精品解析：2024年甘肃省武威市凉州区武威十七中教研联片九年级中考三模数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省武威第十七中学联片教研九年级数学 第三次模拟考试试卷 一、选择题(共30分) 1. 若一个数的倒数是，则这个数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中是旋转对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了和两数，则这两数分别为（　　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 若一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 7. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，的两条高线AD、BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则与面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知直线与两坐标轴分别相交于点A，B两点，点C是线段上任意一点，过C分别作轴于点D，轴于点E．双曲线与分别交于点P，Q两点，若四边形为正方形，且，则k的值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 10. 如图，正方形的面积为12，点E在边上，且，的平分线交于点F，点M，N分别是，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共24分) 11. 单项式的次数是__________． 12. 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则 的值是________． 13. x与1的和大于0，用不等式表示为______． 14. 如图，，，点A、D、B、C分别在直线与上，点E在上，，，，则___． 15. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____． 16. 因式分解：3a2-6a=____________． 17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=2，则⊙O的直径为_________ ． 18. 如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______． 三、计算题(共8分) 19. （1）计算：． （2）解方程：． 四、作图题(共4分) 20. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，AB是以格点（网格线的交点）为端点的线段，O是网格中一格点． （1）将线段AB绕格点O顺时针旋转90°，得到线段CD（点A，B的对应点分别为点C，D），画出线段CD； （2）以格点O为位似中心，在格点O的另一侧将放大为原来的2倍（即相似比为2∶1），得到，画出，并直接写出的面积． 五、解答题(共54分) 21. 为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． 22. 如图，四边形中，，对角线，相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：． 23. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 24. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长：（单位：分钟） 人数 所占百分比 4 20 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数为_________，表中的值为_________； （2）该校共有500名学生，请你估计等级为的学生人数； （3）本次调查中，等级为的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 25. 如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，圆O过A、C两点，过点A作的延长线于点E，已知DA平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和AD的长． 26. 如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值． （3）连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期甘肃省武威第十七中学联片教研九年级数学 第三次模拟考试试卷 一、选择题(共30分) 1. 若一个数的倒数是，则这个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把带分数化成假分数，再把分子分母对调，数的正负性不变，即得答． 【详解】∵， ∴的倒数是． 故选：B． 【点睛】本题考查倒数的概念及求法．其关键是如果这个数为整数（0除外），则这个数的倒数是分子为1，分母就是这个整数的分数；如果这个数是分数，先化带分数（如果是的情况）为假分数，再把分子分母对调，数的正负性不变，即得这个数的倒数．注意0没有倒数，一个数和它的倒数同号． 2. 下列图形中是旋转对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是旋转对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B、是旋转对称图形，也是中心对称图形，不合题意； C、是旋转对称图形，也是中心对称图形，不合题意； D、是旋转对称图形，也是中心对称图形，不合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.（旋转角 0度< 旋转角<360度）.如果一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 3. 若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了和两数，则这两数分别为（　　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】把x＝4代入方程组第二个方程求出y的值，确定出2x＋y的值即可． 【详解】解：把代入中得：， ， 则这两个数分别为和， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 4. 若一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得：（n-2）×180=1800， 解得：n=12． ∴这个多边形是12边形． 故选：D． 【点睛】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n-2）×180°． 5. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，根据两点之间的距离求点表示的数，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及通过距离表示点的坐标． 根据矩形的性质和勾股定理得出，根据两个点之间线段的长度求出点的坐标即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由勾股定理得， ， ∵点表示的数为， 点表示的数为， 故选：C． 6. 如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得和则可求得答案． 【详解】解：∵分别切于A、B，切于点E， ∴， ∴， 即的周长为12， 故选：D． 8. 如图，的两条高线AD、BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则与面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，三角形中位线性质，相似三角形的判定与性质，掌握垂径定理、三角形中位线性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作于P，连接，可得P为中点，根据、、可得是中位线且，从而得出，根据得，由相似三角形的性质即可知答案． 【详解】解：如图，过点O作于P，连接， ∴P为中点， ∵， ∴，即， 又∵，且， ∴，且F为中点， ∴、， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，已知直线与两坐标轴分别相交于点A，B两点，点C是线段上任意一点，过C分别作轴于点D，轴于点E．双曲线与分别交于点P，Q两点，若四边形为正方形，且，则k的值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查了反比例函数与正方形的性质，解题的关键是理解反比例函数的轴对称性，理解P和Q关于对称是关键． 四边形为正方形，则是第一象限的角平分线，则解析式是，即可求得C的坐标，根据反比例函数一定关于对称，则P、Q一定是对称点，则设Q的坐标是，则，根据正方形的面积的面积的面积的面积的面积，即可列方程求得a的值，求得Q的坐标，利用待定系数法即可求得k的值. 【详解】解：四边形为正方形，则是第一象限的角平分线，则解析式是， 根据题意得： ， 解得： ， 则C的坐标是， 设Q的坐标是，由图象的对称性得： 则， 正方形的面积是：4， ，同理 ， 则， 解得：或（舍去）， 则Q的坐标是， 把代入得：． 故选B． 10. 如图，正方形的面积为12，点E在边上，且，的平分线交于点F，点M，N分别是，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质和特殊角的三角函数值求得，判定是等腰直角三角形，从而利用中位线定理分析求解． 【详解】解：连接，如图： ∵正方形的面积为12， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在Rt中，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及含角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关系，解题的关键是根据已知求得． 二、填空题(共24分) 11. 单项式的次数是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据单项式次数的定义求解，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：单项式的次数是2+1=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了单项式次数的定义，掌握基本概念是解题的关键． 12. 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则 的值是________． 【答案】5 【解析】 【详解】试题解析：由题意可得：根据题意，得 a+b=0，cd=1，m=±2. 则 故答案为 13. x与1的和大于0，用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】先表示与1的和，再表示和大于0，即可得解． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 14. 如图，，，点A、D、B、C分别在直线与上，点E在上，，，，则___． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，将三角形周长转化，求出即可． 【详解】解：∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长为， 故答案为：10． 16. 因式分解：3a2-6a=____________． 【答案】3a（a-2）． 【解析】 【详解】试题解析：3a2-6a=3a（a-2）． 考点：因式分解-提公因式法． 17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=2，则⊙O的直径为_________ ． 【答案】2 【解析】 【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到，进而得出⊙O的直径为2． 【详解】如图，连接OB，OC， ∵∠A=45°， ∴∠BOC=90°， ∴△BOC是等腰直角三角形， 又∵BC=2， ∴， ∴⊙O的直径为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和三角函数，熟练掌握其定理是解题的关键． 18. 如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可． 【详解】解：如图， 取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为等腰梯形， ， ，，， ， 点在以点为圆心，2为半径的圆上， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， 当三点共线时，有最小值， 面积的最小值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键． 三、计算题(共8分) 19. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂进行运算即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则和一元二次方程的求根公式． 四、作图题(共4分) 20. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，AB是以格点（网格线的交点）为端点的线段，O是网格中一格点． （1）将线段AB绕格点O顺时针旋转90°，得到线段CD（点A，B的对应点分别为点C，D），画出线段CD； （2）以格点O为位似中心，在格点O的另一侧将放大为原来的2倍（即相似比为2∶1），得到，画出，并直接写出的面积． 【答案】（1） 如图线段CD即为所求； （2） 如图，即为所求， 10 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质即可将线段AB的端点A、B分别绕点O顺时针旋转90°得到对应点C和D，连接CD即可； （2）根据位似图形的定义，分别连接AO、BO，分别延长AO、BO到A1、B1，使得OA1＝2OA，OB1＝2OB，连接A1B1即可．利用包含的最小矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：将线段AB的端点A、B分别绕点O顺时针旋转90°得到对应点C和D，连接CD 【小问2详解】 解：的面积． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换和位似变换，解决本题的关键是掌握旋转和位似图形的性质． 五、解答题(共54分) 21. 为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键， 设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意， 得：， 解得：，（舍）， ∴两年该县投入教育经费的年平均增长率为． 22. 如图，四边形中，，对角线，相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 又∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【详解】略 23. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 【答案】 （1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE//BC，BC＝2DE， ∵CF＝3BF， ∴BC＝2BF， ∴DE＝BF， ∴四边形DEFB是平行四边形； （2）平行四边形DEFB的周长＝ 【解析】 【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形； （2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形， ∴BD＝EF， ∵D是AC的中点，AC＝12cm， ∴CD＝AC＝6（cm）， ∵∠ACB＝90°， ∴BD＝＝10（cm）， ∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键． 24. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长：（单位：分钟） 人数 所占百分比 4 20 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数为_________，表中的值为_________； （2）该校共有500名学生，请你估计等级为的学生人数； （3）本次调查中，等级为的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）50， （2）200 （3） 【解析】 【分析】（1）利用概率计算公式先求出总人数，再求出等级为A的学生人数； （2）利用概率计算公式先求出等级为B的学生所占的百分比，再求出等级为B的学生人数； （3）记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，通过列出表格列出所有可能的结果，用恰有一男一女的结果数除以总的结果数，即可得到恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【小问1详解】 解：∵D组人数为8人，所占百分比为16%， ∴总人数为人， ∴． 【小问2详解】 解：等级为B的学生所占的百分比为， ∴等级为B的学生人数为人． 【小问3详解】 解：记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，列出表格如下： ∴一共有12种情况，其中恰有一男一女的有8种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，概率计算公式的熟练应用是解答本题的关键． 25. 如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，圆O过A、C两点，过点A作的延长线于点E，已知DA平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和AD的长． 【答案】（1） 证明：如下图，连接OA， ∵， ∴． ∵DA平分， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵OA是半径， ∴是切线； （2）5， 【解析】 【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明即可解决问题； （2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如上图，取CD中点F，连接OF， ∴于点F， ∴四边形AEFO是矩形． ∵， ∴． 在Rt△OFD中，， ∴， 在Rt△AED中， ，， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 26. 如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． （1）等边对等角结合平角的定义，得到，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值． （3）连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）； （2）点的坐标为，，的面积的最大值为． （3）存在，点的坐标为，； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式； （2）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值； （3）先设出点的坐标，再求出的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点的坐标． 【小问1详解】 把点，点的坐标代入解析式， 得：， 解得：， 二次函数得表达式为； 【小问2详解】 过点作轴的平行线与交于点， 设， 设直线的函数关系式为，则 ，解得： 得直线的解析式为， 则， ， 当时，的面积最大， 此时，点的坐标为，，的面积的最大值为． 【小问3详解】 存在点，使四边形为菱形，如图， 设，交于点， 若四边形是菱形，则， 连接，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为，； 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作轴的平行线或轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $