精品解析：山东省淄博市博山中学（五四制）2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

博山中学2023-2024学年度第二学期期中考试 初三数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把方程化成一般式的形式，则a、b、c的值分别是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（ ） A. B. C. b D. 6. 已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当且时，四边形是正方形 7. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（  ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 8. 已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为(　　) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 9. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 13. 计算______ 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 15. 若最简二次根式与能合并，则__________． 16. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 17. 已知，，则______． 18. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______________． 19. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程______________． 20. 如图，在菱形中，，正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上，若正方形的周长为，则菱形的周长为 _____． 三、解答题：（21-22题每题8分，23-25题每题10分，26-27题每题12分，共70分．） 21. 计算： （1） （2） 22. 选择合适的方法解方程． （1） （2） 23. 如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，且，． （1）求证； （2）求证四边形是矩形． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为，且，求m的值． 25. 如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地． (1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ (2)能否使所围矩形场地的面积为810m2 ，为什么？ 26. 观察下列等式： ①； ②； ③； . 回答下列问题： （1）仿照上列等式，写出第个等式：______； （2）利用你观察到的规律，化简：； （3）计算：． 27. 如图，在中，，，，对角线，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于，于点，． （1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等； （3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博山中学2023-2024学年度第二学期期中考试 初三数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答． 【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式； B、与被开方数相同，是同类二次根式； C、与被开方数不同，不是同类二次根式； D、与被开方数不同，不是同类二次根式． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除等运算法则，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是正确的； C、不是同类项，不能合并，故选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B． 3. 把方程化成一般式的形式，则a、b、c的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先去括号，再移项、合并同类项，化为的形式，再根据对应相等得到a、b、c的值． 【详解】解：去括号得，， 移项得，， 所以a、b、c的值可以分别是1，，6． 故选：D． 【点睛】一元二次方程的一般形式为，为常数，其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项． 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程； 把常数项移到等号右边，方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，再利用完全平方公式变形即可． 【详解】解：把常数项移到等号右边得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：， 由完全平方公式得：， 故选：D． 5. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（ ） A. B. C. b D. 【答案】C 【解析】 【详解】首先由数轴可得，然后利用二次根式与绝对值的性质，即可求得答案． 【解答】解：根据题意得：， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，实数的性质等等，正确得到是解题的关键． 6. 已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当且时，四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，故A正确， 四边形是平行四边形，， 不能推出四边形是菱形，故错误， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故C正确， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形．故D正确． 故选B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 7. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（  ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可推出所得四边形对边平行且相等，判定为平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，可推出平行四边形有一个内角为直角，利用矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设菱形为，，，，分别为，，，的中点，连接对角线、， ，，，分别是菱形四边的中点， 是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， 同理可证：， ，即， 平行四边形是矩形． 8. 已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为(　　) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【详解】解：因为x＝-3是原方程的根，所以将x＝-3代入原方程，即（-3）2+3k−6＝0成立，解得k＝-1． 故选B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题的关键是把方程的解代入进行求解. 9. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，根据题中已知条件：四边形ABCD为菱形，，可得，在中，利用三角函数即可求得AB、AO，进一步即可确定CE、DE长，即可求得D点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E， ∵， ∴， ∵四边形ABCD为菱形，， ∴，， 在中， ，， ∴，， ∴菱形ABCD边长为2，， ∴， 点D坐标为：， 故选：D． 【点睛】题目主要考查菱形的性质、运用特殊角的三角函数求边长等，难点主要是在坐标系中灵活运用这些性质． 10. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求出的值，进而可求． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得，，， ∴， ∵ H是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选B． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由在实数范围内有意义，列不等式再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键． 12. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 【答案】24 【解析】 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入已知对角线长度计算即可得到结果． 【详解】解： 菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积 ． 13. 计算______ 【答案】13 【解析】 【详解】解： ． 故答案为：13． 【点睛】考点：无理数运算 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 15. 若最简二次根式与能合并，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 移项合并：， 故答案为：4. 【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 16. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 17. 已知，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】将提取公因式，再把，代入进行计算求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了代数值求解，平方差公式以及二次根式的乘法和减法的运算，掌握二次根式乘法和减法的运算法则是解答关键． 18. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】根据正方形，等边三角形的性质可知，是等腰三角形，且，，根据三角形的内角和定理即可求解．本题主要考查正方形，等边三角形，等腰三角形，三角形内角和定理的综合，掌握正方形，等边三角形，三角形内角和定理等知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的外侧作等边三角形 ∴，， 是等腰三角形，且， 在中，， ， 故答案为： 19. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据平均每月的增长率为x，结合三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升，进行列式，即可作答． 【详解】解：设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x ∵某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升． ∴ 故答案为： 20. 如图，在菱形中，，正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上，若正方形的周长为，则菱形的周长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据菱形和正方形的性质可得、是等边三角形，推出，，进而得到，推出，，利用勾股定理求出，进而求出，然后利用线段的和差求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 正方形的周长为， ，正方形的边长为，即， 四边形是菱形， ，， ， ，是等边三角形， ， 正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 由菱形和正方形的对称性得：，， 在中，由勾股定理得：，即， ，， ， 菱形的周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，正方形的性质是解题的关键． 三、解答题：（21-22题每题8分，23-25题每题10分，26-27题每题12分，共70分．） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的化简，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握知识点，正确化简计算是解题的关键． （1）先化简每一项，再合并同类二次根式； （2）先运用平方差公式和完全平方公式化简，再合并计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 选择合适的方法解方程． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再进行因式分解，得，令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）先移项，提公因式得，令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： 解得 【小问2详解】 解： 解得 23. 如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，且，． （1）求证； （2）求证四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； ∴； （2） 证明：四边形是平行四边形， ，， ∴， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，再由证即可； 由平行四边形的性质得，，再证，则四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案． 本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【小问1详解】 证明： ， ∵ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 25. 如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地． (1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ (2)能否使所围矩形场地的面积为810m2 ，为什么？ 【答案】（1）围成矩形长为30m，宽为25 m时，能使矩形面积为750㎡． （2）不能，见解析． 【解析】 【分析】（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解； （2）假使矩形面积为810米，则方程无实数根，所以不能围成矩形场地． 【详解】解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米． 依题意，得，即. 解此方程，得x1=30，x2=50. ∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去． 当x=30时，. 答：当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2． （2）不能．理由如下： 由得． ∵， ∴方程没有实数根． ∴不能使所围矩形场地的面积为810m2． 【点睛】本题考查：1.一元二次方程的应用（几何问题）；2. 矩形的性质；3.一元二次方程根的判别式. 26. 观察下列等式： ①； ②； ③； . 回答下列问题： （1）仿照上列等式，写出第个等式：______； （2）利用你观察到的规律，化简：； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照以上等式，写出第个等式即可； （2）利用得出的规律化简原式即可； （3）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：第个等式为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式． 【点睛】此题考查了分母有理化，找出题中的规律是解本题的关键． 27. 如图，在中，，，，对角线，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于，于点，． （1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等； （3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数． 【答案】（1） 证明：当时，， 又， 四边形为平行四边形． （2） 证明：四边形为平行四边形， ． ． （3） 四边形可以是菱形． 理由：如图，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由（2）知，得， 与互相平分． 当时，四边形为菱形． 在中，， ，又， ， ， 绕点顺时针旋转时，四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及菱形的判定和性质； （1）根据平行四边形的判定即可求证； （2）根据三角形全等的性质即可求得其相等； （3）根据菱形的判定及其性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $