精品解析：2024年山东省聊城市临清市西南片区中学联合考试二模数学试题

2024年中考模拟检测(二)数学试题 本试卷共6页．满分120分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列四个数中，最小的数是(　　) A. B. 0 C. D. 2. 某物体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( ) A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以矩形的顶点A为圆心，长为半径画弧交的延长线于E；过点D作交于点F，连接．，则的长是（　　） A. B. C. 3 D. 6. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 7. 若的计算结果为正整数，则对值的描述最准确的是（ ） A. 为自然数 B. 为大于1的奇数 C. 为大于0的偶数 D. 为正整数 8. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船顺利发射，三位航天员值守空间站大约6个月的时间，将于今年4月底返回东风着陆场．空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设甲、乙、丙三位航天员从核心舱进入实验舱的机会均等，现在从这三名航天员中选2人进入问天实验舱开展科学实验，甲、乙两人同时被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数在第一象限的图象上有两点，如果点到轴的距离是点到轴距离的4倍，那么的面积为（　　） A. B. C. 15 D. 19 10. 小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ） A. 2.7分钟 B. 2.8分钟 C. 3分钟 D. 3.2分钟 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为________． 13. 太阳释放的辐射能功率为千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，那么到达地球的辐射能功率是_______千瓦．（用科学记数法表示） 14. 在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的半径是______． 15. 如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是_________． 16. 在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则_______．（结果用含n的代数式表示） 三、解答题：本题共8个小题，共7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 19. 舍利塔是临清古城的地标．某校九年级“综合与实践”小组开展了测量舍利塔高度的项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 舍利塔 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．提升动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得塔顶端的俯角为； 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得塔底端的俯角为． 测量示意 请根据以上测量数据，求舍利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 20. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据： 83，85，85，87，87，89； 抽取的对款设备的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 45% 88 87 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数； （3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 21. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 22. 如图，内接于，为的直径，延长到点，连接．过点作，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，横坐标为．过点作轴的平行线交于点，写出长度的表达式（用含的代数式表示）； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 24. 综合与实践 教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质． 莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心． （1）初步观察：连接，判断与的数量关系并说明理由； （2）猜想验证：莹莹通过测量发现与，与有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由； （3）尝试运用：利用（2）的结论计算的面积； （4）拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中考模拟检测(二)数学试题 本试卷共6页．满分120分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列四个数中，最小的数是(　　) A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小，根据实数比较大小的方法即可求解，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴最小的数是， 故选D． 2. 某物体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：几何体左视图是： 故选：． 3. 如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解． 【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故选D． 【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 5. 如图，以矩形的顶点A为圆心，长为半径画弧交的延长线于E；过点D作交于点F，连接．，则的长是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质得，则，再证明四边形是平行四边形，由作图得，则四边形是菱形，所以，则，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由作图得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． 6. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故选：D． 7. 若的计算结果为正整数，则对值的描述最准确的是（ ） A. 为自然数 B. 为大于1的奇数 C. 为大于0的偶数 D. 为正整数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后再根据结果为正整数即可解答． 【详解】解：， ． ， ∵结果为正整数， ∴为大于1的奇数． 故选B． 8. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船顺利发射，三位航天员值守空间站大约6个月的时间，将于今年4月底返回东风着陆场．空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设甲、乙、丙三位航天员从核心舱进入实验舱的机会均等，现在从这三名航天员中选2人进入问天实验舱开展科学实验，甲、乙两人同时被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列出树状图，运用概率公式求解即可．本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： ∴一共有6种等可能的情况，其中甲、乙两人同时被选中的情况有2种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率为， 故选：B． 9. 已知反比例函数在第一象限的图象上有两点，如果点到轴的距离是点到轴距离的4倍，那么的面积为（　　） A. B. C. 15 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是是反比例函数图象与性质，设点，则点，过作轴于，连接，再利用割补法求解面积即可． 【详解】解：如图，设点，则点，过作轴于，连接， ∴， ∴，，， ； 故选A 10. 小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ） A. 2.7分钟 B. 2.8分钟 C. 3分钟 D. 3.2分钟 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE、AF、OD的解析式，再分别联立OD与AE和AF求得两次相遇的时间，最后作差即可． 【详解】解： 如图：根据题意可得A（8，a），D(12,a)，E（4,0），F（12,0） 设AE的解析式为y=kx+b，则 ，解得 ∴直线AE的解析式为y=x-a 同理：直线AF的解析式为：y=-x+3a,直线OD的解析式为：y= 联立 ，解得 联立 ，解得 两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为________． 【答案】， 【解析】 【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，作、的垂直平分线交于点，旋转中心是点，，． 故答案为，． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 13. 太阳释放的辐射能功率为千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，那么到达地球的辐射能功率是_______千瓦．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的半径是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程求解即可． 【详解】解：半径为，圆心角为的扇形弧长是：， 设圆锥的底面半径是，则， 解得：． 故答案为：5． 15. 如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，取的中点D，连接，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质得到，再由可得当三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，取的中点D，连接， ∵是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当三点共线时，有最大值是解题的关键． 16. 在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则_______．（结果用含n的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键． 三、解答题：本题共8个小题，共7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，负整数指数幂，特殊角三角函数值、二次根式的性质化简，二元一次方程组的求解，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据绝对值、负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值化简，然后再加减计算即可； （2）运用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2） 由①得：③ 将③代入②得：， 解得：， 将代入①，解得：， 方程组的解为． 18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 【答案】（1）该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 （2）最多可购买电脑8台 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答． （2）设购买电脑台，则购买实物投影仪台，依题意，列式，进行解不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； 【小问2详解】 解：4月份投入图书购置经费为（万元）， 设购买电脑台，则购买实物投影仪台， 根据题意得：， 解得：， 答：最多可购买电脑8台． 19. 舍利塔是临清古城的地标．某校九年级“综合与实践”小组开展了测量舍利塔高度的项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 舍利塔 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．提升动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得塔顶端的俯角为； 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得塔底端的俯角为． 测量示意 请根据以上测量数据，求舍利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】舍利塔的高度约为 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意得到方程是解题的关键．延长，交的延长线于，则，由题意得，，，在中，，得，在中，，求得，再根据即可求解． 【详解】解：延长，交的延长线于， 则， 由题意得，，， 在中，， 所以， 所以， 在中，， 所以， 所以， 答：舍利塔的高度约为． 20. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据： 83，85，85，87，87，89； 抽取的对款设备的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 45% 88 87 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数； （3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）15，88，98 （2）90 （3）款，理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得，再根据中位数和众数的定义求得，； （2）利用样本估计总体即可； （3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论． 【小问1详解】 解：抽取的对款设备的评分数据中“满意”的有6份， “满意”所占百分比为：， “比较满意”所占百分比为：， ， 抽取的对款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数， “不满意”和“满意”的评分有（份）， 第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89， ， 抽取的对款设备的评分数据中出现次数最多的是98， ， 故答案为：15，88，98； 【小问2详解】 解：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为：（人）， 答：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人． 【小问3详解】 解：款自动洗车设备更受欢迎， 理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键． 21. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 【答案】（1） 证明：， ， 在和中，， ， ． （2） 证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 22. 如图，内接于，为的直径，延长到点，连接．过点作，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵为的直径， ∴． ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，根据圆周角定理、切线的性质以及平行线的性质可得，进而说明，即可证明结论； （2）由勾股定理可得，即；再根据平行线等分线段定理可得，设，，根据线段的和差列方程求得k，进而求得，再运用勾股定理可得，最后证明四边形为平行四边形并根据其性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴． ∵，，， ∴， 设，， ∴，解得：， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理得：． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、平行线分线段定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质以及平行线等分线段定理是解答本题的关键． 23. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，横坐标为．过点作轴的平行线交于点，写出长度的表达式（用含的代数式表示）； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合、勾股定理、待定系数法求二次函数解析式等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论思想成为解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图：过点作轴于点，交于点．由正切的定义可得，再求出直线的解析式，由题意可得、，即，最后结合即可解答； （3）先求出对称轴为直线，再结合直线的解析式可得，即；然后再分点在上方和下方两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，,解得： 所以抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图：过点作轴于点，交于点． ∵，， ∴． ∴． 设直线的解析式为，将代入，得， 所以直线的解析式为． ∴，， 所以， 所以． 【小问3详解】 解：设对称轴交于点，对称轴为，直线的解析式为， 点． ， ①当点在上方时，过点作于点， ，， 设，，则， ，解得：． ， 故点； ②当点在下方时， ，， 设，，则， ，解得：． ， 故点； 综上，存在点，点的坐标为或． 24. 综合与实践 教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质． 莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心． （1）初步观察：连接，判断与的数量关系并说明理由； （2）猜想验证：莹莹通过测量发现与，与有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由； （3）尝试运用：利用（2）的结论计算的面积； （4）拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长． 【答案】（1） ，理由： ∵点B与点A重叠对折，得折痕， ∴（折叠的性质）， ∴； 故答案为：； （2） 猜想：， 理由如下：连接． ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，； （3） （4）的长为或 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质即可得到答案； （2）连接，易得为的中位线，则，，于是，利用相似三角形的性质即可求解； （3）由折叠可知，，利用勾股定理求得，结合（2）的结论，根据三角形面积公式可求解； （4）连接，由（2）知，则，利用勾股定理求得，由折叠可知，易证，由相似三角形的性质可求得，则，分两种情况讨论：当与点重合时，此时；当点与点F重合时，利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由折叠可得，，， ∵， ∴， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图，连接， 由（2）知，， ∴， 在中，， 由折叠可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当与点B重合时，如图①②，连接， 此时； ∵， ∴， 此时拼成的图形为三角形，不符合题意； 当点与点F重合时，如图③④， 在中，， ∴． 综上所述，的长为或．． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、中线的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是读懂题意，熟知折叠的性质，学会利用数形结合和分类讨论思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $