第五章 分式与分式方程必考考点梳理-【步步为赢】2023-2024学年河南真题期末抓分卷八年级数学下册 （北师大版）

真题期末抓分卷·八年级数学(BS) 第五章　 必考考点梳理 (主要内容:第五章　 分式与分式方程) 考点一　 分式及其基本性质 命题角度 1　 分式的概念 1.在代数式 1 m , x 3 ,2a -5 3 , 2xy π-1 ,m -n m+n 中,属于分 式的有 (　 　 ) A.1 个　 　 B.2 个　 　 C.3 个　 　 D.4 个 2.下列各式: b a , -1 m+n ,a 2-b2 2 , y 2π ,- 2 5 (a-b),m + 1 m ,不是分式的有 (　 　 ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 命题角度 2　 分式有意义的条件 3.使分式x -6 x+6 有意义的 x 的取值范围是 (　 　 ) A.x≥-6 B.x≤-6 C.x>-6 D.x≠-6 4.当 x　 　 　 　 时,分式 x x2-1 有意义. 命题角度 3　 分式的值为 0 的条件 5.若分式x 2-1 x+1 的值为 0,则 x 的值为 　 　 　 　 . 6.若分式 x 2-4 x2-4x+4 的值为零,则 x 的值是 (　 　 ) A.2 或-2 B.2 C.-2 D.4 命题角度 4　 分式的性质 7.如果把分式2xy x+y 中的 x,y 同时扩大为原来 的 6 倍,那么该分式的值 (　 　 ) A.不变 B.缩小为原来的 1 6 C.缩小为原来的 1 3 D.扩大为原来的 6 倍 8.不改变分式的值,使分式 1 -2x -x2+3x-3 的分子、 分母中的最高次项的系数都是正数,则分 式可化为 (　 　 ) A. 2x -1 x2+3x-3 B. 2x -1 x2-3x+3 C. 2x +1 x2+3x-3 D. 2x +1 x2+3x+3 9.不改变分式的值,把分式 1 2 a-0.7b 0.3a+b 的分子与 分母的各项系数化为整数为　 　 　 　 . 命题角度 5　 最简分式 10.下列是最简分式的是 (　 　 ) A.xy +x x2 B.4x -1 4x2 C. 1 +x 1-x2 D. 3x 6x+9y 11.如果一个分式的分子或分母可以因式分 解,且这个分式是最简分式,那么我们称 这个分式为“和谐分式” .下列分式中,是 “和谐分式”的是　 　 　 　 (填序号) . ① x -1 x2+1 ;②a -2b a2-b2 ;③ x +y x2-y2 ;④ a 2-b2 (a+b) 2 . 考点二　 分式的运算 命题角度 1　 分式的乘除 12.已知 A = x 2-9 x2+6x+9 ÷ x x+3 ,关于甲、乙、丙的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 真题期末抓分卷·八年级数学(BS) 说法,下列判断正确的是 (　 　 ) 甲:A 的计算结果为x -3 x ; 乙:当 x=-3 时,A= 2; 丙:当 0<x<3 时,A 的值为正数 A.乙错,丙对 B.甲和乙都对 C.甲对,丙错 D.甲错,丙对 13.计算9 -x2 x+2 ·2x +4 x2-3x 的结果是　 　 　 　 . 命题角度 2　 分式的加减 14.已知 a2-3a-2 = 0,则(1- 4 a+1 ) ÷a 2-6a+9 a+1 ·1 a = 　 　 　 　 . 15.化简: 1 1-x2 - x x2-1 = 　 　 　 　 . 考点三　 分式方程 命题角度 1　 分式方程的概念 16.下列是关于 x 的分式方程的是 (　 　 ) A.x +2 4 -3= 3 +x 6 B.x -7 a+7 = 3-x C. x a - x b = 1 D. 2x x2+2 = 5 17.下列方程不是分式方程的是 (　 　 ) A. 1 x +x= 2+3x B. x 2x+3 = 4 5 C. x π -x+1 3 = 4 D. 1 x-5 - 4 2x+3 = 1 命题角度 2　 解分式方程 18.解分式方程 2 x-3 = 3 x 时,将方程两边都乘同 一个整式,得到一个一元一次方程,则这 个整式是 (　 　 ) A.x B.x-3 C.x(x-3) D.x+(x-3) 19.对于实数 a,b 定义一种新运算“􀱋”:a􀱋b = 1 a-b2 .例如,1􀱋3= 1 1-32 =- 1 8 ,则方程 x􀱋 2= 2 x-4 -1 的解是　 　 　 　 . 20.已知关于 x 的方程 x+ b x =a+ b a 的解是 x1 = a,x2 = b a ,应用此结论解方程:x+ 2 x-1 = a+ 2 a-1 的解为　 　 　 　 　 　 　 . 命题角度 3　 根据分式方程的解的情况求值 21.若关于 x 的分式方程 m x-2 -x-1 2-x = 3 的解为 正数,则 m 的取值范围是　 　 　 　 　 　 . 22.若关于 x 的方程x -1 x-3 = m-4 x-3 有增根,则 m 的值为　 　 　 　 . 命题角度 4　 列分式方程解实际问题 23.甲、乙两种机器人都被用来搬运货物,已 知乙型机器人比甲型机器人每小时多搬 运 600 千克,甲型机器人搬运 5 000 千克 所用的时间与乙型机器人搬运 8 000 千克 所用的时间相等.设甲型机器人每小时搬 运 x 千克货物,则可列方程为 (　 　 ) A. 5 000 x-600 = 8 000 x B.5 000 x = 8 000 x+600 C. 5 000 x+600 = 8 000 x D.5 000 x = 8 000 x-600 24.一项工程若由甲队单独去做,刚好能如期 完成;若由乙队单独做,要比规定时间多 用 5 天才完成;若甲乙两队合做 4 天,余 下的工程由乙队单独去做,也正好如期完 成.设这项工程预期 x 天完成,那么下面所 列方程中正确的是 (　 　 ) A. 4 x + x x+5 = 1 B. 4 x + 5 x = 1 C. 4 x +4+5 x = 1 D. 4 x +x+5 x = 1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 ∴ (a-c)(a-c-b)= 0. ∵ b+c>a, ∴ a-c-b≠0. ∴ a-c= 0,即 a= c. ∴ △ABC 为等腰三角形. 20.(1)解:令 x-y=A,则 1+6(x-y)+9(x-y) 2 = 1+6A+9A2 =(1+3A) 2 . 将“A”还原,原式=(1+3x-3y) 2 . (2)解:令 a2-4a=B, 则(a2-4a)(a2 -4a+8) +16 = B(B+8) +16 = (B+ 4) 2 . 将“B”还原,原式=(a2-4a+4) 2 =(a-2) 4 . (3)证明:(2n+1)(n+2)(2n2+5n)+1 =(2n2+5n+2)(2n2+5n)+1 =(2n2+5n+1) 2 . ∵ n 为正整数, ∴ 2n2+5n+1 为正整数. ∴ 代数式(2n+1)(n+2)(2n2+5n)+1 的值一定是 某个整数的平方. 21.解:(1)x2-2x-3 =(x-1) 2-4 =(x+1)(x-3) . (2)x2+6x-10=(x+3) 2-19. ∵ (x+3) 2≥0, ∴ (x+3) 2-19≥-19. ∴ 多项式 x2+6x-10 的最小值为-19. (3)∵ a2+b2+c2+70= 6a+12b+10c, ∴ a2+b2+c2+70-6a-12b-10c= 0. ∴ (a-3) 2+(b-6) 2+(c-5) 2 = 0. ∵ (a-3) 2≥0,(b-6) 2≥0,(c-5) 2≥0, ∴ a= 3,b= 6,c= 5. ∴ △ABC 的周长为 3+6+5= 14. 第四章　 限时闯关 1.D　 2.A　 3.A　 4.D　 5.D　 6.C　 7.D　 8.D　 9.B 10.3x(y+3)(y-3) 11.70　 12.15　 13.(x+6)(x-2)　 14.32 15.解:设另一个因式为(2x+q), 得 2x2-13x+p=(2x+q)(x-3), ∴ 2x2-13x+p= 2x2+(q-6)x-3q. ∴ q-6= -13, p= -3q,{ 解得 q= -7, p= 21.{ ∴ 另一个因式为 2x-7,p 的值为 21. 16.解:(1)a2-b2 　 (a+b) 2(a-b) (2)原式= 4x2-y2-(2x+y) = (2x+y)(2x-y)-(2x+y) = (2x+y)(2x-y-1) . (3)原式可变形为(a-c) 2+(b-c) 2 = 0. ∴ a-c= 0,b-c= 0. ∴ a= b= c. ∴ △ABC 是等边三角形. 17.(1)③ (2)(x+2) 4 (3)解:设 x2-2x= y, 原式= y(y+2)+1 =(y+1) 2 =(x2-2x+1) 2 =(x-1) 4 . 第五章　 必考考点梳理 1.B　 2.C　 3.D　 4.≠±1　 5.1　 6.C　 7.D　 8.B 9. 5a -7b 3a+10b 10.B　 11.②　 12.C 13.-2x +6 x 　 14. 1 2 　 15. 1 1-x 16.D　 17.C　 18.C　 19.x= 5 20.x1 =a,x2 = a+1 a-1 21.m>-5 且 m≠-1 22.6　 23.B　 24.A 第五章　 限时闯关 1.A　 2.D　 3.C　 4.B　 5.D　 6.B　 7.D　 8.D　 9.A　 10.C 11.6m(m+n)(m-n) 12.a>3 且 a≠4 13.15　 14.109　 15.8 16.解:(1)去分母,得 m-4+m-2= 0.解得 m= 1. 检验:将 m= 1 代入(m+2)(m-4)≠0, ∴ m= 1 是方程的解. (2)去分母,得(x-2) 2-(x2-4)= 16.解得 x= -2. 检验:将 x= -2 代入(x+2)(x-2)= 0, ∴ 原分式方程无解. 17.解: m 3-2m2 m2-4m+4 ÷( 9 m-3 +m+3) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 40