； （3）【迁移应用】如图，在矩形，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，，请直接写出线段的长． 【小问1详解】 结论: ， 理由：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得: ，， ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得:，，， ∴，由()得: ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 【小问3详解】 如图中，上取一点，使得，过点作于点，交于点，连接， 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由()可知， 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， 即：，解得：， ∴， 当时, 同法可得， 综上所述，满足条件的的值为：或． 12.（2023洛宁三练）综合与实践 我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形． 实践操作： 第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H． 第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH． （1）在图②中，______，______； （2）在图②中， ______；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论； （3）拓展延伸：将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点落在矩形的内部或一边上，设，若，连接，的长度为m，则m的取值范围是______． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD为矩形， ∴DC=AB=，， ∵点D的对应点D′恰好与点H重合， ∴， ∵矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H， ∴，，， ∴， ∴，， 即， ∴； 在中，， 根据折叠可知，，， 设=x，， 在Rt中，， 即， 解得：， ∴， ， ∴； 故答案为：；． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴空白处可以填AE或CF或BF或DE． 故答案为：AE或CF或BF或DE（填其中任意一条即可）． 【小问3详解】 ∵在将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点在以点C为圆心，以CD为半径的圆上， ∴当点在AC上时，最小， 即的最小值为AH， ∴， ∵点落在矩形的内部或一边上， ∴当点在点D时，最大， ∵0°<α≤90°， ∴最大无法取到最大值3， ∴， 综上分析可知，m的取值范围是． 故答案为：． 13.（2023南阳南召三模）含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图1放置，和重合． 【操作一】三角板保持不变，将三角板绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒． （1）当时，______度． （2）求t为何值时，． 【操作二】如图2，在三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转的同时，三角板也绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒（）． （3）求t为何值时，与重合． （4）试探索：在两个三角板旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由． 【小问1详解】 解：当时，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，当旋转到时，旋转角度为或， ∴或， 故当或13时，； 【小问3详解】 解：由题意，旋转的度数为，旋转的度数为， ∵， ∴当与重合时，， 解得：； 【小问4详解】 解：当与重合前时， 若，如图2，则， ∴，解得； 若，如图，则， ∴，解得； 当与重合后，如图，则， ∴，解得， 综上，满足条件的t值为2或4或12． 14.（2023南阳内乡县三模）综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，老师将矩形 按如图①所示方式折叠，使点与点重合，点的对应点为，折痕为，若为等边三角形． （1）请解答老师提出的问题： 试猜想与的数量关系，并加以证明． 【实践探究】 （2）小明受到此问题启发，将纸片按如图②所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若,， ①试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②若点为的中点，连接，求的长； 【问题解决】 （5） 小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在中，将折叠，使点与点重合，点为折痕所在直线上一点，若，，，请直接写出线段的长． 【小问1详解】 ． 理由如下： ∵为等边三角形， ∴． ∴． 设． 在 中 ， ． ∵矩形沿折叠， ∴． ∴． ∵四边形 是矩形， ∴． ∴． 【小问2详解】 ①为等腰直角三角形． 理由如下： ∵沿折叠，点与点重合， ∴是线段的垂直平分线，． ∴． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ②根据图形折叠的性质可知． ∵点是的中点， ∴． ∴． 【小问3详解】 或． 理由如下： ①当点在内部时． 如图所示，过点作于点，折痕为直线，点为折痕上一点，过点作于点，作于点，连接，，． ∵， 两点关于折痕对称，， ∴，． ∴． ∵，， ∴点为中点． ∴． ∴． ∵，，， ∴四边形为矩形，． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴四边形为正方形． ∴． 设． ∴，． ∴． ∴． ∴ ． ∴． ②当点在外部时． 如图所示，过点作于点，折痕为直线，点为折痕上一点，过点作于点，作于点，连接，，． 根据①的证明过程，同理可得，四边形为正方形． 设． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． 综上所述，BD 的长为或． 15.（新乡长垣二模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一；如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线， ① ； ②线段，，之间的数量关系为 ． 深入探究】 操作二：如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出这样两个结论：①；②．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由． （3）【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕或上时，请直接写出线段的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 故答案为45；； 【小问2详解】 解：选择结论①， 结论①是正确的，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质，可知，，， ， 又， ， 由（1）得， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 或选择结论②， 结论②是正确的，理由如下： 由折叠的性质，可知，，，， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：由题意可知： ①当点N落在折痕上时，如题图3所示，由（2）可知， ； ②当点N落在折痕上时，如解图所示， 设，则，由（2）可知是等腰直角三角形，， 在中，由勾股定理得：， 解得或（舍去）， ； 综上所述，线段的长为或． 16（.2023新乡原阳一模）已知点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，，请完成如下问题： （1）如图1，若和均为等边三角形，①线段与线段的数量关系是________；②直线与直线相交所夹锐角的度数是________； 类比探究： （2）如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； （6） （3）拓展应用：如图3，若，，，，当点B，D，E三点共线时，请直接写出长． 【小问1详解】 解：如图1，延长交延长线于点． 和都是等边三角形， ，，， ， ， ，． ∵， ． 综上所述，，直线与直线相交所夹锐角的度数是． 故答案为：，； 【小问2详解】 ①不成立，；②成立． 理由：如图2，延长交的延长线于点． ，， ∴， ，， ， ，， ． ∵， ． 综上所述，，直线与直线相交所夹锐角的度数是； 【小问3详解】 的长为或． 如图3，当点落在线段上时． ，，， ，， ，． ， ， ； 如图4，当点落在线段上时，同理可得． 综上所述，的长为或． 17.（信阳市浉河区）综合与实践： 问题情境：数学活动课上，老师让同学们拿出大小两副三角板，按照如图1所示的方式摆放．其中，，． 问题探究：将三角板绕点B按顺时针方向旋转． （1）如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，试判断与数量关系，并说明理由； （2）在图2中，连接，请求出长度； （3）如图3，G为的中点，则在旋转过程中，点G到直线的距离的最大值是______． 【小问1详解】 解：，理由： 如图2，由题意得，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，； 【小问3详解】 解：如图3，取的中点，连接，则， ∵G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点G在以点O为圆心，为半径的圆上， 过O作于N，当点G在的延长线上时，点G到的距离最大，如图， ∵， ∴点G到直线的距离的最大值是， 故答案为：． 18.（2023郑州金水区三模）在中，，，点为边的中点，以为一边作正方形， （1）如图1，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为______； （2）在（1）的条件下， ①如果正方形绕点旋转，连接、、，线段与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明； ②正方形绕点旋转的过程中，当以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形时．直接写出线段AF的长． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC， 根据勾股定理得，BC＝AB， ∵点D为BC的中点， ∴AD＝BC＝， ∵四边形CDEF是正方形， ∴AF＝EF＝AD ∵BE＝AB， ∴BE＝AF， 故答案为: （2）①无变化 理由如下：在中， ∵ ∴ ∴ 在正方形中， 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴线段与的数量关系无变化 ②如图，当点F在BC 边上时， 此时，点F是BC边的中点， ∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=3 ∴ ∴ 如图，当点F在BC边的延长线上时，过点A作AG⊥BC于点G， 由①知，AG=CD=CG=CF= 在Rt△AGF中，AG=,GF=GC+CF=++= ∴AF= 综上，线段AF的长为或． 19.（2023郑外三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图，在中，，点和点分别是斜边上的动点，并且满足，分别过点和点作边的垂线，垂足分别为点和点，那么的值是一个定值． 问题：若时，值为___________ ； 【操作探究】如图，在中，； 爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当时，的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图进行证明，并用含和的式子表示的值． 【解决问题】如图，在菱形中，若、分别是边、上动点，且，作，垂足分别为、，则的值为__________ ． 【详解】解：【问题发现】于点，于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 解：【操作探究】对， 证明：于点，于点，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 的值为定值，． 解：【解决问题】如图3，连交于点，在上截取，作于点， 四边形是菱形，，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 于点，， ， ， ，， ， ，，， ， ， 故答案为：． 20.（2023周口鹿邑县三模）小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，他们对两块大小不等的等腰直角三角板摆放不同的位置，做了如下探究： （1）将两块三角板的直角顶点重合，如图1，在和中，，，，当点D在线段上时（点D不与点A，B重合）， ①由题意可得，其依据是：___________； A． B． C． D． ②直接写出与的数量关系___________． （2）将两块三角板的锐角顶点重合，如图2，在和中，，，，点A与线段不在同一直线上，（1）中与的数量关系是否仍然成立？若不成立，请求出新的数量关系； （3）将小三角板的锐角顶点与大三角板的直角顶点重合，如图3，在和中，，，．将绕点C在平面内旋转，当点D落在边上时，满足，请直接写出的长． 【小问1详解】 解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， 故选：B； ②由①可得， ∴； 【小问2详解】 解：不成立． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，． ∴． ∴，． ∴． ∴． 即． 故（1）中和的数量关系不存在； 【小问3详解】 解：连接，过点E作于点F， ①当在左边时， ∵，，， ∴， ∴点C，D，E，B四点共圆， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，根据勾股定理可得， 则，解得：，（舍）， ∴， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴； ②当在右边时， 同理可得：，， ∴， 综上：的长为或． 21.（2023周口沈丘县一模）（1）问题发现 如图1，四边形为矩形，，，点在矩形的对角线上，的两条直角边、分别交、于点、，当，时，__________（用含、的代数式表示）； （2）拓展探究 在（1）中，固定点，使绕点旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的图形给出证明； （3）问题解决 如图3，四边形为正方形，，点在对角线上，、分别在、上，，当时（是正实数），直接写出四边形的面积是__________（用含，的代数式表示）． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：；． （2）的大小没有变化． 证明如下：过作于点，于点， 则，， ， 又， ， ， ， ， ，， ， 又，， ，即， ． （3）解：过作于点，于点， 则，， ， 又， ， ， ， ， ，， ， 又， ，即， 四边形是正方形，， 当时（n是正实数），， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 22.（2023周口项城三模）综合与实践： （1）问题情景：如图1，已知等边和它内部一点D，把线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，射线交于点F，则与数量关系是___________， __________°． （2）类比探究：如图2，在等腰中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，将绕点A旋转得到，连接，，在旋转的过程中，设直线交于点F，探索和的数量关系和的度数； （3）拓展应用：如图3，在中，，以为斜边作等腰直角三角形，若求线段的长（直接写出答案）． 【小问1详解】 解：∵等边， ∴， ∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（外角的性质）， ∴； 故答案为：； 小问2详解】 解：∵等腰，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵将绕点A旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 当点D在的上方时，如图1所示， 过点D作交的延长线于点E，则：， ∵等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点D在的下方时，如图2所示，同理可得，． 综上：或． 23.（2023驻马店市某校二模）综合与实践 数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A，D重合，点B，C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为． （1）如图（1）若，则当点落在上时，和的数量关系是________，的度数为________． 思考探究： （2）在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点．当点落在上时，如图（2），设，分别交于点J，K．若，请求出三角形的面积． 开放拓展： （3）如图（3），在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接，，若，请直接写出的长．(温馨提示：，) 【小问1详解】 解：由折叠得：，，， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 由折叠得：， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； 【小问3详解】 如图，过点作于，于， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由折叠得：，， 中，， ， 延长，交于， 中，，， ， 中，， ， 设，则，， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$