精品解析：2024年江苏省 连云港市赣榆外国语学校中考二模数学试题

2023–2024学年度连云港市赣榆外国语中考二模模拟 九年级数学试题 （本卷满分150分 共6页 考试时间120分钟） 一、单选题（24分） 1. 函数中，自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ） A. 2，3 B. 2，9 C. 4，18 D. 4，27 4. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为 A. B. C. D. 5. 设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A. 1 B. C. 3或 D. 1或 6. 如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（    ） A. B. C. D. 2 7. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则以下结论：①；②与相似；③当时，则；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 二、填空题（24分） 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 10. 分解因式：2a3﹣8a=________． 11. 年月日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到年全国城镇新增就业万人，将数据万用科学记数法表示是______． 12. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 13. 如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是______． 14. 如图，在正方形中，点，分别在，上，且，分别交，于点，．设和的面积分别为和，若，则的值为______． 15. 如图，已知等边边长为6，D为延长线上一点，，E为直线上一动点，连接，F，G分别为的中点，连接，则线段长度的最小值为________． 16. 如图，平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，分别过点，点作轴的平行线，与双曲线分别交于点，点．若的面积为，则的值为________． 三、解答题（102分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 19. 为了落实课后服务工作的相关要求，某学校于周一下午同时开设了四门特色课程供七年级学生选择（每个学生必选且只选一门）：A．花样跳绳；B．趣味地理；C．创意剪纸；D．音乐欣赏．该校七年级共有600人，全体七年级学生的选课情况统计如图①． （1）求该校七年级学生选择A课程的学生共有多少人？ （2）为了解A课程的学习效果，对七年级选择A课程的所有学生进行了一次30秒跳绳成绩检测，并从中随机抽取了30名学生的30秒跳绳成绩进行统计，将他们的成绩绘制成频数分布直方图（如图②）． ①其中这一组的数据为72，73，74，75，77，77，79，则这组数据的中位数是______，众数是______； ②根据以上信息，估计七年级选择A课程的所有学生本次检测的30秒跳绳成绩超过77个的人数． 20. 为创建“全国文明城市”，周末团委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． （1）第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　　； （2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的概率． 21. 如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长． 22. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图(是基座的高，是主臂，是伸展臂，)．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （1）求点P到地面的高度； （2）若，求的长．（结果保留根号）（参考数据，，，） 23. 如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， （1）求证：平分； （2）若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 24. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元． （1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？ （2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少3元；每减少1盆，每盆利润增加3元；花卉每增加1盆，花卉的平均每盆利润减少1元；每减少1盆，每盆利润增加1元．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为，（单位：元）． ①求，关于x的函数关系式； ②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？ 25. 如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中． （1）直接写出的度数为_______ °； （2）连接， ①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当时，直接写出的长； （3）在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线）交x轴于点，，交y轴于点C，连接，，抛物线的顶点为P． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是位于第一象限内的抛物线上一点，连接，交y轴于点E，交于点F，连接，如图1所示，若的面积记为，的面积记为，试问：是否存在这样的点D，使得，若存在求出点D坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接，点M为抛物线的对称轴上一点，连接，，若，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023–2024学年度连云港市赣榆外国语中考二模模拟 九年级数学试题 （本卷满分150分 共6页 考试时间120分钟） 一、单选题（24分） 1. 函数中，自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 故选：B 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、同底数要的乘法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练练握这些运算的法则并正确运用． 根据整式运算的相关法则，对每个选项逐一进行计算判断． 【详解】A、与中的指数不同，不是同类项，不能合并，该选项错误； B、，该选项错误； C、，该选项错误； D、，该选项正确． 故选：D． 3. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ） A. 2，3 B. 2，9 C. 4，18 D. 4，27 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差的知识，说明了当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍，据此求解即可． 【详解】解：数据，，，，的平均数是2，方差是3， 数据，，，，的平均数为：，方差为：． 故选：D． 4. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．从而列方程即可． 【详解】解：设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，根据题意得： ． 故选B． 5. 设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A. 1 B. C. 3或 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， 解得：或， 当时，原方程为，， 则原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为，， 则原方程无实数根，不符合题意； 综上：． 故选：A． 6. 如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（    ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和求三角函数值，作于点D，由勾股定理可得，再用三角形等面积法，求出的长，从而求出答案． 【详解】解：如图，作于点D， 每个小正方形边长为1， ， 由三角形等面积法可得：，即， ， ， 故选：B． 7. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算及旋转的性质，熟知旋转的性质及扇形面积的计算公式是解题的关键． 先用扇形的面积减去的面积，再用扇形的面积减去上面的计算结果即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵， ∴． 在中， ． 故选：D． 8. 如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则以下结论：①；②与相似；③当时，则；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用证明，得，，可知①正确；根据是等边三角形，再利用角的和差关系，由，，得与不相似，可知②错误；过点作于，过点作于点，利用含的直角三角形的性质及勾股定理，分别表示出，作比即可判断③④，从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形是菱形， ，， ， ，是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ，，故①正确； ，， 是等边三角形， ， ， ， 在菱形中，已知，则， ， ， 与不相似，故②错误； 过点作于，过点作于点， ，， ， 设菱形的边， 在中，，，则， ，，则； 在中，，则，， ，则； 过点作于，如图所示： 是等边三角形， ， 在中，，，则， ，，则； ， ，， ， 在中，，，则， ， ，则； ；；故③正确，④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，特殊的直角三角形的性质等知识．综合性较强，熟练掌握各定理是解题的关键． 二、填空题（24分） 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x≥-1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】由题意可知x+1≥0， ∴x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 10. 分解因式：2a3﹣8a=________． 【答案】2a（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】． 11. 年月日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到年全国城镇新增就业万人，将数据万用科学记数法表示是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故答案为：． 12. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=DB，结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得，由此可得． 【详解】解：根据题意由勾股定理得： ∴AB2=AC2+BC2， ∴AC⊥BC，∠C=90°， 结合网格可知D分别为AB的中点， ∴CD=AD=DB， ∴∠B=∠DCB， 又∵∠B+∠DCB=∠ADC， ∴, ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．关键是得出． 14. 如图，在正方形中，点，分别在，上，且，分别交，于点，．设和的面积分别为和，若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于，得，设，，表示出其他线段以及与，再根据列出方程并解出即可； 【详解】解：如图，过点作于， 四边形为正方形，， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ∴， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，辅助线的添加是解题关键． 15. 如图，已知等边边长为6，D为延长线上一点，，E为直线上一动点，连接，F，G分别为的中点，连接，则线段长度的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，与重合时，即点，此时为的中点，即为的位置，过点作，根据题意，根据等边三角形性质以及解直角三角形性质，得出，同理求出，结合矩形的判定与性质，得出，即可作答．本题考查等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，矩形的判定与性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，与重合时，即点，此时为的中点，即为的位置，过点作， ∴ ∵E为直线上一动点，连接，F，G分别为的中点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴点在经过点，且平行于上运动，即直线， ∴过点作，与交于点O，此时最小，即的长度 是等边三角形，是的中点， ，，垂直平分， ， ∴ ∵， ∴ ∵，为的中点 ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 则， 故答案为： 16. 如图，平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，分别过点，点作轴的平行线，与双曲线分别交于点，点．若的面积为，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数的几何意义，分式方程，一元二次方程的知识．过点作轴于点，过点作轴于点，先由点和点的坐标得到，，的长，然后求得，，梯形的面积，进而结合的面积列出方程求得和之间的关系，得到点和点的坐标，进而得到和的长，最后得到结果． 【详解】解：过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，延长，交于点， 四边形为矩形， ，，， 矩形面积 ， ， ， ， 设，则， ， ，或， ， 不符合题意， 经检验，是原方程的解， ， ，， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（102分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，负整数指数幂，乘法公式： （1）先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和负整数指数幂，最后计算加减法即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）求出每个不等式的解集，取公共部分即可． 【详解】解：（1）， ，，， 则， ， 即，； （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为 19. 为了落实课后服务工作的相关要求，某学校于周一下午同时开设了四门特色课程供七年级学生选择（每个学生必选且只选一门）：A．花样跳绳；B．趣味地理；C．创意剪纸；D．音乐欣赏．该校七年级共有600人，全体七年级学生的选课情况统计如图①． （1）求该校七年级学生选择A课程的学生共有多少人？ （2）为了解A课程的学习效果，对七年级选择A课程的所有学生进行了一次30秒跳绳成绩检测，并从中随机抽取了30名学生的30秒跳绳成绩进行统计，将他们的成绩绘制成频数分布直方图（如图②）． ①其中这一组的数据为72，73，74，75，77，77，79，则这组数据的中位数是______，众数是______； ②根据以上信息，估计七年级选择A课程的所有学生本次检测的30秒跳绳成绩超过77个的人数． 【答案】（1）240人 （2）①75，77；②112人 【解析】 【分析】（1）先计算选择A课程的百分比，再根据总人数可得答案； （2）①根据中位数和众数的定义直接得到中位数和众数； ②用样本估计总体即可． 【小问1详解】 （人）． 所以，该校七年级学生选择A课程的学生共有240人； 【小问2详解】 ①这组数据的中位数是75，众数是77； 故答案为：75，77； ②（人）． 答：估计七年级选择A课程的所有学生本次检测的“30秒跳绳”成绩超过77个有112人． 【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图，能准确的从统计图中得到相关的信息是解题关键． 20. 为创建“全国文明城市”，周末团委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． （1）第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　　； （2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的概率． 【答案】（1） （2） 记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为、、、，列表如下： 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，用概率公式求概率，准确画出列表是解题关键． （1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案； （2）列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可． 【小问1详解】 解：第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 由表可知，共有12种等可能结果，其中小惠被抽中的有6种结果， 所以小惠被抽中的概率为． 21. 如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长． 【答案】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝FA， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF为菱形； （2）8 【解析】 【分析】（1）先证四边形ABEF为平行四边形，继而再根据AB＝AF，即可得四边形ABEF为菱形； （2）由四边形ABEF为菱形可得AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，在Rt△AOB中，求出AO的长即可得答案． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABEF为菱形， ∴AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO， 在Rt△AOB中，AO＝＝4， ∴AE＝2AO＝8 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图(是基座的高，是主臂，是伸展臂，)．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （1）求点P到地面的高度； （2）若，求的长．（结果保留根号）（参考数据，，，） 【答案】（1）点到地面的高度约为； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答； （2）根据三角形的内角和定理和解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 23. 如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， （1）求证：平分； （2）若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 【答案】（1） 证明：连结，如图所示， 切与点， ， ， ， ， ， 平分． （2）． 【解析】 【分析】（1）连结,由切线的性质得出,证出，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出，即可证明． （2）由圆周角定理得出,由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过作与点 点是弦所对的优弧上一点，且， , ， ， ， ， ， 阴影部分面积等于扇形的面积与三角形的差，即为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 24. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元． （1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？ （2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少3元；每减少1盆，每盆利润增加3元；花卉每增加1盆，花卉的平均每盆利润减少1元；每减少1盆，每盆利润增加1元．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为，（单位：元）． ①求，关于x的函数关系式； ②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？ 【答案】（1）1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元 （2）①；；②当或3时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是8024元 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，结合2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元，再建立方程组可得答案； （2）结合题意可得，第二期有盆景盆．再根据每盆利润乘以数量可得总利润，再建立函数关系式，利用二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，由题意得： ，解得：， 答：1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元； 【小问2详解】 由题意可知，第二期有盆景盆． ①； ； ② ， ∵，抛物线开口向下， ∴当或3时，W取得最大值，． ∴当或3时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大． 25. 如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中． （1）直接写出的度数为_______ °； （2）连接， ①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当时，直接写出的长； （3）在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值． 【答案】（1）45 （2）①是定值，；② （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）先证明，可得四点共圆，再由圆周角定理即可得结论； （2）①连接，先证明，再由相似三角形的性质可得结论；②过点E作，先证明点三点共线，可得，再由等腰三角形性质可得，再证是等腰直角三角形，设，则，可列出方程，再求解即可； （3）过点H作，延长交于点N，设，先证明，可得，即可求得，，由，可列出函数关系式 ，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 四边形是正方形， ， ，绕点B顺时针旋转交边于点F， ，， ， 四点共圆， ， 故答案为：45； 【小问2详解】 ①的比值是定值， 如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ②如图，过点E作， ， ， ， ， 由（1）得，且， 点三点共线， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 解得：， ； 【小问3详解】 如图，过点H作，延长交于点N， 设， 可得四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 当时，有最大值，为． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形结合问题、全等三角形的判定及性质，旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理，添加辅助线，用二次函数解决最值问题是解决问题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线）交x轴于点，，交y轴于点C，连接，，抛物线的顶点为P． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是位于第一象限内的抛物线上一点，连接，交y轴于点E，交于点F，连接，如图1所示，若的面积记为，的面积记为，试问：是否存在这样的点D，使得，若存在求出点D坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接，点M为抛物线的对称轴上一点，连接，，若，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2） 不存在，理由如下： 连接，过点D作轴，交于点G，交x轴于点H，如图所示： 把代入得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点D的坐标为，则， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴ ， 当时，的最大值为， ∵， ∴不存在这样的点D，使得； （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）连接，过点D作轴，交于点G，交x轴于点H，求出直线的解析式为：，设点D的坐标为，则，求出，，得出，证明，得出，求出，，得出，即，求出其最大值进行比较即可得出答案； （3）连接，在上取点E，求出，证明，得出，求出，过点A作，取，连接，过点F作轴于点G，以的中点N为圆心，的长为半径画圆，与抛物线的对称轴交于点M，连接，，，得出，求出，证明，得出，求出，根据中点坐标公式求出，设，根据两点间距离公式得出，求出t的值即可． 【小问1详解】 解：把点，代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，在上取点E，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ， ∵， 即， ∴为直角三角形，， 设，则， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 过点A作，取，连接，过点F作轴于点G，以的中点N为圆心，的长为半径画圆，与抛物线的对称轴交于点M，连接，，，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ， ∴， 设，则， 解得：或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，圆周角定理，两点间距离公式，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $