精品解析：四川省蓬溪中学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

蓬溪中学高2022级第四学期第三次质量检测 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ） A. 0m/s B. 1m/s C. 2m/s D. 3m/s 【答案】D 【解析】 【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于3，即该物体在s时的瞬时速度为3m/s． 故选：D 2. 已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则（ ） 0 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据均值的计算公式以及概率和为列式，联立求解得，，再根据求出即可. 【详解】，又， 所以，， 所以， 故选：A. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间. 【详解】∵，∴， 令，解得， 即函数的单调递减区间为， 故选：B. 4. “一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意, 成等比数列，求出 即可求解. 【详解】设这根木棰总长为1, 每天截取其一半,剩下的部分记为, 则{}构成,公比 的等比数列, 所以 所以 故选:D. 【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换． 5. 已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】由并展开，根据展开式的特征，结合题设条件可得，即可确定取值. 【详解】由， ∴要使恰能被14整除，只需能被14整除即可且， ∴，当k=1时，m=13满足题意. 故选：D 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论： （1）在区间上单调递增 （2）的单调减区间为和 （3）的极值点有，0，2 （4） 其中结论一定正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的图象求出大于0或小于0的x取值范围，再逐一判断各个命题作答. 【详解】观察图象知，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，（1）错误，（2）正确； 因为的左右两侧导函数符号不变，则不是的极值点，故（3）错误； 由于函数在上单调递增，则，故（4）错误. 所以结论一定正确的个数是1. 故选：A 7. 函数在上不单调则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由在上不单调，可得在上 必有零点，利用,构造函数,再求出的取值范围. 【详解】依题意, 因为函数在上不单调， 所以在上有零点， 令，令，得 , 令，则 , 当时，单调递增，又， 所以，故, 所以的取值范围是 故选：D 8. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，则，， 所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则A，B独立 C. 若A，B独立，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据随机事件的概率、独立事件、条件概率等知识确定正确答案. 【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确. B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确. C选项，若独立，则，C选项错误. D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 所以，所以D选项正确. 故选：ABD 10. 已知 的展开式中共有7项，则下列选项正确的有（ ） A. 二项式系数最大的项只有一项 B. 所有项的系数和为1 C. 有理项共4项 D. 的展开式中的系数为50 【答案】AC 【解析】 【分析】首先由项数确定，再根据最大的二项式系数的公式，判断A，利用赋值，即可判断B，根据通项公式，即可判断C，根据分配率展开，分别计算得到系数，即可判断D. 【详解】由题意可知，，则二项式系数最大的项只有一项，故A正确； 令，则，所以所有项的系数的和为，故B错误； 通项公式，其中时，是整数，是有理项，故C正确； ，其中中，的系数是, 中，的系数是，中，的系数是, 所以的展开式中的系数为，故D错误. 故选：AC 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 在区间上单调递减 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对函数求导，判断出单调性，可得极值点可判断选项A、B、C；根据与的关系，与关系可判断选项D； 【详解】因为， 令，得或；令，得，或 所以，函数的增区间为，减区间为， 对于A选项，在单调递减，在单调递增， 所以是的极小值点，对； 对于选项，在区间上递增，B错； 对于C选项，因为在单调递减，在单调递增， 因为， 所以，故C 对； 对于D选项，由，可得，所以 ，可得，所以， 所以，故D对； 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列满足，，则____________. 【答案】5 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得. 【详解】因为是等差数列，所以， 则有，解得. 故答案为：. 13. 已知随机变量，，则______． 【答案】0.7## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，即可列式求解. 【详解】由题意可知，. 故答案为：0.7 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知4名学生和2名教师站在一排照相，（结果用数字表示） （1）两名教师必须排中间，有多少种排法？ （2）两名教师不相邻，有多少种排法？ （3）甲不在最左边，乙不在最右边，有多少种排法？ 【答案】（1）48 （2） （3）504 【解析】 【分析】（1）分两步完成，先排教师，然后排学生即可； （2）使用插空法可得； （3）分甲在最右边和甲不在最右边两类情况求解即可. 【小问1详解】 先排教师有种方法，再排学生有种方法， 所以，两名教师必须排中间共有种排法． 【小问2详解】 先排4名学生有种方法，然后将2名教师插入到5个空位中有种方法， 所以，两名教师不相邻共有种排法. 【小问3详解】 第一类，甲在最右边有种方法， 第二类，甲不在最右边，先排甲有种，再排乙有种，最后排其余4人有种， 所以，共有种， 所以，甲不在最左边，乙不在最右边共有504种排法. 16. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者． （1）设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件 “在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级” ．请完成下表中不同事件的概率并写出必要的演算步骤： 事件概率 概率值 （2）若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自高一年级的概率． 【答案】（1） 事件概率 概率值 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式进行计算即可； （2）利用条件概率公式进行计算即可. 【小问1详解】 根据三个年级的人数比值为3：3：4， 则，，， ，，， 由全概率公式，得， 事件概率 概率值 【小问2详解】该学生来自高一年级的概率． 17. 为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动：限定日累计消费满200元的顾客可以参加一次抽奖活动；已知一抽奖箱中放有8只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，共取三次，取到三个都是红球的消费者可获得代金券120元，恰好取到两个红色球的消费者可获得代金券80元，恰好取到一个红色球的消费者可获得代金券40元.取到红色球的个数记为X，参与活动的每位消费者获得代金券的金额记为Y元． （1）若取球过程是无放回的，求” ”时的概率； （2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望 【答案】（1） （2）X的分布列如下： X 0 1 2 3 P ， 【解析】 【分析】（1）首先分析代金券的金额与对应取到红球的个数，再根据超几何分布求概率； （2）若取球过程是有放回的，则随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率公式求分布列和数学期望；，根据期望的性质，即可求解. 【小问1详解】 取到红色球的个数记为X，获得一、二、三等奖分别对应于、、 根据超几何分布可知： 【小问2详解】 随机变量X的可能取值为：0，1，2，3；且， ，，1，2，3 X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以 因为，所以. 18. 已知函数，且． （1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程 （2）讨论函数的单调性和极值情况 （3）在曲线上至少存在一个整数，使得它对应的点在x轴的上方，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减，无极值； 当时，在上单调递增，在上单调递减 在处取得极大值，无极小值． （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据极值点的性质求得，进而结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分和两种情况，结合导数判断的单调性和极值； （3）解法一：求导，讨论的单调性，根据题意结合函数单调性分析符号性即可得解；解法二：分析可知原题意等价于当且时，，构建，利用导数判断的单调性和最值，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，解得， 若，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极大值，所以符合题意， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）得，， 当时，则，可知在上单调递减，无极值； 当时，令，则， 当时，， 当时，， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值； 综上所述：当时，在上单调递减，无极值； 当时，在上单调递增，在上单调递减 在处取得极大值，无极小值． 【小问3详解】 令，则， 当时，；当时，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 解法一：因为，则， 若，则，可知在单调递减， 当时，，不合题意，舍去； 若，令，则， 当时，， 当时，， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值； 由题意可知：，解得； 又因为，，，， （ⅰ）当，即时，等价于， 则，解得； （ⅱ）当，即时，等价于，符合题意； 综上所述：a的取值范围为； 解法二：因为， 由题意可知：至少一个整数有， 等价于当且时，， 且， 故当且时，，可得， 所以a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧 根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大（小）值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解． 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）求函数在上的最小值； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，得到函数单调性，得到极值和最值情况； （2）由（1）求出的函数单调性，分，和三种情况，结合函数单调性，得到最小值； （3）参变分离，，构造，求导得到函数单调性，结合隐零点，得到，并且，由同构和函数单调性得到，从而得到，得到答案. 【小问1详解】 因为，所以， 由，得，所以；由，得，所以， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 所以的最小值为，无最大值． 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增， 当，即时，在单调递减， ； 当时，即在单调递减，单调递增， ． 当时，在单调递增， ； 综上所述； 【小问3详解】 恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减， 又，所以在上存在唯一的使， 当时单调递增，当时单调递减． 故的最大值为， 又，故， 两边取对数得， 又在定义域内单调递增，所以，故， 所以， 所以． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬溪中学高2022级第四学期第三次质量检测 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ） A. 0m/s B. 1m/s C. 2m/s D. 3m/s 2. 已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则（ ） 0 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. “一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 5. 已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 13 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论： （1）在区间上单调递增 （2）的单调减区间为和 （3）的极值点有，0，2 （4） 其中结论一定正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 函数在上不单调则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则A，B独立 C. 若A，B独立，则 D. 10. 已知 的展开式中共有7项，则下列选项正确的有（ ） A. 二项式系数最大的项只有一项 B. 所有项的系数和为1 C. 有理项共4项 D. 的展开式中的系数为50 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 在区间上单调递减 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列满足，，则____________. 13. 已知随机变量，，则______． 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知4名学生和2名教师站在一排照相，（结果用数字表示） （1）两名教师必须排中间，有多少种排法？ （2）两名教师不相邻，有多少种排法？ （3）甲不在最左边，乙不在最右边，有多少种排法？ 16. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者． （1）设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件 “在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级” ．请完成下表中不同事件的概率并写出必要的演算步骤： 事件概率 概率值 （2）若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自高一年级的概率． 17. 为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动：限定日累计消费满200元的顾客可以参加一次抽奖活动；已知一抽奖箱中放有8只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，共取三次，取到三个都是红球的消费者可获得代金券120元，恰好取到两个红色球的消费者可获得代金券80元，恰好取到一个红色球的消费者可获得代金券40元.取到红色球的个数记为X，参与活动的每位消费者获得代金券的金额记为Y元． （1）若取球过程是无放回的，求” ”时的概率； （2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望 18. 已知函数，且． （1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程 （2）讨论函数的单调性和极值情况 （3）在曲线上至少存在一个整数，使得它对应的点在x轴的上方，求a的取值范围. 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）求函数在上的最小值； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $