精品解析：山西省运城市部分学校2023-2024学年高一下学期5月联合测评数学试题

山西2023～2024学年高一年级5月联合测评 数学试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：必修二第六、七章占30%，第八章占70% 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合复数的四则运算分析求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 3或 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为， 所以，解得或. 故选：C 3. 若直线l∥平面α，直线a⊂α，则（ ） A. l∥a B. l与a异面 C. l与a相交 D. l与a没有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】由线面位置关系结合异面直线的概念可直接得到答案. 【详解】若直线平面α，直线，则或l与a异面，故l与a没有公共点. 故选：D. 4. 已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A. 48 B. 64 C. 80 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】由正四棱锥的体积和高，求出底面边长，再求出正四棱锥的斜高，可求侧面积. 【详解】设该正四棱锥的底面边长为a，则，解得. 设该正四棱锥的斜高为，则， 所以该正四棱锥的侧面积为. 故选：C 5. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（ ） A. AB与HG相交 B. AB与EF平行 C. AB与CD相交 D. EF与CD异面 【答案】D 【解析】 【分析】首先还原正方体，再根据选项判断线线的位置关系. 【详解】由图可知与异面，与异面，与异面，与异面. 故选：D 6. 已知三棱锥中，，，，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设为的中点，中为与所成的角，代入数据求值即可. 【详解】取的中点，连接，，如图， 又为的中点，所以，， 同理可得，， 又，所以，则为与所成的角， 中，，所以与所成的角为. 故选：A. 7. 已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直条件证明得平面，即可得平面平面，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可. 【详解】将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图， 设的中心为，此时为最短距离，设到直线的距离为， 则，所以. 故选：B 8. 如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据正方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 由题知，所以动点的轨迹长度为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用直线与平面的位置关系及其相关定理逐项判定． 【详解】对于A：由线面垂直的判定定理可知，A选项正确． 对于B：当，，时，，有可能异面，故B错误； 对于C：由线面平行的性质定理可知，C选项正确； 对于D：当，时，或，故D错误. 故选：AC． 10. 若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，O为的外心，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 若M是边AC上靠近点A的四等分点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦定理判断A，根据面积公式判断B，由正弦定理及数量积的定义判断C，根据数量积的运算律化简求值判断D. 【详解】由余弦定理得，所以，正确;，正确; 因为为的外心，，所以， 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 所以，错误; 因为，所以， 所以， 所以，D正确. 故选：ABD 11. 如图所示，正四棱台中，，点P在四边形ABCD内，点E是AD上靠近点A的三等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 该正四棱台的高为 C. 若，则动点P的轨迹长度是 D. 过点E的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，利用余弦定理求出，然后勾股定理证，同理证，从而得证；对于B选项，作出四棱台的高为，利用勾股定理即可求解；对于C选项，求出长度，发现为定值，根据圆的定义，确定动点的轨迹为圆，所求轨迹长度为圆与正方形的相交的一段弧长；对于D选项，在棱，上取点，，利用平行作出平面的平面，求三角形的面积即可. 【详解】对于A选项，因为，所以， 由余弦定理可知，，解得， 所以，即，同理可得， 又因为，、平面， 所以平面，故正确； 对于B选项，如图①所示，过点作，垂足为，则四棱台的高为， 因为，，所以， 所以，故B正确； 对于C选项，由勾股定理得， 故点的轨迹为以为圆心，以3为半径的圆在正方形内部的部分，如图②， 其中，故，又， 由勾股定理得，由于， 所以，故， 故动点的轨迹长度是，故C错误； 对于D选项，如图①，分别在棱，上取点，，使得，易得平面平面， 所以即为平面截该四棱台所得截面多边形，易知， 所以，， 所以截面多边形的面积为，故D正确， 图①： 图②： 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中两个角，且角α与角β的两边分别平行，若，则_______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据等角定理即可求解. 【详解】根据等角定理知：或， 若，则或. 故答案为：或. 13. 已知正六边形ABCDEF的边长为4，点P为边DE上的一个动点（含端点），则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设，可得，计算即可. 【详解】建系如图，则，，设， 因为点是边上的一点，则， ，， 则. 故答案为：. 14. 已知正三棱柱的棱长均为2，点M是棱上（不含端点）的一个动点，若点M，A，，C均在球O的球面上，则球O体积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，中点，连接并延长交正方形的外接圆于， 易得平面平面，当最大时球直径最小，求解即可. 【详解】由题意，三棱锥外接球球即四棱锥的外接球， 取中点，中点，连接并延长交正方形的外接圆于， 则， 因为正三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又，是中点，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 根据外接球的性质有外接球的球心在平面中，且为的外接圆圆心， 由对称性，可得当在中点时，最大，此时球直径最小， 此时， 故球的直径，所以， 此时外接球体积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，. （1）求在上的投影向量； （2）若向量与垂直，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，再利用投影向量的意义求解即得. （2）利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求解即得. 【小问1详解】 ， 所以在上的投影向量为. 【小问2详解】 由向量与垂直，得， 整理得，即， 所以. 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，，点M是棱PC的中点. （1）求证：平面平面ABCD； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 连接，交于，连接，则为中点. 因为在中，，分别为，中点，所以. 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于，连接，则为中点.可得，结合已知可得平面，可证结论. （2）根据，可求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，且， 所以. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）已知，D是边BC的中点，且，求AD的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、余弦定理及同角三角函数的基本关系可得得解； （2）由三角形面积公式及余弦定理求出，再由勾股定理得解. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得， 再由余弦定理得，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为是边的中点，所以. 由（1）知，因为，所以， 故，故. 由余弦定理得， 故，因为，所以，. 在中，，， 所以，即的长为. 18. 如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明: 因为，分别为线段，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为，分别为线段，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的定理，转化为证明两组线面平行，即证明两组线线平行； （2）利用等体积转化求点到平面的距离，再根据公式，求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由题知平面，平面，故，故， 因为四边形是菱形，且， 则，所以. 而，故. 设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而，故，故. 故，即与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 设，交于点，连接，则为中点. 在中，，分别为，中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行； （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解； （3）假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，，平面. 所以平面. 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角. 设，则，，故， 所以， 即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 存在点，当时，平面平面. 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接， 因为是正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为底面是正方形，所以. 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上点存在点，当时，平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西2023～2024学年高一年级5月联合测评 数学试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：必修二第六、七章占30%，第八章占70% 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 3或 D. 1或 3. 若直线l∥平面α，直线a⊂α，则（ ） A. l∥a B. l与a异面 C. l与a相交 D. l与a没有公共点 4. 已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A. 48 B. 64 C. 80 D. 144 5. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（ ） A. AB与HG相交 B. AB与EF平行 C. AB与CD相交 D. EF与CD异面 6. 已知三棱锥中，，，，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 10. 若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，O为的外心，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 若M是边AC上靠近点A的四等分点，则 11. 如图所示，正四棱台中，，点P在四边形ABCD内，点E是AD上靠近点A的三等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 该正四棱台的高为 C. 若，则动点P的轨迹长度是 D. 过点E的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中两个角，且角α与角β的两边分别平行，若，则_______. 13. 已知正六边形ABCDEF的边长为4，点P为边DE上的一个动点（含端点），则的取值范围是______. 14. 已知正三棱柱的棱长均为2，点M是棱上（不含端点）的一个动点，若点M，A，，C均在球O的球面上，则球O体积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，. （1）求在上的投影向量； （2）若向量与垂直，求实数的值. 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，，点M是棱PC的中点. （1）求证：平面平面ABCD； （2）求三棱锥的体积. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）已知，D是边BC的中点，且，求AD的长. 18. 如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $