精品解析：2024年河南省周口市郸城县押题冲刺模拟联考（三模）数学试题

河南省2024年中招押题冲刺卷 数 学 注意事项： 1.本试卷共4页，三个大题满分 120分，考试时间100分钟． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一.选择题 (共 10 小题,每小题3分,共30分 ) 1. 比较和的大小，下面结论正确的是　　 A. B. C. D. 无法比较 2. 庆祝新中国成立74周年，国庆假期期间，各旅游景区节庆氛围浓厚，某景区同步设置的“我为祖国点赞”装置共收集约亿个“赞”，这个数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（　　） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 主视图和左视图 4. 如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与一定相等的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 5. 化简的结果是（　　） A. B. C. D. 1 6. 如图，是半圆O的直径，D是的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动150°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在四边形ABCD中，，，，动点P从B点出发，由向终点A运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，若y与x的关系如图2所示，则下列说法：①；②四边形ABCD的周长是22；③．④面积的最大值为32，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二.填空题 （共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 使有意义的的取值范围是__________________． 12. 解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么______． 13. 春节期间，小明和小亮分别从三部影片《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为___________． 14. 如图，在中，，，点在上，且，点是边上的动点，连接，点，分别是和的中点，连接，．当时，线段的长为______． 15. 矩形中，为对角线的中点，点从点出发，沿运动到点，且当以点为顶点的三角形为直角三角形时，的长为________． 三.解答题 （共 8 小题，共 75分） 16. 计算： （1）（2a+1）2﹣4a（a﹣1）； （2）﹣12+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣2+（﹣2）3． 17. 乐乐同学骑自行车去爸爸的工厂参观，如图（1）所示是这辆自行车的实物图，如图（2），车架档与的长分别为，且它们互相垂直，，，求车链横档的长，（结果保留整数．参考数据：，，） 18. 给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形” （1）阅读：当已知矩形A的边长分别为6和1时， 小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为 由题意得方程：，化简得：， ∵， ∴， ∴矩形A存在对半矩形B． 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： 消去y化简后也得到： 然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长 （2）如果已知矩形A的边长分别为3和2，请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对半矩形B． （3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题，如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形A的面积为　　　；周长为　　　． ②对半矩形B的两边长为　　　． （4）在第（3）题的图形中，若点在双曲线上，轴，轴，垂足分别为B、C．连接，将沿若折叠，点C落在点P处，求点P的坐标，并判断点P是否落在双曲线上 19. 甲、乙两位同学参加射箭俱乐部的射箭比赛，每人各进行轮射箭，每轮射一箭，以下是裁判员对两人轮成绩进行整理、描述和分析的部分信息．根据信息，回答下列问题： ．甲、乙两位同学成绩的折线图： ．甲、乙两位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 平均数 （1）______ ； （2）依据轮射箭成绩判断，在甲、乙两位同学中，______的射箭成绩更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）为了去除异常发挥等影响，裁判将每位同学的轮成绩中去掉一个最高环数，去掉一个最低环数，剩余轮成绩的平均数称为该同学的“去极成绩”．若“去极成绩”较高者可晋级下一轮比赛，请通过计算说明甲、乙两位同学中谁可以晋级下一轮比赛． 20. 内接于，，的长是，是延长线上一点，连接交于点，连接交于点，连接． （1）如图（1），平分， ①求证：； ②若，求的长； （2）如图（2）若，求面积的最大值． 21. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，顶点为点B． （1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标； （2）在坐标系中有E，F两点（点F在点E的左侧），，已知点，线段轴，将线段竖直向上平移n个单位，若平移后，线段与该抛物线只有1个公共点，求出n的取值范围． 22. 新春佳节来临，某公司组织辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共吨去外地销售，要求辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围． （2）用来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出的最大值． 23. 如图1，在中，点，分别在边，上，，连接，点分别为的中点． （1）观察猜想 图1中，线段与的数量关系是 ，的度数为 ； （2）探究证明 把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理； （3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2024年中招押题冲刺卷 数 学 注意事项： 1.本试卷共4页，三个大题满分 120分，考试时间100分钟． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一.选择题 (共 10 小题,每小题3分,共30分 ) 1. 比较和的大小，下面结论正确的是　　 A. B. C. D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】先求出这两个数的平方，然后再进行比较即可． 【详解】解：，， ∵12<18， ， 故选：． 【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键． 2. 庆祝新中国成立74周年，国庆假期期间，各旅游景区节庆氛围浓厚，某景区同步设置的“我为祖国点赞”装置共收集约亿个“赞”，这个数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：亿 故选：D． 3. 如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（　　） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 主视图和左视图 【答案】C 【解析】 【分析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断． 【详解】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平移的性质和应用，以及简单组合体的三视图，要熟练掌握，解答此题的关键是掌握主视图、俯视图以及左视图的观察方法． 4. 如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与一定相等的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了余角和补角，根据同角的余角相等， 等角的补角相等分析判断即可得解． 【详解】解：①，则①不符合题意． ②与都有一个相同的余角，那么，则②符合题意． ③与都有一个相同的补角，那么，则③符合题意． ④，则④不符合题意． 综上，②③符合题意． 故选：C． 5. 化简的结果是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查异分母的分式的减法，掌握分式加减法的法则是解题的关键． 先分解因式并约分，再加减即可． 【详解】 故选：D． 6. 如图，是半圆O的直径，D是的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆内接四边形的性质．根据D是的中点，得到，得到，进而得到，推出，再根据圆内接四边形的对角互补，求解即可． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即且， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知，然后问题可求解． 【详解】解：由图象可知：， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限； 故选C． 9. 如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动150°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得：重物上升的高度即为定滑轮转过的弧长，再由弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：重物上升的高度即为定滑轮转过的弧长， ∴重物上升的高度为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了求弧长公式，根据题意得到重物上升的高度即为定滑轮转过的弧长是解题的关键． 10. 如图1，在四边形ABCD中，，，，动点P从B点出发，由向终点A运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，若y与x的关系如图2所示，则下列说法：①；②四边形ABCD的周长是22；③．④面积的最大值为32，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由∠C＝90°，DC∥AB，可判断①；由图2可以得出BC，DC，AD的值，从而判断②和③；当点P在CD边上时，△ABP的面积不变，从而判断④． 【详解】解：∵∠C＝90°，DC∥AB， ∴∠B＝90°， ∴BC⊥AB，故①正确； 由图2可知；BC＝4，DC＝9﹣4＝5，AD＝14﹣9＝5， ∵AB＝8，故②③正确； 当P点在CD上运动是△ABP面积的最大， △ABP面积的最大为8×4×＝16，故④不正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查动点问题与函数图像等知识点的理解和掌握，正确观察图形得到数据是解此题的关键． 二.填空题 （共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 使有意义的的取值范围是__________________． 【答案】且且. 【解析】 【分析】此题是分式的除法，要使分式有意义，则在整个运算过程中的分母不为0.所以，，，即可求出结果. 【详解】解： 要使代数式有意义：，， 则且且 故答案为：且且 【点睛】本题主要考查的是要使分式有意义的条件，要使分式有意义则分式的分母不为0，掌握这个条件是解题的关键. 12. 解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】学生仅看错系数，因此错解和正确解都满足未改动的方程，代入列方程组求出、，将正确解代入，求出，把、、代入即可得出． 【详解】解：错解和正确的解都满足不含的方程，分别代入得 ， 解得， 正确的解满足原方程，代入得， 解得， ∴． 13. 春节期间，小明和小亮分别从三部影片《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率．利用列表法或画树状图法求解即可． 【详解】解：分别记三部影片《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》为，，，画树状图如下： 一共有9种等可能的情况，其中他们选择的影片相同有3种等可能的情况， （他们选择的影片相同）． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，点在上，且，点是边上的动点，连接，点，分别是和的中点，连接，．当时，线段的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，连接，和，由题意可得，，和，则有和，进一步有，可得，继而得，则有，可判定，有即可． 【详解】解：连接，和，如图， 在中，，， ， 点分别是和的中点， ，，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ． 15. 矩形中，为对角线的中点，点从点出发，沿运动到点，且当以点为顶点的三角形为直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，直角三角形中勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 根据题意，分类讨论，点在上时；当点在上时；图形结合，根据勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，点为中点， ∴，，， ∴， 如图所示，当点在上时， 当时，为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点与点重合时， ∵，， ∴为等腰三角形，且，不可能是直角三角形，此种情况不满足条件； 如图所示，当点在上时， ∵，即， ∴， ∴当，为直角三角形，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 设，则，且， ∴在中，， 即， 解得，， ∴； 当点与点重合时，不符合题意； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三.解答题 （共 8 小题，共 75分） 16. 计算： （1）（2a+1）2﹣4a（a﹣1）； （2）﹣12+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣2+（﹣2）3． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）原式利用完全平方公式以及单项式乘多项式法则化简，去括号合并即可得到结果； （2）先算平方，立方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减法即可求解． 【详解】解：（1）原式 ; （2）原式 ． 【点睛】此题考查了实数的运算及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 17. 乐乐同学骑自行车去爸爸的工厂参观，如图（1）所示是这辆自行车的实物图，如图（2），车架档与的长分别为，且它们互相垂直，，，求车链横档的长，（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，过点B作于E，先证明，再由平行线的性质得到；设，则，解得到，解得到，由此建立方程得到，解方程得到，再解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，过点B作于E， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴车链横档的长为． 18. 给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形” （1）阅读：当已知矩形A的边长分别为6和1时， 小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为 由题意得方程：，化简得：， ∵， ∴， ∴矩形A存在对半矩形B． 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： 消去y化简后也得到： 然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长 （2）如果已知矩形A的边长分别为3和2，请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对半矩形B． （3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题，如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形A的面积为　　　；周长为　　　． ②对半矩形B的两边长为　　　． （4）在第（3）题的图形中，若点在双曲线上，轴，轴，垂足分别为B、C．连接，将沿若折叠，点C落在点P处，求点P的坐标，并判断点P是否落在双曲线上 【答案】（2）不存在对半矩形B， 设所求矩形的一边是x，则另一边为， 由题意得方程：， 化简得：， ∵， ∴原方程无解， 则满足要求的矩形B不存在． （3）①12，24；②，； （4）点，点P不在双曲线上， 【解析】 【分析】（2）设所求矩形的一条边是x，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，整理用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可； （3）①结合图像求得一次函数解析式为和反比例函数解析式，结合一次函数解析式和反比例函数解析式，可得矩形B的两边之和以及面积，即可求得矩形A的面积和周长；②联立一次函数和反比例函数，利用公式法可求出满足条件的矩形B的两边长； （4）设和交于点N，由折叠的性质和矩形的性质得，则有，设，则，利用勾股定理求得a，进一步得到，即可求得和，得到点代入，等式不成立，即可判断点P不在双曲线上． 【详解】解：（2）略 （3）①设直线的关系式为，把，代入得：， 解得：， 则一次函数解析式为， 设反比例函数解析式为，把代入得：，解得：， ∴反比例函数解析式为， 根据一次函数解析式可得：，根据反比例函数解析式可得：， ∴矩形B的两边之和为6，面积为6， ∴矩形A的面积为，周长为：； 故答案为：12，24； ②把代入得， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴对半矩形B的两边长为，． 故答案为：，； （4）设和交于点N， 由得， ∴，设，则， 在中，，解得， ∴， 作轴，垂足为E， ∵轴， ∴， ∴， 则，解得，， 那么，点代入，等式不成立 故点P不在双曲线上． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程、一次函数和反比例函数的性质、折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和相似三角形的性质，解题的关键是利用函数图象得函数解析，并熟练掌握上述性质． 19. 甲、乙两位同学参加射箭俱乐部的射箭比赛，每人各进行轮射箭，每轮射一箭，以下是裁判员对两人轮成绩进行整理、描述和分析的部分信息．根据信息，回答下列问题： ．甲、乙两位同学成绩的折线图： ．甲、乙两位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 平均数 （1）______ ； （2）依据轮射箭成绩判断，在甲、乙两位同学中，______的射箭成绩更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）为了去除异常发挥等影响，裁判将每位同学的轮成绩中去掉一个最高环数，去掉一个最低环数，剩余轮成绩的平均数称为该同学的“去极成绩”．若“去极成绩”较高者可晋级下一轮比赛，请通过计算说明甲、乙两位同学中谁可以晋级下一轮比赛． 【答案】（1） （2）甲 （3）乙同学可以晋级下一轮比赛，理由: 甲的“去极成绩”为， 乙的“去极成绩”为， ∵， ∴乙同学可以晋级下一轮比赛． 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，平均数、数据的波动，理解平均数、拆线统计图的理解是正确解答的前提． （1）根据平均数的定义求解即可； （2）根据折线统计图以及波动的意义判断即可； （3）求出两人的“去极成绩”可得答案． 【小问1详解】 由题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 根据折线统计图可知，甲轮射箭成绩的波动较小，乙的波动较大，所以甲的射箭成绩更稳定． 故答案为：甲； 【小问3详解】 略. 20. 内接于，，的长是，是延长线上一点，连接交于点，连接交于点，连接． （1）如图（1），平分， ①求证：； ②若，求的长； （2）如图（2）若，求面积的最大值． 【答案】（1）①证明：根据题意得：平分， ， 又， ， ， ， ， ． ② （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解答本题的关键． （1）①通过证明，得到，进而得到证明；②过点作于点，利用已知条件得到，利用勾股定理得到，进而得到答案． （2）过点作于点，设，，则，得到，由，得到，故，由此得到面积的最大值． 【小问1详解】 ①略 ②如图，过点作于点， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 由①得，， ． 【小问2详解】 如图，过点作于点， 根据题意得：， 设，，则， ， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， ， 即面积的最大值为：． 21. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，顶点为点B． （1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标； （2）在坐标系中有E，F两点（点F在点E的左侧），，已知点，线段轴，将线段竖直向上平移n个单位，若平移后，线段与该抛物线只有1个公共点，求出n的取值范围． 【答案】（1），顶点B的坐标为 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式首先求出，然后再结合已知信息求出，即可得出解析式，然后代入求得对应函数值，从而确定顶点坐标； （2）分别考虑向上平移的过程中，当点E落在抛物线上时；再继续向上平移，到点F恰好落在抛物线上时；以及最后恰好平移至经过顶点时的三种情况，分别计算这些情况下对应n的取值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． ∵抛物线经过点， ∴， ∴， 将代入得：， ∴抛物线的解析式为，顶点B的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点，线段轴，， ∴点． 向上平移的过程中，当点E落在抛物线上时，， 此时，线段与该抛物线只有1个公共点， 再继续向上平移，到点F恰好落在抛物线上时，， 此时，线段与该抛物线有2个公共点， 最后恰好平移至经过顶点，， 此时，线段与该抛物线只有1个公共点， ∴n的取值范围是或． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，以及二次函数与线段综合问题，理解平移的特征，准确求出二次函数解析式是解题关键． 22. 新春佳节来临，某公司组织辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共吨去外地销售，要求辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围． （2）用来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出的最大值． 【答案】（1） （2）装运苹果的车辆辆，装运芦柑的车辆辆，运香梨的车辆辆时，此次销售获利最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，则运香梨的车辆辆，根据表格可列出等量关系式，化简即可得出答案； （2）由利润=车辆数×每车水果获利可得与的函数关系式，再根据一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，则运香梨的车辆辆． ， ． 【小问2详解】 根据题意，得 ， 即， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值万元， 装运苹果的车辆辆，装运芦柑的车辆辆，运香梨的车辆辆时，此次销售获利最大，最大利润为万元． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 23. 如图1，在中，点，分别在边，上，，连接，点分别为的中点． （1）观察猜想 图1中，线段与的数量关系是 ，的度数为 ； （2）探究证明 把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理； （3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1），(或60)； （2）是等边三角形． 理由如下：由旋转知，， ∵，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，，，， ，，， ∴是等腰三角形， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出、得出、，由三角形内角和定理得到，最后即可得出结论； （2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，，，即可得出，同（1）的方法得到，即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论． 【小问1详解】 解：点F，H分别是，的中点， ∴，， 点H、G是，的中点， ∴，， ∵，， ， ∴， ∵， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，是等边三角形，， 最大时，面积最大， 点在的延长线上时，最大， ， ， ． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，旋转的性质、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $