精品解析：重庆市南开中学校2024届高三第九次质量检测数学试题

重庆市南开中学校2024届高三第九次质量检测数学试题 命审单位:重庆南开中学 注意事项: 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数相等求出，再由共轭复数概念即可求解. 【详解】因为， 所以，故， 所以复数的共轭复数为， 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解集合A，根据指数函数单调性求解值域得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】， 则， 所以. 故选：D 3. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件和向量的垂直关系求出未知量即可求得，进而得. 【详解】因为， 所以，，故， 所以. 故选：C. 4. 无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合. A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法原理求解即可. 【详解】先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选， 号也有2种颜色可选，所以一共有种灯光组合. 故选：B 5. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先依据题目所给条件得，所以对于A，依据函数的增减性即可判断；对于B、D，对取特殊值为即可判断；对于C，由可直接判断. 【详解】因为， 所以，又为增函数，故， 对于A，因为 为减函数，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，且与均为增函数， 所以，此时，故D错误. 故选：C. 6. 已知从点发出的光线经轴反射，反射光线与圆相切，其反射光线的斜率为（ ） A B. 2 C. 或2 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先求点关于轴的对称点，由反射光线性质知反射光线即为圆C的切线，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，由此即可求解. 【详解】点关于轴对称点，由反射光线性质知， 反射光线即为过点作圆：的切线， 设切线的斜率为，则切线， 由得，解得或2. 故选：C 7. 已知函数的部分图像如图所示，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由图像以及题意求出的解析式，从而得，，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解. 【详解】由图可知，由可知， 故，又由图， 故由图，①， 由图，②， 又，结合①②可得，故， 所以. 故. 故选：D. 8. 已知数列的前项和为（ ） A. 276 B. 272 C. 268 D. 266 【答案】A 【解析】 【分析】令得，当时，结合题干作差得，从而利用累加法求解即可. 【详解】，又， 当时，，解得； 当时，，作差得， . 故选：A 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 四点共面 B. 与异面 C. D. RS与所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长即可得各点的坐标，利用向量法判断线线位置关系判断AB，求解线线角判断CD. 【详解】以D为坐标原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系： 设正方体的棱长为2， 则， 因为分别为棱、的中点， 所以， 对于A，因为，所以， 所以，所以四点共面，正确； 对于B，因为，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，错误； 对于C，因为，所以， 所以，即，正确； 对于D，因为， 所以，， 所以， 设RS与所成角为，，则，所以， 即与所成角为，错误. 故选：AC 10. 已知，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. ，使 D. ，使 【答案】AC 【解析】 【分析】求解函数的定义域判断B，代入求值判断A，求导研究函数的单调性，求出函数的极值并画出图象即可判断CD. 【详解】要使函数有意义，则有，且， 即定义域，B错误； ，，，A正确； ， 记，，则， 时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增，，即， 又时，， 令，则单调递增，又， 存在唯一，使得，此时， 时，，时，，时，， 时，，故在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， ，. 作出函数的图象，如图： 所以C正确，D错误. 故选：AC 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线PF1的斜率为 C. 的周长为 D. 的外接圆半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和，进而可依次求出直线PF1的斜率、结合焦三角形面积公式得的周长、结合正弦定理得的外接圆半径. 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点，则由题， 且，， 又 ，A选项正确； 由选项A得，连接、、，则， 所以，B选项错误； 同理，， ， ， 所以由焦三角面积公式得， 又，故得， 的周长为，选项正确； 由， 由正弦定理得，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：求直线PF1的斜率、的周长、的外接圆半径的关键是根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分、共15分. 12. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为________________. 【答案】0.5## 【解析】 【分析】利用样本中心在回归直线上及残差的定义即可求解. 【详解】将代入，得，解得， 所以， 故当时，， 所以残差. 故答案为：0.5. 13. 已知一个表面积为的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由内切球的表面积得球的半径，从而求出正三棱柱的高，再根据底面正三角形内切圆的半径求得正三角形的边长，代入棱柱体积公式求解即可. 【详解】设正三棱柱底面棱长为，高为，内切球的半径为， 依题意，解得，所以正三棱柱的高， 正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径为， 由题意，所以， 所以正三棱柱的体积. 故答案为： 14. 已知函数满足.若是方程的两根，则=______. 【答案】0 【解析】 【分析】法一：令，根据三角变换得，则，从而，利用韦达定理得，即可求得. 法二：利用韦达定理得，设，则可取，代入解析式利用诱导公式化简求解即可. 【详解】法一：令，则， 于是，则，即， 又是方程两根，所以， 故. 法二：是方程的两根，所以， 设，则可取， 于是. 故答案为：0 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用巧妙的换元，结合诱导公式，或者二倍角公式，整体代入求解. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知a、b、c分别为的内角A、B、C的对边，S为的面积，且满足． （1）求B； （2）若，且，，求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理、辅助角公式计算可得，进而求解； （2）由题意，根据平面向量数量积的定义和余弦定理计算可得，利用向量的线性运算证明A、D、C三点共线，进而得，结合余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 由余弦定理得， 所以， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即． 【小问2详解】 由及得， ，化简得， 将代入上式整理得：，所以，， 所以，解得． ∵， ∴A、D、C三点共线，且． ∴， 所以． 16. 如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，. （1）证明：平面BOP； （2）若圆锥PO侧面积为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据圆锥PO的侧面积求得及，求出平面的法向量，利用向量法求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 平面，故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系. 设，故，，，. . 故，平面，平面. 【小问2详解】 圆锥PO的侧面积，， 由（1）可知，为平面的法向量， 设平面的法向量为，而，， 故，令得， 则， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G. （1）求点G的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为曲线C，直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据为的重心，得，代入，化简即可求解. （2）根据垂心的概念求得，设直线方程，与椭圆联立韦达定理，利用得，将韦达定理代入化简即可求解. 【小问1详解】 设，则，因为的重心， 故有：，解得，代入，化简得， 又，故，所以的轨迹方程为. 【小问2详解】 因为的垂心，故有， 又，所以，故设直线的方程为， 与联立消去得：， 由得， 设，则， 由，得，所以， 所以， 所以，化简得， 解得（舍去）或（满足），故直线的方程为. 18. 已知是二维离散型随机变量，其中X、Y是两个相互独立的离散型随机变量，的分布列用表格表示如下： X 0 3 6 0 5 （1）求和； （2）“”表示在条件下的的取值，求“”的分布列； （3）为的数学期望，为“”的分布的期望，证明：. 【答案】（1）. （2）分布列见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目所给分布列直接求解即可； （2）法一：“”可取的值为，再结合条件概率和分布列表即可求出每个取值对应的概率，即可求解分布列； 法二：“”可取的值为，由随机变量相互独立得，其中，即可求出概率和分布列； （3）法一：由题分别求出和，即可得证； 法二：利用期望定义和求和运算性质化简证明. 【小问1详解】 由已知. 【小问2详解】 法一：“”可取的值为， 因为 所以， ， ， 所以“”分布列为 0 3 6 法二：“”可取的值为，由已知，随机变量相互独立， 故，其中， 由已知，， 所以得“”分布列为 0 3 6 【小问3详解】 法一：因为，所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以. 法二： . 19. 已知函数. （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1. （i）记为直线交点的横坐标，求证：； （ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）分离参数，设，利用导数研究单调性，求解函数的最值即可求解； （2）（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，利用导数的几何意义求出两切线方程，联立可得，构造函数，利用导数求解函数最值即可证明； （ii）结合导数的几何意义将问题转化为有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，由得，从而有两个不等实根，设，利用导数研究的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由于，则， 设，则，，且在上单减， 令得，令得， 所以在单调递增，单调递减， 所以，则. 【小问2详解】 （i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为， 有，即， 此时，切线为：， 相减得， 所以， 设，，所以在上单调递减. 故当时，，所以； 当时，，所以，则. （ii）由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 则， 又因为，所以， 题目转化为有两个不等实根，且互为倒数， 不妨设两根为， 则由得， 化简得， 所以， 所以，（也可写为）. 代入中得：有两个不等实根， 即， 设， 由于在上单调递减且， 所以在单调递增，单调递减， 而无限趋近于0时，无限趋向于负无穷大， 无限趋近于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，， 所以，即. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： （1）、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市南开中学校2024届高三第九次质量检测数学试题 命审单位:重庆南开中学 注意事项: 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4. 无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合. A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 5. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知从点发出的光线经轴反射，反射光线与圆相切，其反射光线的斜率为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或 7. 已知函数的部分图像如图所示，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为（ ） A 276 B. 272 C. 268 D. 266 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 四点共面 B. 与异面 C. D. RS与所成角为 10. 已知，则（ ） A. B. 在上单调递增 C ，使 D. ，使 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线PF1的斜率为 C. 周长为 D. 的外接圆半径为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分、共15分. 12. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为________________. 13. 已知一个表面积为的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为______. 14. 已知函数满足.若是方程的两根，则=______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知a、b、c分别为的内角A、B、C的对边，S为的面积，且满足． （1）求B； （2）若，且，，求的余弦值． 16. 如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，. （1）证明：平面BOP； （2）若圆锥PO的侧面积为，求二面角的余弦值. 17. 已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G. （1）求点G的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为曲线C，直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程. 18. 已知是二维离散型随机变量，其中X、Y是两个相互独立离散型随机变量，的分布列用表格表示如下： X 0 3 6 0 5 （1）求和； （2）“”表示在条件下的的取值，求“”的分布列； （3）为的数学期望，为“”的分布的期望，证明：. 19. 已知函数. （1）当时，恒成立，求实数取值范围； （2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1. （i）记为直线交点的横坐标，求证：； （ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$