精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024届高三第四次模拟考试文科数学试题

石嘴山三中2024届高三年级四模考试数学（文科）试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为纯虚数，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解即得. 【详解】依题意，，由是纯虚数，得， 所以. 故选：B 2. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】联立与，看方程组的解的个数即可得解. 【详解】联立与，解得或， 所以，即中元素的个数为2. 故选：C. 3. 明代数学家程大位所著的一部应用数学著作《算法统宗》 的卷八中有这样一个问题：“今有物靠壁，一面尖堆，底脚阔一十八个，问共若干？”如图所示的程序框图 给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为该物的总数S，则总数S=（    ） A. 136 B. 153 C. 171 D. 190 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合算法的计算功能，利用等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，该算法的计算功能为的和，其中， 根据等差数列的求和公式，可得， 所以该程序框图的输出结果为. 故选：C. 4. 由不等式组确定的平面区域记为，不等式组，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，不等式组表示的平面区域如图，易求得， 由几何概型公式知，该点落在内的概率为， 故选：D. 考点：不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题. 5. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（  ） A. B. C. －2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知：，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：A. 6. 如下图，在空间四边形中，截面是正方形，则下列命题中，错误的是（ ） A. 平面 B. 截面 C. D. 异面直线与所成的角为 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理，可证得平面，得到A正确；根据，证得平面，再利用线面平行的性质，证得，进而得到截面，可判断B正确；只有当分别为各边的中点时，才能得到，可判定C错误；结合异面直线所成角的定义和求法，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为截面是正方形，可得， 因为平面，平面，所以平面，所以A正确； 对于B中，由，且平面，所以平面， 又由平面，且平面平面，所以， 因为平面，且平面，所以截面，所以B正确； 对于C中，只有当分别为各边的中点时， 可得，才能得到，所以C错误； 因为，所以是异面直线与所成的角， 由是正方形，所以，所以D正确. 故选：C. 7. 若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则取最小值时，n=（    ） A. 4 B. 12 C. 16 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由函数找到定点，得到一个关于的等式，利用它们都是正数，结合代换1思想，最后可用均值不等式来求出最小值. 【详解】由题意得，函数，且的图象所过定点为，则， 又因为，所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 8. 已知向量，则以下说法正确的是（   ） A. B. 方向上的单位向量为 C. 向量在向量上的投影为 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由条件根据向量线性运算坐标公式求，再由向量的模的坐标表示计算，判断A，根据定义单位向量定义和向量的线性运算坐标公式求方向上的单位向量，判断B，根据向量的投影的定义求向量在向量上的投影，判断C，根据向量垂直的坐标表示，判断D. 【详解】对于A：由可得，，所以，A错误； 对于B：因为，所以， 所以方向上的单位向量为，B错误； 对于C, 向量在向量上的投影为，C错误； 对于D：，所以，D正确. 故选：D. 9. 2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（ ） A. 1.587 B. 1.442 C. 0.587 D. 0.442（ ） 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数和对数的运算求解即可. 【详解】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比， 设， 当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为， 则， 两式相比得：，即， 故， 故圆轨道半径增加的倍数大约是. 故选：C. 10. 将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，由在上有2个零点得，解之即可求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得的图象， 由，得， 又在上有2个零点，所以， 解得，即实数的取值范围为. 故选：C 11. 已知函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列命题正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得函数的周期性、对称性，然后逐一分析即可. 【详解】因为是奇函数， 所以，故，， 又因为是偶函数，则， ， 所以，， 所以，即函数的周期为8， 由可得， 由可得， 对于①，，正确； 对于②，，正确； 对于③，，正确； 对于④，，正确； 故选：D. 12. 已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知：，，根据勾股定理结合椭圆定义可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：圆的圆心为点，半径为，， 设椭圆的右焦点为，连接， 因为，可知点为的中点， 且点为的中点，则∥，， 由椭圆定义可知：， 因为为切点，可知，则， 可得，即， 解得，即， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 【点睛】方法点睛：1.椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 2.焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率公式和双曲线的的关系进行求解 【详解】由题知：，双曲线的渐近线方程为 故答案为 【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质 14. 若曲线在处的切线经过点，则实数______． 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】根据导数的几何意义得到切线斜率，然后利用点斜式写出切线方程，最后将点代入切斜方程求解即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为，切点为，则切线方程为， 将点代入切线方程中可得：，解得. 故答案为：. 15. 财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度______米. 【答案】204 【解析】 【分析】根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出的边长关系，解方程求解即可. 【详解】设米，因为在点B处测得点A的仰角为，所以，所以. 因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以米. 由余弦定理，可得， 即，解得. 故答案为：204 16. 已知在直三棱柱中，，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知条件设，，，求出此三棱柱的内切球与外接球的半径，再根据面积公式可得结果. 【详解】因为，，所以可设，，， 设的内切圆的半径为，则，即，解得， 所以要使此三棱柱有内切球，则此三棱柱的高，所以内切球的半径； 因为，所以此直三棱柱的外接球的直径就是以为棱的长方体的对角线，其长为， 所以此直三棱柱的外接球的半径为， 因此此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将直三棱柱的外接球的直径化为长方体的对角线求解是解题关键. 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.) （一）必考题：（共60分） 17. 随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份. （1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由） （2）（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01) （ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件? 参考公式与数据:， ，，其中. 【答案】（1）模型② （2）（i）；（ⅱ）预测12月份的销售量大约是13.9万件 【解析】 【分析】（1）根据散点图结合一次函数以及二次函数图象特征分析判断； （2）（i）令，根据题中数据和公式求回归方程； （ⅱ）令，代入回归方程运算求解即可. 【小问1详解】 由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性， 结合图象故选模型②. 【小问2详解】 （i）令，则， 可得，， 则，， 所以关于的回归方程为， 即关于的回归方程； （ⅱ）令，可得， 预测12月份的销售量大约是13.9万件. 18. 在如图所示的几何体中，，平面，，，，. （1）证明：平面； （2）过点作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积. 【答案】 (1)证明：在中，. 所以，所以为直角三角形，. 又因为平面，所以. 而，所以平面. (2)取的中点，的中点，连接，如图，平面即为所求. 理由如下： 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，从而平面， 同理可证平面. 因为，所以平面平面. 由（1）可知，平面，平面. 因为， ， 所以，所求几何体的体积. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理可证明，利用线面垂直的性质可证明，由线面垂直的判定定理可得平面； （2）取的中点，的中点，连接，截面即为所求，由（1）可知，平面，平面， 由“分割法”利用棱锥的体积公式可得结果. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解. 19. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得出为等比数列，即可求解； （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减得，所以，即， 又因为，所以是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，， 所以数列的前项和为， 可得， 所以， 所以. 20. 在平面直角坐标系中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程 （2）过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上． 【答案】（1） （2） 解法一 设，与联立，消去， 得，则，得， 设，，则，， 设直线，的方程分别为，，，， 则 ， 所以点的纵坐标为，故点的坐标为， 显然点的坐标满足方程，故点在曲线上. 解法二 设，因为直线过点，所以， 由，得． 设，，直线，的方程分别为，，，， 则，是上面关于的方程的两根， 即直线，的斜率，是关于的方程的两根， 所以，从而， 所以点的纵坐标为，故点的坐标为， 显然点的坐标满足方程，故点在曲线上． 【解析】 【分析】（1）解法一：设，，则．易知不符合题意，当时利用垂直直线斜率之积为-1计算即可求解； 解法二：在射线上另取一点使，根据全等三角形的性质可得，结合抛物线的定义即可求解； （2）解法一：设l方程，联立抛物线方程，设，，，，利用韦达定理表示，进而对化简计算求出G，即可证明. 解法二：设l方程，联立抛物线方程得，则，是该方程的两根，从而，即可求解. 【小问1详解】 解法一 设，，则． 由点在轴上，得，则，， 因为，若，则，点，重合，不合题意； 若，则，即． 所以曲线的方程是． 解法二 在射线上另取一点，使，连接， 又，所以点在直线上， 易知≌，所以垂直于直线， 连接，则，显然点不能在轴上，即， 故由抛物线的定义知，曲线的方程是． 【小问2详解】 略 【点睛】易错点点睛：本题考查了抛物线方程的求法以及直线和抛物线位置关系的应用，易错点在于运算基本都是字母参数的运算，要特别注意，很容易出现计算错误. 21. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解； （2）由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解. 【小问1详解】 的定义域为， ∵在上单调递增， ∴在上恒成立，即在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立， ∴； 【小问2详解】 由题意， ∵有两个极值点， ∴为方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，，                ∵，∴， 又，解得， ∴ ， 设（）， 则， ∴在上单调递减， 又，， ∴， 即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（2）问中，由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解. （二）选考题（10分） 请考生在第22、23两题中任选一题作答．考生只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 【选修4-4，坐标系与参数方程】 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上且满足，点的轨迹为. （1）求曲线，的极坐标方程； （2）设点的极坐标为，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先求得的普通方程为，进而可得极坐标方程，设点的极坐标为，点的极坐标为，可得，可求曲线的极坐标方程为; （2）利用可求最小值. 【小问1详解】 由曲线的参数方程为(为参数)， 消去参数，可得普通方程为,即， 将代入可得曲线的极坐标方程为， 设点的极坐标为，点的极坐标为， 因为，又，,所以， 所以，所以曲线的极坐标方程为; 【小问2详解】 由题意，， 由图可得 ， 当时，可得的最小值为. 【选修4-5，坐标系与参数方程】 23. 已知，且． （1）求的最小值； （2）当时，不等式恒成立，求实数c的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）解法一利用换元法结合二次函数求出最值；解法二由柯西不等式求出最值； （2）解法一应用绝对值三角不等式和基本不等式；解法二应用绝对值三角不等式和柯西不等式证明即可. 【小问1详解】 解法一 因为，，且，所以，， 所以， 当时，取得最小值2． 解法二 由柯西不等式得， 所以，当且仅当， 即，时取等号，故的最小值为2． 【小问2详解】 解法一 ， 当且仅当时等号成立， 故不等式恒成立， 即， 由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立， 所以，所以，解得或， 故实数c的取值范围是． 解法二 ， 当且仅当时等号成立， 故不等式恒成立， 即， 由柯西不等式得， 即， 当且仅当，时取等号，所以，解得或， 故实数c的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山三中2024届高三年级四模考试数学（文科）试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为纯虚数，则（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 3. 明代数学家程大位所著的一部应用数学著作《算法统宗》 的卷八中有这样一个问题：“今有物靠壁，一面尖堆，底脚阔一十八个，问共若干？”如图所示的程序框图 给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为该物的总数S，则总数S=（    ） A. 136 B. 153 C. 171 D. 190 4. 由不等式组确定的平面区域记为，不等式组，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（  ） A. B. C. －2 D. 2 6. 如下图，在空间四边形中，截面是正方形，则下列命题中，错误的是（ ） A. 平面 B. 截面 C. D. 异面直线与所成的角为 7. 若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则取最小值时，n=（    ） A. 4 B. 12 C. 16 D. 6 8. 已知向量，则以下说法正确的是（   ） A. B. 方向上的单位向量为 C. 向量在向量上的投影为 D. 若，则 9. 2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（ ） A. 1.587 B. 1.442 C. 0.587 D. 0.442（ ） 10. 将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列命题正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 14. 若曲线在处的切线经过点，则实数______． 15. 财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度______米. 16. 已知在直三棱柱中，，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为______． 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.) （一）必考题：（共60分） 17. 随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份. （1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由） （2）（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01) （ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件? 参考公式与数据:， ，，其中. 18. 在如图所示的几何体中，，平面，，，，. （1）证明：平面； （2）过点作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积. 19. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 20. 在平面直角坐标系中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程 （2）过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上． 21. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. （二）选考题（10分） 请考生在第22、23两题中任选一题作答．考生只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 【选修4-4，坐标系与参数方程】 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上且满足，点的轨迹为. （1）求曲线，的极坐标方程； （2）设点的极坐标为，求面积的最小值. 【选修4-5，坐标系与参数方程】 23. 已知，且． （1）求的最小值； （2）当时，不等式恒成立，求实数c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $