第四章 因式分解必考考点梳理-【步步为赢】2023-2024学年河南真题期末抓分卷八年级数学下册 （北师大版）

真题期末抓分卷·八年级数学(BS) 第四章　 必考考点梳理 (主要内容:第四章　 因式分解) 考点一　 因式分解 命题角度 1　 判断是否为因式分解 1.下列由左边到右边的变形,属于因式分解 的是 (　 　 ) A.3(a+b)= 3a+3b B.a2+1=(a+1)(a-1) C.a2-a+1=a(a-1)+1 D.a2+4a+4=(a+2) 2 2.下列各式从左到右的变形,属于因式分解 的是 (　 　 ) A.(x-1) 2 = x2-1 B.ax+ay=a(x+y)+1 C.x2-x= x(x-1) D.(a-1)(a-2)= a2-3a+2 命题角度 2　 根据因式分解的结果求参数 3.将多项式 2x2+ax+9 进行因式分解得到(x- 9)(2x-b),则 a,b 分别是 (　 　 ) A.a=-19,b= 1　 　 　 B.a=-19,b=-1 C.a= 19,b= 1 D.a= 19,b=-1 4.若 6x2-19x+15 = (ax+b) ( cx+d),则 ac+bd 的值为　 　 　 　 . 考点二　 提公因式法 命题角度 1　 公因式 5.8x2y3z-6xy2z2 +12xy3z 分解因式时,应提取 的公因式是 (　 　 ) A.4x2y2z　 　 B.2xy2z　 　 C.6xy　 　 D.2 6.下列各组多项式中,没有公因式的是 (　 　 ) A.ax-by 和 by-ax B.3x-9xy 和 6y2-2y C.x2-y2 和 x-y D.a+b 和 a2-2ab+b2 命题角度 2　 提公因式法分解因式 7.(2023·新乡期中)如图,边长为 a,b 的长 方形的周长为 16,面积为 12,则 a2b+ab2 的 值为 (　 　 ) A.48　 　 　 B.64　 　 　 C.80　 　 　 D.96 8.已知 x-y = 2,xy = 3 2 ,则 2x2y-2xy2 的值为 　 　 　 　 . 考点三　 公式法 命题角度 1　 利用平方差公式分解因式 9.已知 x-y=-2,x+y= 6,则 x2-y2 的值为 (　 　 ) A.2 B.4 C.12 D.-12 10.下列各式中,能用平方差公式进行因式分 解的是 (　 　 ) A.x2+1 B.x2-4 C.x3-8 D.x2+4x+1 命题角度 2　 利用完全平方公式分解因式 11.如果 x-2y+2 = 0,那么 1 4 x2 -xy+y2 -3 的 值是 (　 　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.0 12.已知三角形的三条边为 a,b,c,且满足 a2- 10a+b2-16b+89= 0,则这个三角形的最大 边 c 的取值范围是 (　 　 ) A.c>8 B.5<c<8 C.8≤c<13 D.5<c<13 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 真题期末抓分卷·八年级数学(BS) 命题角度 3　 综合运用公式法分解因式 13.把(a2+1) 2-4a2 因式分解得 (　 　 ) A.(a2+1-4a) 2 B.(a2+1-4a) 2 C.(a+1) 2(a-1) 2 D.(a2-1) 2 14.(2023·周口月考)已知 x≠y,且满足两个 等式 x2-2y= 2 0232,y2-2x= 2 0232,则 x2+ 2xy+y2 的值为　 　 　 　 . 15.把下列各式因式分解: (1)(x2+4) 2-16x2; (2)-4ab-4a2-b2 . 命题角度 4　 因式分解的应用 16.已知 a,b,c 是△ABC 的三边,且 c2+ab-b2 -ac= 0,则△ABC 一定是 (　 　 ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 17.将几个图形拼成一个新的图形,再通过两 种不同的方法计算同一个图形的面积,可 以得到一个等式,例如,由图 1 可得等式: x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .将图 2 所示 的卡片若干张进行拼图,可以将二次三项 式 a2+3ab+2b2 分解因式为 (　 　 ) 图 1 　 　 图 2 A.(a+b)(2a+b) B.(a+b)(3a+b) C.(a+b)(a+3b) D.(a+b)(a+2b) 18.如图,在△ABC 中,AB =AC,∠BAC = 120°, AD⊥BC 于点 D,AE⊥AB 交 BC 于点 E.若 S△ABC =m2+9n2,S△ADE =mn,则 m 与 n 之间 的数量关系是 (　 　 ) A.m= 6n B.m= 3n C.n= 6m D.n= 3m 19.阅读材料:要将多项式 am+an+bm+bn 分 解因式,可以先把它的前两项分成一组, 再把它的后两项分成一组,从而得到 am+ an+bm+bn = (am+an) +( bm+bn) = a(m+ n)+b(m+n),这时 a(m+n)+b(m+n)中又 有公因式(m+n),于是可以提出(m+n), 即 am+an+bm+bn=(am+an) +(bm+bn)= a(m+n)+b(m+n)= (m+n)(a+b),我们称 这种方法为分组法.请你利用分组法解答 下列问题: (1)解决问题:分解因式 ac-bc+a2-b2; (2)拓展运用:已知 a,b,c 是△ABC 的三 边,且满足 a2 -ab+c2 -2ac+bc = 0,请判断 △ABC 的形状并说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81 真题期末抓分卷·八年级数学(BS) 20.【阅读材料】 因式分解:(x+y) 2+2(x+y)+1. 解:将“x+y”看成整体,令 x+y = A,则原式 =A2+2A+1 = (A+1) 2 .再将“A”还原,原式 =(x+y+1) 2 .上述解题用到的是“整体思 想”,整体思想是数学解题中常用的一种 思想方法. 【问题解决】 (1)因式分解:1+6(x-y)+9(x-y) 2; (2)因式分解:(a2-4a)(a2-4a+8)+16; (3)证明:若 n 为正整数,则代数式(2n+ 1)(n+2)(2n2+5n)+1 的值一定是某个整 数的平方. 21.(2023·安阳期末)阅读材料:利用公式 法,可以将一些形如 ax2+bx+c(a≠0)的多 项式变形为 a( x+m) 2 +n 的形式,我们把 这样的变形方法叫做多项式 ax2+bx+c(a ≠0)的配方法,运用多项式的配方法及平 方差公式能对一些多项式进行因式分解. 例如:x2+4x-5= x2+4x+( 4 2 ) 2-( 4 2 ) 2-5 = (x+ 4 2 ) 2-4-5 = (x+2) 2-9 = (x+2+3)(x+ 2-3)= (x+5)(x-1) . 根据以上材料,解答下列问题: (1)分解因式:x2-2x-3; (2)求多项式 x2+6x-10 的最小值; (3)已知 a,b,c 是△ABC 的三边长,且满 足 a2+b2 +c2 +70 = 6a+12b+10c,求△ABC 的周长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 (2)如下图(答案不唯一): 21.解:(1)如图,等腰直角三角形 ABC 即为所求. (2)如图,正方形 ABMN,平行四边形 ABMN 即为 所求. (3)如图,四边形 ABPQ 即为所求. 第三章　 限时闯关 1.B　 2.D　 3.D　 4.B　 5.D　 6.D　 7.D　 8.B　 9.D 10.B 11.-7　 12.(-7,-2)　 13.9　 14.2　 15. 29 16.解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求. (2)如图,△A2B2C2 即为所求. (3)由两点间线段最短,连接 C1C2 交直线 m 于点 P,则点 P 即为所求点. 17.解: ( 1) ∵ 将△ABC 绕点 B 逆时针旋转得到 △DBE,点 C 的对应点 E 落在 AB 上, ∴ BD=BA,BE=BC. ∴ AE=AB-BE=BD-BC= 9-6= 3. (2)如图,连接 AD. ∵ ∠C= 110°,∠BAC= 40°, ∴ ∠ABC= 180°-∠C-∠BAC= 30°. ∴ ∠DBA=∠ABC= 30°. ∵ BD=BA, ∴ ∠BDA= 180° -∠DBA 2 = 75°. 18.(1) 证明:由旋转的性质可得 CD = CE,∠DCE = 90°. ∵ ∠ACB= 90°,∠ACD =∠ACB-∠DCB,∠BCE = ∠DCE-∠DCB, ∴ ∠ACD=∠BCE. ∵ AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE, ∴ △ACD≌△BCE(SAS) . ∴ AD=BE. (2)解:∵ ∠ACB= 90°,AC=BC, ∴ ∠A=∠CBA= 45°. ∵ △ACD≌△BCE, ∴ ∠EBC=∠A= 45°. ∴ ∠EBD= 45°+45° = 90°. 由勾股定理得 BD= DE2-BE2 = 12. ∵ AD=BE= 5, ∴ AB=DB+AD= 17. 19.(1)AAS　 (2)50　 (3)8　 (4)①1　 ②4 第四章　 必考考点梳理 1.D　 2.C　 3.A　 4.21　 5.B　 6.D　 7.D　 8.6　 9.D 10.B　 11.A　 12.C　 13.C　 14.4 15.解:(1)(x2+4) 2-16x2 =(x2+4+4x)(x2+4-4x) = (x+2) 2(x-2) 2 . (2)-4ab-4a2-b2 = -(4ab+4a2+b2) = -(2a+b) 2 . 16.C　 17.D　 18.B 19.解:(1)ac-bc+a2-b2 =(ac-bc)+(a2-b2) = c(a-b)+(a+b)(a-b) = (a-b)(a+b+c) . (2)△ABC 是等腰三角形.理由如下: ∵ a2-ab+c2-2ac+bc =(a2-2ac+c2)-(ab-bc) = (a-c) 2-b(a-c) = (a-c)(a-c-b), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 30 ∴ (a-c)(a-c-b)= 0. ∵ b+c>a, ∴ a-c-b≠0. ∴ a-c= 0,即 a= c. ∴ △ABC 为等腰三角形. 20.(1)解:令 x-y=A,则 1+6(x-y)+9(x-y) 2 = 1+6A+9A2 =(1+3A) 2 . 将“A”还原,原式=(1+3x-3y) 2 . (2)解:令 a2-4a=B, 则(a2-4a)(a2 -4a+8) +16 = B(B+8) +16 = (B+ 4) 2 . 将“B”还原,原式=(a2-4a+4) 2 =(a-2) 4 . (3)证明:(2n+1)(n+2)(2n2+5n)+1 =(2n2+5n+2)(2n2+5n)+1 =(2n2+5n+1) 2 . ∵ n 为正整数, ∴ 2n2+5n+1 为正整数. ∴ 代数式(2n+1)(n+2)(2n2+5n)+1 的值一定是 某个整数的平方. 21.解:(1)x2-2x-3 =(x-1) 2-4 =(x+1)(x-3) . (2)x2+6x-10=(x+3) 2-19. ∵ (x+3) 2≥0, ∴ (x+3) 2-19≥-19. ∴ 多项式 x2+6x-10 的最小值为-19. (3)∵ a2+b2+c2+70= 6a+12b+10c, ∴ a2+b2+c2+70-6a-12b-10c= 0. ∴ (a-3) 2+(b-6) 2+(c-5) 2 = 0. ∵ (a-3) 2≥0,(b-6) 2≥0,(c-5) 2≥0, ∴ a= 3,b= 6,c= 5. ∴ △ABC 的周长为 3+6+5= 14. 第四章　 限时闯关 1.D　 2.A　 3.A　 4.D　 5.D　 6.C　 7.D　 8.D　 9.B 10.3x(y+3)(y-3) 11.70　 12.15　 13.(x+6)(x-2)　 14.32 15.解:设另一个因式为(2x+q), 得 2x2-13x+p=(2x+q)(x-3), ∴ 2x2-13x+p= 2x2+(q-6)x-3q. ∴ q-6= -13, p= -3q,{ 解得 q= -7, p= 21.{ ∴ 另一个因式为 2x-7,p 的值为 21. 16.解:(1)a2-b2 　 (a+b) 2(a-b) (2)原式= 4x2-y2-(2x+y) = (2x+y)(2x-y)-(2x+y) = (2x+y)(2x-y-1) . (3)原式可变形为(a-c) 2+(b-c) 2 = 0. ∴ a-c= 0,b-c= 0. ∴ a= b= c. ∴ △ABC 是等边三角形. 17.(1)③ (2)(x+2) 4 (3)解:设 x2-2x= y, 原式= y(y+2)+1 =(y+1) 2 =(x2-2x+1) 2 =(x-1) 4 . 第五章　 必考考点梳理 1.B　 2.C　 3.D　 4.≠±1　 5.1　 6.C　 7.D　 8.B 9. 5a -7b 3a+10b 10.B　 11.②　 12.C 13.-2x +6 x 　 14. 1 2 　 15. 1 1-x 16.D　 17.C　 18.C　 19.x= 5 20.x1 =a,x2 = a+1 a-1 21.m>-5 且 m≠-1 22.6　 23.B　 24.A 第五章　 限时闯关 1.A　 2.D　 3.C　 4.B　 5.D　 6.B　 7.D　 8.D　 9.A　 10.C 11.6m(m+n)(m-n) 12.a>3 且 a≠4 13.15　 14.109　 15.8 16.解:(1)去分母,得 m-4+m-2= 0.解得 m= 1. 检验:将 m= 1 代入(m+2)(m-4)≠0, ∴ m= 1 是方程的解. (2)去分母,得(x-2) 2-(x2-4)= 16.解得 x= -2. 检验:将 x= -2 代入(x+2)(x-2)= 0, ∴ 原分式方程无解. 17.解: m 3-2m2 m2-4m+4 ÷( 9 m-3 +m+3) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 40