热点专题 1-1 基本不等式及其应用【21类题型全归纳】-2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

2025届高考数学热点题型归纳与重难点突破 热点题型追踪：1-1 基本不等式及其应用 近4年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2020年天津卷：第14题，5分 基本不等式及其应用是是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，题型以选择题、填空题为主，也可作为工具出现在解答题中，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用. (1)了解基本不等式的推导过程 (2)会用基本不等式解决最值问题 (3)理解基本不等式在实际问题中的应用 2021年乙卷：第8题，5分 2022年I卷：第12题，5分 2023年I卷：第22题，12分 题型总览 总览 热点题型解读（目录） 模块一 ：核心题型·举一反三 【题型1】基本不等式的直接使用 2 【题型2】 常规凑配法求最值 3 【题型3】 “1”的妙用（1）：乘“1”法 5 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 7 【题型5】二次比一次型 9 【题型6】分离常数型 10 【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题 12 【题型8】利用对勾函数 14 【题型9】 判断不等式是否能成立 16 【题型10】换元法（整体思想） 19 【题型11】基本不等式的实际应用问题 22 【题型12】与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值（和，积，平方和互相转化） 26 【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题 29 模块二 ：学有余力·拓展提升 【题型14】消元法 31 【题型15】因式分解型 33 【题型16】同除型（构造齐次式） 35 【题型17】万能“k”法 37 【题型18】三角换元法（利用三角函数） 38 【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题 40 【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 43 【题型21】多次运用基本不等式 43 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】基本不等式的直接使用 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号． 1． 若，，且，则的最小值是________ 2． 若，，则的最小值为______． 【巩固练习1】若，，则的最小值为______． 【巩固练习2】已知，，且，则的最小值是________ 【题型2】 常规凑配法求最值 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二： 3． 若，则的最小值为 . 4． 已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【巩固练习1】函数（）的最小值为 ． 【巩固练习2】已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 【巩固练习3】已知，则的最小值为 . 【题型3】 “1”的妙用（1）：乘“1”法 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 5． （2023·广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________ 6． （2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【巩固练习1】已知且，则的最小值是 ． 【巩固练习2】若，且，则的最小值为 ． 【巩固练习3】已知，，且，则的最小值为 ． 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题目的． 7． 已知，，，则的最小值为 ． 8． 已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 【巩固练习1】若，，且，则有最小是________ 【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【题型5】二次比一次型 基本模型：，当且仅当时等号成立 9． 已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 10． 函数的最小值为 ． 【巩固练习1】已知，则函数的最小值是 ． 【巩固练习2】已知正数x，y满足，则的最大值为 ． 【巩固练习3】已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 【题型6】分离常数型 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 例1：（x>0） 例2： 11． 若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 【巩固练习1】已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【巩固练习2】函数在上的值域是 ． 【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题 方法总结：结合指数对数的计算公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式求解 12． （多选）已知 则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 13． （2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2023广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________ 【巩固练习2】已知实数满足，则的最小值是________． 【巩固练习3】（多选）已知，则实数，满足（    ） A． B． C． D． 【题型8】利用对勾函数 当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值 14． 当时，的最小值为 . 15． 已知函数．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【巩固练习2】已知函数，若实数满足，且，则 的取值范围是_______． 【巩固练习3】若对任意，恒成立，求实数的取值范围 【题型9】 判断不等式是否能成立 （1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． （2）连续使用不等式要注意取得一致． 16． （多选）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 【巩固练习2】（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 【巩固练习3】（多选）下面结论正确的是（        ） A．若，则的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数（）的值域是 D．，且，则的最小值是3 【题型10】换元法（整体思想） 对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑 整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值. 单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元 双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元 17． （单分母换元）已知，则的最小值是________ A．6 B．8 C．4 D．9 18． （双分母换元）已知正数满足，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 19． 已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【巩固练习1】已知，其中，，，则的最小值为 ． 【巩固练习2】已知实数，且，则的最小值是 ． 【巩固练习3】若，，，，则的最小值为 ． 【巩固练习4】若正实数满足，则最小值为________ 【巩固练习5】已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 ． 【题型11】基本不等式的实际应用问题 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养． 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数： 若，则（当且仅当时取“=”） 20． 数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 21． 小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（    ） A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 【巩固练习2】《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A．(a＞0，b＞0) B．(a＞0，b＞0，a≠b) C．(a＞0，b＞0) D．(a＞0，b＞0，a≠b) 【巩固练习3】（多选）给出下面四个结论，其中不正确的是（ ） A．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定．则若n次(n≥2)购买同一物品，用第一种策略比较经济 B．若二次函数f(x)＝24ax2＋4x－1(a≠0)在区间(－1，1)内恰有一个零点，则由零点存在定理知，实数a的取值范围是 C．已知函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则3b＋2a的取值范围是 D．设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝x，则△ADP的面积是关于x的函数且最大值为 【题型12】与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值（和，积，平方和互相转化） 利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 22． （2024·辽宁葫芦岛·二模）若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 23． （2024·重庆渝中·模拟预测）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知实数，满足，则的最大值为________ 【巩固练习2】（多选题）（2024·高三·海南·期末）已知，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【巩固练习3】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 24． 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 模块二 学有余力·拓展提升 【题型14】消元法 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 25． 已知，，则的最小值为 ． 【巩固练习1】若，则的最小值为 ． 【巩固练习2】（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【巩固练习3】（2024·重庆·模拟预测）（多选）已知，且，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 E． 【题型15】因式分解型 含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值 26． （重庆巴蜀中学校考）已知，，且，则的最小值是________ 【巩固练习1】设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【巩固练习2】若，且，则的最小值为________ 【巩固练习3】（2024·江苏南京·三模）若实数满足，则的最大值为 . 【题型16】同除型（构造齐次式） 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 27． 设正实数、、满足，则的最大值为________ A． B． C． D． 【巩固练习1】已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y²＝1，12x2＋8xy－y2的最小值为________． 【巩固练习2】已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【题型17】万能“k”法 求啥设啥，利用一元二次方程有实数根时. 28． （2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若正数，，满足，则的最大值是 . 【巩固练习2】（重庆巴蜀中学校考）已知实数，满足，则的最小值为________ 【巩固练习3】已知正实数x、y满足则xy的取值范围是________ 【题型18】三角换元法（利用三角函数） 出现平方和结构（）形式，引入三角函数表示和 29． 若x，y满足，则的最大值为________ 30． （多选题）若x，y满足，则（    ）. A． B． C． D． 【巩固练习1】若x，y满足，则的最大值为________ 【巩固练习2】已知实数满足，则的最大值为 . 【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题 利用基本不等式求最值往往交汇考查，多涉及数列、三角、向量、解析几何、立体几何等问题中有关最值的求法． 31． （2024·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 32． （2024·江西·模拟预测）已知圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【巩固练习1】（2024苏锡常镇二模）已知随机变量，且，则的最小值为 A．9 B． C．4 D．6 【巩固练习2】若直线被圆，所截得的弦长为6，则的最小值为 ． 【巩固练习3】已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．12 【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 对于，求最大值 可以设，配好系数后的与可以凑出定值 33． 已知为正实数，且，求的最大值 【巩固练习1】若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________． 【巩固练习2】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，求的最大值． 【题型21】多次运用基本不等式 多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致. 34． 已知正实数，，满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【巩固练习1】对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【巩固练习2】已知正实数、、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学热点题型归纳与重难点突破 热点题型追踪：1-1 基本不等式及其应用 近4年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2020年天津卷：第14题，5分 基本不等式及其应用是是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，题型以选择题、填空题为主，也可作为工具出现在解答题中，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用. (1)了解基本不等式的推导过程 (2)会用基本不等式解决最值问题 (3)理解基本不等式在实际问题中的应用 2021年乙卷：第8题，5分 2022年I卷：第12题，5分 2023年I卷：第22题，12分 题型总览 总览 热点题型解读（目录） 模块一 ：核心题型·举一反三 【题型1】基本不等式的直接使用 2 【题型2】 常规凑配法求最值 3 【题型3】 “1”的妙用（1）：乘“1”法 5 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 7 【题型5】二次比一次型 9 【题型6】分离常数型 10 【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题 12 【题型8】利用对勾函数 14 【题型9】 判断不等式是否能成立 16 【题型10】换元法（整体思想） 19 【题型11】基本不等式的实际应用问题 22 【题型12】与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值（和，积，平方和互相转化） 26 【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题 29 模块二 ：学有余力·拓展提升 【题型14】消元法 31 【题型15】因式分解型 33 【题型16】同除型（构造齐次式） 35 【题型17】万能“k”法 37 【题型18】三角换元法（利用三角函数） 38 【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题 40 【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 43 【题型21】多次运用基本不等式 43 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】基本不等式的直接使用 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号． 1． 若，，且，则的最小值是________ 【答案】 【详解】，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值 2． 若，，则的最小值为______． 【答案】2 【简析】 【巩固练习1】若，，则的最小值为______． 【答案】 【简析】 【巩固练习2】已知，，且，则的最小值是________ 【答案】 【详解】由于，所以，当且仅当时等号成立 【题型2】 常规凑配法求最值 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立 3． 若，则的最小值为 . 【答案】0 【解析】由，得， 所以， 当且仅当即时等号成立. 4． 已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【解题思路】利用基本不等式性质求解即可. 【解答过程】因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 【巩固练习1】函数（）的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为. 【巩固练习2】已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求最值即可． 【详解】因为正数a，b满足，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为2． 【巩固练习3】已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【题型3】 “1”的妙用（1）：乘“1”法 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 5． （2023·广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________ 【答案】9 【详解】，当且仅当时等号成立 6． （2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以 . 当且仅当，即时取等. 【巩固练习1】已知且，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为8 【巩固练习2】若，且，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】因为，且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为5．故答案为：5． 【巩固练习3】已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】 当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为16. 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的． 7． 已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值． 【详解】依题意． 当且仅当时等号成立． 8． 已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可． 【详解】由条件可得 ． 当且仅当，即时等号成立 【巩固练习1】若，，且，则有最小是________ 【答案】5 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值5 【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】中的“1”用“”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解． 【详解】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立．故的最小值是． 【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 【题型5】二次比一次型 基本模型：，当且仅当时等号成立 9． 已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【解题思路】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果. 【解答过程】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3． 10． 函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 【巩固练习1】已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 【巩固练习2】已知正数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】∵正数x，y满足， ∴． 当且仅当，即时取等号， 则，其最大值为． 【巩固练习3】已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 【解题思路】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【解答过程】因为x，y为正实数，且，所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25. 【题型6】分离常数型 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 例1：（x>0） 例2： 11． 若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为；故选：C 【巩固练习1】已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】将已知条件等式化为，整体代入结合基本不等式即可得解． 【详解】因为，，，所以，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为6，故选：B． 【巩固练习2】函数在上的值域是 ． 【答案】 【分析】将函数变形为，当时，；当时，，利用对勾函数的性质和不等式的性质可解． 【详解】函数， 当时，； 当时，， 根据对勾函数的性质可知： 当时，，则，所以， 当时，，则，所以， 综上所述，函数在上的值域是． 【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题 方法总结：结合指数对数的计算公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式求解 12． （多选）已知 则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意可知，，根据对数函数的单调性可知D错误；，可知A正确；利用基本不等式可知，化简整理可知B正确；在根据，利用不等式的性质，即可判断C正确． 【详解】由题可知，，又，所以 ，D错误； 因为，有．所以A正确； 由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号； 又因为，，所以，故，B正确； 由于，，所以，C正确 13． （2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确 【巩固练习1】（2023广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________ 【答案】 【详解】，当且仅当即时等号成立 【巩固练习2】已知实数满足，则的最小值是________． 【答案】7 【解析】， 当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值为 【巩固练习3】（多选）已知，则实数，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，根据对数函数的性质分析判断，对于C，由已知可得，从而可得，对于D，利用基本不等式判断，对于B，由，得分析判断． 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，所以，所以A正确； 对于C，由，得，所以，所以C错误； 对于D，因为，所以，得，所以D正确； 对于B，因为，所以，所以B错误． 【题型8】利用对勾函数 当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值 14． 当时，的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据对勾函数的单调性求最值. 【详解】设，则， 又由得， 而函数在上是增函数， 因此时，取得最小值 15． 已知函数．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围． 【详解】由得．根据函数的图象及， 则，即，可得，， 令， 根据对勾函数可得在上单调递增，则． 所以的取值范围是 【巩固练习1】函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【答案】2 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【详解】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 【巩固练习2】已知函数，若实数满足，且，则 的取值范围是_______． 【答案】 【分析】 易知 ，注意这里取不到等号，所以， 【巩固练习3】若对任意，恒成立，求实数的取值范围 法一：对勾函数参变分离后结合对勾函数性质 当时，，成立； 当时，由题可得对任意恒成立， 令，则有，， ， 令，，根据对勾函数的性质可得， 所以， 所以当时，， 故实数的取值范围为； 法二：分类讨论 令， ①当时，， 对任意，恒成立； ②当时，函数图象开口向上， 若对任意，恒成立，只需， 解得， 故当时，对任意，恒成立； ③当时，对任意，，， 恒成立； 综上可知，实数的取值范围为． 【题型9】 判断不等式是否能成立 （1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． （2）连续使用不等式要注意取得一致． 16． （多选）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，根据复合函数最值求法求解判断D． 【详解】对于A，，当时，，不符合要求，错误； 对于B，，当且仅当时取等号， 由得显然不成立，所以等号取不到， 即的最小值不是2，错误； 对于C，因为，所以，， 当且仅当时取等号，最小值是2，正确； 对于D，，易知，， 则， 当即或时，有最小值4，即有最小值2，故D正确． 【巩固练习1】下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 【答案】D 【解析】∵可能为负数，如时，，∴A错误； ∵可能为负数，如时，，∴B错误； ∵，如时，，∴C错误； ∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确． 【巩固练习2】（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称命题的真假判断，即可选出真命题． 【详解】解：对于A，恒成立， 则，都有，A选项正确； 对于B，当时，， （当且仅当时取等号）， ，，使得，B选项正确； 对于，当时，，C选项错误； 对于 D，当时，，令， 在上单调递增， ， 则的最小值不是4，D选项错误 【巩固练习3】（多选）下面结论正确的是（        ） A．若，则的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数（）的值域是 D．，且，则的最小值是3 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求最值判断ABD，结合二次函数的性质判断C． 【详解】时，．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2，即的最小值是1， 从而的最大值是，A正确； ，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B错； 时，，， 因为，所以时，，时，， 时，． 所以值域是，C正确； ，且，， ， 则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，D正确． 【题型10】换元法（整体思想） 对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑 整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值. 单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元 双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元 17． （单分母换元）已知，则的最小值是________ A．6 B．8 C．4 D．9 【解题思路】可以设，则有，求的最小值，用乘“1”法即可 【答案】9 【解答过程】解：设，则有， 当且仅当，即a时取等号，所以的最小值是9． 18． （双分母换元）已知正数满足，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】设，则有，求最小值，结合乘1法即可 【解答过程】解：5﹣（）， ∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4， ）（a+1+b+1）（1+4）， 4（当且仅当，即a，b时，等号成立）， 故（1+49，即， 故5﹣（ 19． 已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】x，y为正实数，利用基本不等式求的最小值． 【详解】x，y为正实数，则，当且仅当，即时等号成立．最小值为6 【巩固练习1】已知，其中，，，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】因为，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16 【巩固练习2】已知实数，且，则的最小值是 ． 【答案】24 【解析】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立 【巩固练习3】若，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。 【详解】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为 【巩固练习4】若正实数满足，则最小值为________ 【答案】 【详解】由 ，当且仅当时，等号成立，所以有最小值 【巩固练习5】已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果． 【详解】因为，即， 设，则，且， 原式 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为． 【题型11】基本不等式的实际应用问题 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养． 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数： 若，则（当且仅当时取“=”） 20． 数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知：， 在中，， 所以，即 21． 小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则 ，，， ∴， 【巩固练习1】原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（    ） A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 【答案】B 【解析】分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论． 【详解】设小李这两次加油的油价分别为元升､元升，则： 方案一：两次加油平均价格为， 方案二：两次加油平均价格为， 故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算． 【巩固练习2】《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A．(a＞0，b＞0) B．(a＞0，b＞0，a≠b) C．(a＞0，b＞0) D．(a＞0，b＞0，a≠b) 【答案】D　由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝， 易得DC＝， DE＝． ∵DE＜DC＜DO，∴(a＞0，b＞0，a≠b)． 【巩固练习3】（多选）给出下面四个结论，其中不正确的是（ ） A．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定．则若n次(n≥2)购买同一物品，用第一种策略比较经济 B．若二次函数f(x)＝24ax2＋4x－1(a≠0)在区间(－1，1)内恰有一个零点，则由零点存在定理知，实数a的取值范围是 C．已知函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则3b＋2a的取值范围是 D．设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝x，则△ADP的面积是关于x的函数且最大值为 【答案】B C D 【解析】A选项：设n＝2，两次购买的价格分别为，，数量关系为：单价＝总价÷数量 设第一种策略每次花x元购买物品，则单价为（调和平均数）， 设第二种策略每次买y件物品，则单价为， 易证 ，所以第一种策略比较经济，A正确； B选项：①当时，由零点存在定理 ②当，代入计算可得时，f(x)＝0的根为1和，满足条件；时，f(x)＝0的根为－1和，也满足条件， 当时，即时，可得f(x)的对称轴为，也满足条件 综上，，B错误； C选项：显然0＜a＜1＜b，且ab=1，，然而，所以取不到，则C错误；补充：，取值范围是 D选项：设，则， ，则D错误 【题型12】与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值（和，积，平方和互相转化） 利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 22． （2024·辽宁葫芦岛·二模）若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】，当且仅当时取等号， 因此，即，解得， 所以当时，取得最小值2. 23． （2024·重庆渝中·模拟预测）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 【巩固练习1】已知实数，满足，则的最大值为________ 【答案】 对于选项AB，， 则，当且仅当时等号成立， 故的最大值为 【巩固练习2】（多选题）（2024·高三·海南·期末）已知，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】BD 【解析】对于A，， 因为，， 令，得，解得或，即或， 当且仅当或时，等号成立，故A错误； 对于B，，解得或， 当且仅当或时，等号成立，故B正确； 对于C，， 所以， 当且仅当或时，等号成立，故C错误； 对于D，， 由选项B知，或，所以或， 则或，故D正确. 【巩固练习3】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误； 对于B：因为且，所以， 所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于C：因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于D：由C可知错误 【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 24． 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，因为恒成立，所以， 即，解得，所以实数的取值范围是. 25． 若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】要使有解，则大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范围． 【详解】因为，所以，所以，当时，等号成立，因为，所以此时，所以的最小值为，由题可得，解得或． 【巩固练习1】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 所以 ，当且仅当时取等号， 又因为恒成立， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 【巩固练习2】已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故，， ，，故， 当且仅当，即时取等号，故， 最小值是16，由不等式恒成立可得. a的取值范围是 【巩固练习3】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得满足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后解不等式即可． 【详解】由得， ， 当且仅当时，等号成立， 则使不等式有解，只需满足即可， 解得． 【巩固练习4】若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由， 因为，所以，令， 由，则有， 且 模块二 学有余力·拓展提升 【题型14】消元法 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 26． 已知，，则的最小值为 ． 【解题思路】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 【巩固练习1】若，则的最小值为 4 ． 【解题思路】根据基本不等式即可求解. 【解答过程】由， 故 ，当且仅当时等号成立， 故最小值为4 【巩固练习2】（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据题意可得，利用基本不等式求解. 【解答过程】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为. 【巩固练习3】（2024·重庆·模拟预测）（多选）已知，且，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．的最小值是 E． 【答案】BDE 【分析】对于A项，运用基本不等式将其转化成关于的不等式求解即得；对于B项，直接运用基本不等式将其转化成关于的不等式，再结合不等式性质求解即得；对于CDE项，通过题设求出，代入所求式消元，凑项运用基本不等式即得. 【详解】对于A项，，由可得， 因，故得，则，当且仅当时等号成立，错误； 对于B项，由可得， 因，故得：，当且仅当时等号成立，又， 所以的取值范围是，正确； 对于C和E项，由得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以，故C项错误，E正确； 对于D项，由得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，正确. 【题型15】因式分解型 含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值 27． （重庆巴蜀中学校考）已知，，且，则的最小值是________ 【答案】7 【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解． 【详解】方法一：因为，故，解得， 故，当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立．故选：C． 【巩固练习1】设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由，令，，即可得到， 则，利用基本不等式计算可得． 【详解】解：因为，为正实数，且， 令，，则，则， 当且仅当，即，时取等号 【巩固练习2】若，且，则的最小值为________ 【答案】 【解析】，且，，且 ，，， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为，故选：D． 【巩固练习3】（2024·江苏南京·三模）若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中. 则，从而， 记，则， 不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 模块二 学有余力·拓展提升 【题型16】同除型（构造齐次式） 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 28． 设正实数、、满足，则的最大值为________ A． B． C． D． 【答案】1 【解析】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号． 故的最大值为． 【巩固练习1】已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y²＝1，12x2＋8xy－y2的最小值为________． 【答案】 【解析】 则原式等价于 【巩固练习2】已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，即有且， 将代入得， 令，，， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值，即的最小值是. 【题型17】万能“k”法 求啥设啥，利用一元二次方程有实数根时. 29． （2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 【巩固练习1】若正数，，满足，则的最大值是 . 【答案】 【解析】把式子看作是关于的方程，则问题等价于关于的方程有解，则，即，则问题转化为关于的不等式有解，则，化简得，所以，此时，，符合条件. 【巩固练习2】（重庆巴蜀中学校考）已知实数，满足，则的最小值为________ 【答案】 【详解】令，代入，得， 当且仅当时，成立， 即的最小值为 【巩固练习3】已知正实数x、y满足则xy的取值范围是________ 【答案】 【解析】设， ， 整理得 是正实数，∴△≥0， 即， 整理得， 解得或m≤0(舍去) 【题型18】三角换元法（利用三角函数） 出现平方和结构（）形式，引入三角函数表示和 30． 若x，y满足，则的最大值为________ 【答案】3 【解析】设，因此，其中 ，所以当时，取到最大值3 31． （多选题）若x，y满足，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为（R），由可变形为， ，解得，当且仅当时，， 当且仅当时，，故A正确，B错误； 由可变形为，解得， 当且仅当时取等号，故D正确； 因为变形可得， 设，所以， 因此 ，所以当时，即时， 此时，取到最大值2，故C错误. 【巩固练习1】若x，y满足，则的最大值为________ 【答案】 【解析】设，因此，其中 ，所以当时，取到最大值3 【巩固练习2】已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由条件知令， 则， 令， 则， 当时，，当时，时，， 故当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，取得最大值 【巩固练习3】 【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题 利用基本不等式求最值往往交汇考查，多涉及数列、三角、向量、解析几何、立体几何等问题中有关最值的求法． 32． （2024·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由已知可得为椭圆的焦点， 根据椭圆定义知， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 33． （2024·江西·模拟预测）已知圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用特殊值“1”将化成积为定值的形式，再用基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意可知，圆心在直线上， 则，又因为，， 所以， 当且仅当且即，时取等号， 此时取得最小值． 【巩固练习1】（2024苏锡常镇二模）已知随机变量，且，则的最小值为 A．9 B． C．4 D．6 【答案】B 【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为， 又因为，所以，所以. 当时，， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为. 【巩固练习2】若直线被圆，所截得的弦长为6，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】先求出圆的圆心和半径，根据圆直线被圆，所截得的弦长为6，得到圆心在直线上，即，然后利用基本不等式中的“1”的代换求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，， 因为直线被圆，所截得的弦长为6， 所以圆心在直线上， 所以，即 ， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以则的最小值为 【巩固练习3】已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【解析】当直线的斜率不存在时，可得，从而可得，利用焦点弦公式求出；当直线的斜率存在时，设出直线方程：，将直线方程与抛物线方程联立，可得，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解. 【详解】由题意可知， 当直线的斜率不存在时，可得，所以，即； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程：， 则，整理可得，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 故的最小值为9. 【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 对于，求最大值 可以设，配好系数后的与可以凑出定值 34． 已知为正实数，且，求的最大值 【解析】 【巩固练习1】若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________． 解析　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·2＝3×2． 当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为． 【巩固练习2】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，求的最大值． 【简析】记，则，求最大值 【题型21】多次运用基本不等式 多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致. 35． 已知正实数，，满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【解题思路】先根据基本不等式求出.然后即可根据不等式的性质得出，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，，，. 因为 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，， 当且仅当，即时，两个等号同时成立. 所以，. 【巩固练习1】对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 【巩固练习2】已知正实数、、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得出，利用不等式的性质结合基本不等式可求得的最小值.，，， 由于、、均为正数，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$