精品解析：河北省沧州市运东五校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2023~2024学年度第二学期高二年级5月份月考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章第三章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知随机变量X的分布列为 5 10 15 则（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 19 B. C. 1 D. 4. 若关于的不等式的解集为或，则（ ） A. 180 B. 360 C. 475 D. 495 5. 有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中项的系数为（ ） A. 112 B. 136 C. 184 D. 236 7. 已知，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 将7名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有（ ） A. 61个 B. 65个 C. 68个 D. 71个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 10. 下列命题中正确为（ ） A. 随机变量，若，，则 B. 若将一组数据中的每个数据扩大为原来的2倍，则方差也扩大为原来的2倍 C. 随机变量，若，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大 11. 定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 若，则关于中心对称 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，使得”的否定为______. 13. 已知，，且，则的最小值为______. 14. 2023年中国成功举办了第31届世界大学生夏季运动会和第19届亚运会，某市积极响应全民锻炼的号召，组织村级足球联赛，其中组有甲、乙、丙、丁4支足球队，每支球队都要跟组内其他球队进行一场比赛，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，比赛结束时，在甲队输给乙队的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围 16. 假期中，来自沿海城市的小明和小强去四川旅游，他们发现自己带的小面包的包装袋鼓了起来.原来随着海拔升高，气压也随之降低，包装袋内的气压大于外面气压，从而使得面包袋鼓了起来.研究发现在一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系. 海拔高度 10 50 100 500 1000 大气压 101.2 100.6 100.2 94.8 88.2 （1）利用线性回归分析求与之间的线性回归方程；（的值精确到0.001） （2）小明和小强打算去九寨沟，可以利用（1）中方程，估计九寨沟A景点（海拔2800m）的大气压.（精确到0.01） 附：①对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. ②参考数据：，. 17. 已知函数，. （1）是否存在实数a，使恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）若关于x的方程有两个正实数根，，求的最小值. 18. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级 合计 优秀 良 主播的学历层次 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ （2）统计学中常用表示在事件条件下事件发生优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势.现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”.表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势： （3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”． （1）若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数； （2）设，求证：当时，函数是函数“从属函数”； （3）若定义在上的函数和的图像均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要非充分条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期高二年级5月份月考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章第三章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，从而求出交集. 【详解】集合，集合， 所以. 故选：A. 2. 已知随机变量X的分布列为 5 10 15 则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列的性质有，可求的值. 【详解】由分布列的性质，得，即，解得或， 当时，，不符合分布列的性质，所以. 故选：C. 3. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 19 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以. 故选：D. 4. 若关于的不等式的解集为或，则（ ） A. 180 B. 360 C. 475 D. 495 【答案】D 【解析】 【分析】根据三个二次之间的关系分析可得，再结合组合数公式分析求解. 【详解】由题意可知：，是方程的两根， 可得，解得， 所以. 故选：D. 5. 有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在坐标系中画出五个点，结果除去之外，其余的点都在一条线附近，去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系. 【详解】，在坐标系中画出五个点， 结果除去之外，其余的点都在一条线附近， 去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系， 故选：C 6. 的展开式中项的系数为（ ） A. 112 B. 136 C. 184 D. 236 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式可知，或，再结合的展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】的展开式的通项为， 要得到项，必有，所以，所以，或. 当时，，而展开式中的项为， 故中项的系数为； 当时，，而中的常数项为1， 故中项的系数为，所以所求项的系数为. 故选：B. 7. 已知，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的等价思想，作差分析，结合充分性与必要性进行推理即可. 【详解】由，得， 所以，充分性成立； 由，得，不妨取满足不等式， 所以推不出，从而得不到，必要性不成立. 故选:A. 8. 将7名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有（ ） A. 61个 B. 65个 C. 68个 D. 71个 【答案】D 【解析】 【分析】记这7名学生的身高由低到高分别为数字1，2，3，4，5，6，7，依题意可得只能为，或，分三种情况讨论，分别求出相应的“数列”个数，最后按照分类加法计数原理计算可得. 【详解】记这7名学生的身高由低到高分别为数字1，2，3，4，5，6，7， 因为都比大，所以只能为，或. 当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为， 所以有种选法，剩下一个数作为，共有个“数列”； 当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为， 剩余两个数排，有种选法，共有个“数列”； 当时，，从4，5，6，7中选2个数作为有种选法， 剩余2个数为，共有6个“数列”. 综上所述，满足条件的“数列”共有个. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据幂函数的性质分析可得. 【详解】因为的值域为R，所以， 又因为为奇函数，所以. 故选：AC 10. 下列命题中正确的为（ ） A. 随机变量，若，，则 B. 若将一组数据中的每个数据扩大为原来的2倍，则方差也扩大为原来的2倍 C. 随机变量，若，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项分布的计算公式判断即可判断A；利用方差的性质即可判断B；利用正态分布的对称性求值即可判断C；利用二项分布的概率公式计算即可判断D． 【详解】对于A，因为，且，，所以，选项A正确； 对于B，若将一组数据中每个数据都扩大为原来的2倍，则方差随之扩大为原来的4倍，选项B错误； 对于C，因为，且， 所以，选项C正确； 对于D，因为， 所以，， 令，解得， 因为，所以，即时，概率最大，选项D正确． 故选：ACD． 11. 定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 若，则关于中心对称 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的等式，利用赋值法，结合奇偶函数的定义、对称中心及周期性定义逐项判断得解. 【详解】对于A，令，有，而不恒为0，则，A错误； 对于B，由A知，令，有， 即，则函数为偶函数，B正确； 对于C，若，令，有， 则关于中心对称，C正确； 对于D，显然关于中心对称，又为偶函数，则， 即，因此，是周期为4的周期函数， 显然，，即， 所以，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，使得”的否定为______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题分析判断. 【详解】，使得的否定为全称量词命题，即，. 故答案为：，. 13. 已知，，且，则的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由得，， 所以，（当且仅当，即，时取得等号）. 故答案为：3 14. 2023年中国成功举办了第31届世界大学生夏季运动会和第19届亚运会，某市积极响应全民锻炼的号召，组织村级足球联赛，其中组有甲、乙、丙、丁4支足球队，每支球队都要跟组内其他球队进行一场比赛，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，比赛结束时，在甲队输给乙队的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据甲是最高分可得甲余下两场比赛全赢，再就甲乙、甲丁的输赢（丙的第一场对手若为甲）分类讨论后可得正确的选项. 【详解】若甲与丙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时乙丙、乙丁两场比赛中乙只能输，否则乙的分数不小于4分，不合题意， 在乙输的情况下，丙、丁已有3分， 那么它们之间的比赛无论什么情况，丙、丁中有一队得分不小于4分，不合题意； 若甲与丙、丁两场比赛全赢（概率为）时，甲得6分，其他3队分数最高为5分， 这时乙丙，乙丁两场比赛中乙不能赢，否则乙的分数不小于6分，只有乙平或乙输； 若乙一平一输，概率为.如乙平丙，乙输丁，则丙丁比赛时，丁不能赢，概率为； 若乙两场均平，概率为，丙丁这场比赛无论结果如何均符合题意； 若乙两场都输，概率为，丙丁这场比赛只能平，概率为. 综上所述，在甲队输给乙队的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围 【答案】（1）或 （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式，求出，利用交集的概念求出答案； （2）先得到，根据必要条件得到，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，或， 所以或； 【小问2详解】 由（1）得，或， 故， 因为“”是“”的必要条件，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 假期中，来自沿海城市的小明和小强去四川旅游，他们发现自己带的小面包的包装袋鼓了起来.原来随着海拔升高，气压也随之降低，包装袋内的气压大于外面气压，从而使得面包袋鼓了起来.研究发现在一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系. 海拔高度 10 50 100 500 1000 大气压 101.2 100.6 100.2 94.8 88.2 （1）利用线性回归分析求与之间线性回归方程；（的值精确到0.001） （2）小明和小强打算去九寨沟，可以利用（1）中的方程，估计九寨沟A景点（海拔2800m）的大气压.（精确到0.01） 附：①对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. ②参考数据：，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，根据公式求出，得到线性回归方程； （2）将代入回归方程，求出答案. 【小问1详解】 由表中数据得， ， 又， 所以， ， 所以经验回归方程. 【小问2详解】 当时，， 所以九寨沟在景点处（海拔）的大气压约为 17. 已知函数，. （1）是否存在实数a，使恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）若关于x的方程有两个正实数根，，求的最小值. 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可求解， （2）根据根与系数的关系，即可基本不等式即可求解. 【小问1详解】 若恒成立,即对于一切实数均成立， 故，化简得，显然不成立， 故不存在实数a，使恒成立， 【小问2详解】 的两个正实数根，，则，解得， ，由于，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为6. 18. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级 合计 优秀 良 主播的学历层次 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ （2）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势.现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”.表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势： （3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10828 【答案】（1）认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联 （2），认为事件条件下发生有优势 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）根据所给的公式，结合条件概率公式可得，结合表中数据即可求解； （3）根据分层抽样得带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式求解即可， 【小问1详解】 零假设为：直播带货的评级与主播的学历无关， 由题意得， 所以根据小概率值的独立性检验， 可推断不成立，认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联； 【小问2详解】 因为， 因为， 所以认为事件条件下发生有优势； 【小问3详解】 按照分层抽样，直播带货优秀的有人，直播带货良好的有人，随机变量的可能取值为1，2，3， 则， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望. 19. 对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”． （1）若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数； （2）设，求证：当时，函数是函数的“从属函数”； （3）若定义在上函数和的图像均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要非充分条件． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“从属函数”的定义和偶函数的性质可证对任意，恒成立，即可证明是偶函数； （2）不妨设，当时，利用放缩法可证，即可得证函数是函数的“从属函数”； （3）可通过举反例证明非充分，必要性，即证：函数是函数的“从属函数”，若函数在上为严格增函数或严格减函数，则函数在上是严格增函数或严格减函数，分情况讨论得证. 【小问1详解】 因为是上的偶函数，故对任意的都有．又是上的“从属函数”，于是恒成立，即对任意的成立，故是偶函数； 【小问2详解】 不妨设，当时，在上是严格增函数，有． 而， 所以， 因此，当时，函数是函数的“从属函数”； 【小问3详解】 举反例不具备充分性. 令，显然在上是严格增函数， 因为， 所以函数是函数的“从属函数”，但在上不是单调函数． 因此不是的充分条件． 必要性证明，即证：函数是函数的“从属函数”， 若函数在上为严格增函数或严格减函数， 则函数在上是严格增函数或严格减函数． 任取，且，有，即对任意，且，有． 下面证明：对任意的实数，有或成立． 若存在，，使得且…①， 其中不妨设…②， 当①或②式中有等号成立时，则与（其中）矛盾！ 当①②两式中等号均不成立时，考虑， 因为， 由连续函数的零点存在定理知，必存在使得， 也与（其中）矛盾！ 同理可证且也不可能. 【点睛】思路点睛：第二问利用放缩法即可得证，第三位可通过举反例证明非充分，必要性利用定义可得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$