2023-2024学年人教版八年级数学下期末培优专题复习专题二十 一次函数与几何图形综合分类探究（三）

2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 专题二十 一次函数与几何图形综合分类探究（三） 类型一、一次函数与线段的最值 一动一定型 动点所在的直线已知型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 将军饮马型 线段和的最值问题利用轴对称转化为依据两点之间线段最短 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 例1 .如图1，已知一次函数图象t1分别与x，y轴交于点A（3，0），B（0，2）两点． （1）求该一次函数解析式； （2）点P是正比例函数y＝x图象与该一次函数图象l1的交点，x轴上有一动点Q，求PQ+QB的最小值及此时点Q的坐标 变式训练1 1．已知直线l1：y=kx+b与直线l2：y=-x+m都经过C（-，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法： ①方程组的解为； ②△BCD为直角三角形； ③S△ABD=6； ④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）． 其中正确的说法是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 2．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴正半轴上，且．． （1）求AB； （2）在y轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出的最小值； （3）在x轴上是否存在一点M，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y=-x+5与x轴，y轴分别交于A，B两点．直线l2：y=-4x+b与l1交于点D（-3，8）且与x轴，y轴分别交于C，E． （1）求出点A坐标，直线l2解析式； （2）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点Q从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D停止，求点Q在整个运动过程中所用最少时间时点P的坐标； （3）如图3，平面直角坐标系中有一点G（m,2），使得S△CEG=S△CEB，求点G坐标． 类型二、一次函数与图形周长的最值 周长最短问题转化成线段和的最值问题 例2. 如图所示，已知点，，，，过、两点的直线的函数表达式为，动点从现在的位置出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向上移动，设移动时间为． (1)若直线随点向上平移，则： ①当时，求直线的函数表达式． ②当点，位于直线的异侧时，确定的取值范围． (2)当点移动到某一位置时，的周长最小，试确定的值． 变式训练2 1.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点． （1）求线段CD的长； （2）若E为边OA上的一个动点，求△CDE周长的最小值及此时E点的坐标 2. 如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）． （1）求k、b和m的值； （2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图，、分别是轴、轴正半轴上两点，线段轴，，且∶，，、分别是线段、上动点，． 点从点出发，以的速度向终点点运动；点从点同时出发，以的速度向终点运动（、两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）．    (1)若、出发秒后，请用关于的式子表示四边形的面积； (2)若经过秒使得，求的值； (3)如图，点是线段中点，是线段上另一动点（位于点左边），且线段在移动过程中始终保持长度为不变，请探究并直接写出四边形周长的最小值． 类型三、 一次函数与相等角、二倍角 解题策略 将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。 两种类型：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；另一种是所求角的边不与坐标轴平行。 例3 .如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C、与x轴交于点B，直线与y轴交于点，与直线交于点．    (1)如图（1）求直线的解析式； (2)如图（2）点P是直线上的一点，点P的横坐标是t，求的面积S与t的函数关系式； (3)如图（3）在（2）的条件下，将射线绕着点C顺时针旋转与射线交于点Q，当点P在线段上，连接，若，求点P的坐标． 变式训练3 1．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为_____． 2．平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A，直线BC与直线y=-x交于点E（-4，4）． （1）直接写出直线AB关于x轴对称的直线BC的解析式_____； （2）如图1，点P为y轴上一点，PE=PB，求P点坐标； （3）如图2，点P为y轴上一点，∠OEB=∠PEA，直线EP与直线AB交于点M，求M点的坐标． 3 .如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 类型四、一次函数与特殊角 解题策略 （1） 遇45°构造等腰直角三角形； （2）遇30°，60°构造等边三角形； （3）遇90°构造直角三角形。 例4. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 变式训练4 1．直线交轴于点，交轴于点． （1）如图1，若，则点坐标为______，点坐标为______； （2）如图2，若直线：交于点，点的横坐标为，求的值； （3）当时，若点为轴上的一点，，求点坐标． 2.（1）基本图形的认识： 如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接，，求证：等腰直角三角形． （2）基本图形的构造： 如图2，在平面直角坐标系中，，连接，过点在第一象限内作的垂线，并在垂线截取，求直线表达式和点的坐标； （3）基本图形的应用： 如图3，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线交轴于点，且，则点的坐标为 ．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 专题二十 一次函数与几何图形综合分类探究（三）（解析版） 类型一、一次函数与线段的最值 一动一定型 动点所在的直线已知型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 将军饮马型 线段和的最值问题利用轴对称转化为依据两点之间线段最短 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 例1 .如图1，已知一次函数图象t1分别与x，y轴交于点A（3，0），B（0，2）两点． （1）求该一次函数解析式； （2）点P是正比例函数y＝x图象与该一次函数图象l1的交点，x轴上有一动点Q，求PQ+QB的最小值及此时点Q的坐标 【详解】：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b 将A（3，0），B（0，2）代入上式，得 解得 ∴ （2）联立方程 解得 ∴P（2，） 当x＝0时，＝2 ∴B（0，2） 如图，作点B关于x轴对称点B1（0，﹣2），连接PB1交x轴于Q，连接BQ ∴QB＝QB1 ∴PQ+QB＝PQ+QB1＝PB1 即PB1 为PQ+QB最小值 ∵B1（0，﹣2），P（2，） ∴由勾股定理，得PB1＝ ∴PQ+QB最小值为 设直PB1的解析式为y＝mx+n 将B1（0，﹣2），P（2，）代入上式，得n＝﹣2，2m+n＝ 解得m＝ ∴直线PB1解析式为 当＝0时，得x＝ ∴ 变式训练1 1．已知直线l1：y=kx+b与直线l2：y=-x+m都经过C（-，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法： ①方程组的解为； ②△BCD为直角三角形； ③S△ABD=6； ④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）． 其中正确的说法是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为-1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）． 解：①∵直线l1：y=kx+b与直线l2：y=-x+m都经过C（-，）， ∴方程组的解为， 故①正确，符合题意； ②把B（0，4），C（-，）代入直线l1：y=kx+b,可得，解得， ∴直线l1：y=2x+4， 又∵直线l2：y=-x+m, ∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD=90°， ∴△BCD为直角三角形， 故②正确，符合题意； ③把C（-，）代入直线l2：y=-x+m,可得m=1， y=-x+1中，令x=0，则y=1， ∴D（0，1）， ∴BD=4-1=3， 在直线l1：y=2x+4中，令y=0，则x=-2， ∴A（-2，0）， ∴AO=2， ∴S△ABD=×3×2=3， 故③错误，不符合题意； ④点A关于y轴对称的点为A'（2，0）， 由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y=-x+1， 令x=0，则y=1， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）， 故④正确，符合题意； 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴正半轴上，且．． （1）求AB； （2）在y轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出的最小值； （3）在x轴上是否存在一点M，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标． 【答案】（1）5 （2） （3）（8，0）、（-2，0）或（-3，0）． 【解析】（1）根据题意求出a、b的值，运用勾股定理可求AB的值； （2）首先求出点D的坐标，再作点B关于y轴的对称点连接，求解即可； （3）根据AB是腰分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴a=4，b=3 ∴OA=4，OB=3 根据勾股定理可得 ∴ 所以AB长度为5． 【小问2详解】 解：存在点P，使得PB+PD最小值为 如图；过点D作轴，交y轴于点E，作点B关于y轴的对称点连接，过点D作轴于点F， ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴OB=AE=3，OA=DE=4 ∴点D坐标为（4，7） ∵，DF=7 根据勾股定理可得 ∴ ∴PB+PD最小值为． 【小问3详解】 解：当AB=AM时，点M坐标为（-3，0） 当BA=BM时，点M坐标为（8，0）、（-2，0） ∴使以AB为等腰三角形的点M的坐标为（8 ，0）、（-2，0）或（-3，0）． 【点睛】本题是一次函数的综合应用，解题的关键是掌握勾股定理、对称求线段和最小、等腰三角形的判定． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y=-x+5与x轴，y轴分别交于A，B两点．直线l2：y=-4x+b与l1交于点D（-3，8）且与x轴，y轴分别交于C，E． （1）求出点A坐标，直线l2解析式； （2）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点Q从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D停止，求点Q在整个运动过程中所用最少时间时点P的坐标； （3）如图3，平面直角坐标系中有一点G（m,2），使得S△CEG=S△CEB，求点G坐标． 【解析】（1）点A、B的坐标分别为：（5，0）、（0，5），将点D的坐标代入y=-4x+b并解得：b=-4，即可求解； （2）过点D作x轴的平行线l,过点C作CH⊥l交于点H，CH交直线l1于点P，则点P为所求，即可求解； （3）过点B作直线CE的平行线r,直线r于直线y=2交于点G，则点G为所求，即可求解． 解：（1）y=-x+5与x轴，y轴分别交于A，B两点， 则点A、B的坐标分别为：（5，0）、（0，5）， 将点D的坐标代入y=-4x+b并解得：b=-4， 故直线l2：y=-4x-4； （2）直线l2：y=-4x-4，则点C（-1，0）， 直线l1：y=-x+5，则直线l1的倾斜角为45°， 过点D作x轴的平行线l,过点C作CH⊥l交于点H，CH交直线l1于点P，则点P为所求， t=+=PC+PD=PC+PH=CH， 直线l：y=8，则点P的横坐标为：-1， 则点P（-1，6）； （3）①点G在CE的右侧时， 过点B作直线CE的平行线r,直线r于直线y=2交于点G，则点G为所求， 此时S△CEG=S△CEB，理由：平行线间的距离相等，两个三角形属于同底等高，故面积相等． 则直线r的表达式为：y=-4x+5， 当y=2时，x==m, 故点G（，2）， ②点G在CE的左侧时， 同理可得：点G（-，2）； 故点G的坐标为：G（，2）或（-，2）． 类型二、一次函数与图形周长的最值 周长最短问题转化成线段和的最值问题 例2. 如图所示，已知点，，，，过、两点的直线的函数表达式为，动点从现在的位置出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向上移动，设移动时间为． (1)若直线随点向上平移，则： ①当时，求直线的函数表达式． ②当点，位于直线的异侧时，确定的取值范围． (2)当点移动到某一位置时，的周长最小，试确定的值． 【答案】(1)①；② (2)秒 【分析】（1）①设平移后的函数表达式为，其中，即可求解； ②当直线过点时，将点的坐标代入可得；当直线过点时可得，即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点为所求点，即可求解． 【详解】（1）解：（1）①∵过、两点的直线的函数表达式为，，， 动点从现在的位置出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向上移动，设移动时间为，设平移后的函数表达式为， 当时，， ∴此时， ∴， ∴， 当时，直线的函数表达式为； ②当直线：过点时， 得：， 解得：， 当直线：过点时， 得：， 解得：， ∴当点，位于直线的异侧时，的取值范围为； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴，， ∴的周长：， 此为的周长的最小值， 则点即为所求点， 设直线的表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴的值为秒． 【点睛】本题是一次函数综合运用，本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数图像与坐标轴的交点坐标，点的对称性及图形的平移等，正确理解题意并掌握一次函数的性质是解题的关键． 变式训练2 1.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点． （1）求线段CD的长； （2）若E为边OA上的一个动点，求△CDE周长的最小值及此时E点的坐标 【详解】：（1）在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D为OB中点 ∴BC＝OA＝3，BD＝OB＝2 ∴CD＝ （2）△CDE周长＝DE+CE+ ∴DE+CE当最小时，△CDE周长取得最小值 ∵BD＝2，BC＝3，OB＝4 ∴D（0，2），C（3，4） 如图，作D（0，2）关于x轴的对称点D′（0，﹣2） 连CD′与x轴交于E，接DE ∴DE＝D′E ∴DE+CE＝D′E+CE＝CD′ 即CD′为DE+CE最小值 易知D′O＝DO＝2 ∴D′B＝2+4＝6 ∴D′C＝ ∴△CDE周长的最小值为 设直线CD′的函数解析式是y＝ax+c（a≠0） 将C（3，4）和D′（0，﹣2）代入上式，得3a+c＝4，c＝﹣2 解得a＝2 ∴直线CD′的函数解析式是y＝2x﹣2 令y＝2x﹣2＝0，得x＝1 ∴E（1，0） 2. 如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）． （1）求k、b和m的值； （2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】：（1）将B（﹣1，5）代入直线l2：y＝﹣x+b，得1+b＝5 ∴b＝4 ∴直线l2：y＝﹣x+4 将点C（2，m）代入y＝﹣x+4，得 m＝﹣2+4＝2 ∴C（2，2） 把C（2，2）代入y＝kx+1，得2k+1＝2 解得k＝ （2）作点C（2，2）关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接BC′交x轴于E，连接EC，此时△BCE的周长最小 设直线BC′的函数解析式是y＝ax+c（a≠0） 将C′（2，﹣2）和B（﹣1，5）代入上式，得 2a+c＝﹣2，﹣a+c＝5 解得a＝﹣，c＝ ∴y＝﹣x+ 令y＝﹣x+＝0 解得x＝ 则E的坐标是（，0） 3.如图，、分别是轴、轴正半轴上两点，线段轴，，且∶，，、分别是线段、上动点，． 点从点出发，以的速度向终点点运动；点从点同时出发，以的速度向终点运动（、两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）．    (1)若、出发秒后，请用关于的式子表示四边形的面积； (2)若经过秒使得，求的值； (3)如图，点是线段中点，是线段上另一动点（位于点左边），且线段在移动过程中始终保持长度为不变，请探究并直接写出四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意可知：，，，然后根据梯形面积公式列式即可； （2）分两种情况讨论：当四边形是平行四边形时，当四边形是等腰梯形时，，如图，过点，作，于点，，然后列方程求出的值即可； （3）如图，在上取点使，过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点，得是梯形的中位线，当最小时，四边形周长最小，根据两点之间线投最短，当点，，共线时，设与轴交于点，即在时，此时最小，进而可得四边形周长的最小值． 【详解】（1）解：， ， ∵， ， 由题意可知：，， ， 四边形的面积； （2）当四边形是平行四边形时，， ， ， 解得； 当四边形是等腰梯形时，，如图，过点，作，于点，， 则，，    ， ， ， 解得， 综上所述：的值为或； （3）如图，在上取点使， 过点作于点，作点关于的对称点，连接、，交点，    轴， ， ， 点是线段中点， 点是线段中点， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是梯形的中位线， ， ， ∴ 在中，根据勾股定理得：， 四边形周长， 当最小时，四边形周长最小， ∵ 根据两点之间线投最短，当点，，共线时，设与轴交于点， ∴ 即在时，此时最小， 四边形周长最小值． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰梯形的性质，梯形中位线定理，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，关键是利用分类讨论思想解决问题． 类型三、 一次函数与相等角、二倍角 解题策略 将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。 两种类型：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；另一种是所求角的边不与坐标轴平行。 例3 .如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C、与x轴交于点B，直线与y轴交于点，与直线交于点．    (1)如图（1）求直线的解析式； (2)如图（2）点P是直线上的一点，点P的横坐标是t，求的面积S与t的函数关系式； (3)如图（3）在（2）的条件下，将射线绕着点C顺时针旋转与射线交于点Q，当点P在线段上，连接，若，求点P的坐标． 【答案】(1)直线解析式为 (2)与t的函数关系式为：或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用三角形的面积公式求解即可； （3）过点作，交直线于，过作轴于，求直线解析式，联立直线解析式得出坐标． 【详解】（1）点，在直线上， ，， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为； （2）过P点作轴， 当时，， ， ， 当时，，， 当时，，， 与t的函数关系式为：或； （3）过点B作，交直线于E，过E作轴于F， 可证， 在和中， ， ，， 直线解析式可求为：， ， 解得， ， 点Q与点E重合， 过点Q作轴，过P作轴， ，， ， 故为等腰直角三角形， ， ， ；    【点睛】本题考查了一次函数，待定系数法求解一次函数解析式，三角形面积公式，解题的关键是掌握一次函数性质． 变式训练3 1．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为_____． 【答案】（4，8）或（-12，-8） 【解析】分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a,a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC=BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标． 解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE， ∵∠EAB=∠ABO， ∴AE∥OB， ∵A（0，8）， ∴E点纵坐标为8， 又E点在直线y=x+4上，把y=8代入可求得x=4， ∴E点坐标为（4，8）； 当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2， 设E点坐标为（a,a+4），设直线AE的解析式为y=kx+b, 把A、E坐标代入可得，解得， ∴直线AE的解析式为y=x+8，令y=0可得x+8=0，解得x=， ∴C点坐标为（，0）， ∴AC2=OC2+OA2，即AC2=（）2+82， ∵B（4，0）， ∴BC2=（4-）2=（）2-+16， ∵∠EAB=∠ABO， ∴AC=BC， ∴AC2=BC2，即（）2+82=（）2-+16， 解得a=-12，则a+4=-8， ∴E点坐标为（-12，-8）． 方法二：设C（m,0）， ∵∠CAB=∠CBA， ∴AC=BC， ∴（4-m）2=m2+82， 解得m=-6， ∴直线AE的解析式为y=x+8， 由，解得． ∴E（-12，-8）． 综上可知，E点坐标为（4，8）或（-12，-8）． 故答案为：（4，8）或（-12，-8）． 2．平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A，直线BC与直线y=-x交于点E（-4，4）． （1）直接写出直线AB关于x轴对称的直线BC的解析式_____； （2）如图1，点P为y轴上一点，PE=PB，求P点坐标； （3）如图2，点P为y轴上一点，∠OEB=∠PEA，直线EP与直线AB交于点M，求M点的坐标． 【答案】y=-2x-4 【解析】（1）由轴对称的性质得出点C的坐标，则可得出答案； （2）求出点E的坐标为（-4，4），设OP=a,AP=4-a,由勾股定理得出4+a2=16+（4-a）2，解得a=3.5．则可得出答案； （3）分两种情况：当点P在点A的下方或P点在A点的上方，求出直线EP的解析式，解方程组可求出答案． 解：（1）∵直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A． ∴A（0，4），B（-2，0）， ∵直线AB与直线BC关于x轴对称， ∴C（0，-4）， 设直线BC的解析式为y=kx+b, ∴， 解得，， ∴直线BC的解析式为y=-2x-4． 故答案为：y=-2x-4． （2）∵E（-4，4）， ∴AE⊥AO， 设OP=a,AP=4-a, 在Rt△BOP和Rt△EAP中， BP2=4+a2，PE2=16+（4-a）2， ∵PE=PB， ∴4+a2=16+（4-a）2， 解得a=3.5． ∴P（0，3.5）． （3）①如图，当点P在点A的下方， ∵∠OEB=∠PEA，∠AEO=45°， ∴∠PEB=45°， 过点B作BN⊥BE交直线EP于点N，过点N作NQ⊥OB于Q，过点E作EH⊥OB于点H， ∴△EBN为等腰直角三角形， ∴EB=BN， ∵∠BEH+∠EBH=90°，∠EBH+∠NBQ=90°， ∴∠BEH=∠NBQ， 又∵∠EHB=∠BQN=90°， ∴△EHB≌△BQN（AAS）， ∴NQ=BH=2，BQ=EH=4， ∴N（2，2）， 设直线EN的解析式为y=kx+b, 由， 解得， ∴直线EN的解析式为y=-x+，OP=， ∴PA=4-=， 由， 解得， 即M（-，）； ②P点在A点的上方， 由①知，PA=， ∴OP=OA+PA=4+=， 设直线EP的解析式为y=mx+， ∵E（-4，4）， ∴-4m+=4， 解得m=， ∴直线EP的解析式为y=x+， 由， 解得， ∴M（，）． 综合以上可得点M的坐标为（-，）或（，）． 3 .如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． （1）解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点A的坐标，把代入中，求得点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （2）设，则，则，，由等腰得到，即，求解即可解答； （3）分两种情况：①若点M在点E的下方．过点B作与AM的延长线交于点N．证明是等腰直角三角形，得到．过点N作轴于点F，过点A作轴于点G．易证，得到，，进而得到．通过待定系数法求出直线的解析式，令，即可取得点M的坐标．②若点M在点E的上方，根据对称性即可求解． 【详解】（1）解方程组，得． ∴点A的坐标为． 把代入得， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴； （2）存在． 如图， 设，则． ∴． ∵轴． ∴． ∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）或． 分两种情况： ①若点M在点E的下方， 如图，过点B作与AM的延长线交于点N． ∵，轴， ∴，， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点N作轴于点F，过点A作轴于点G． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∵，． ∴，． ∴． ∴． 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 令，得． ∴点M的坐标为． ②若点M在点E的上方， 如图， 由对称性可知． 综上所述：或． 类型四、一次函数与特殊角 解题策略 （1） 遇45°构造等腰直角三角形； （2）遇30°，60°构造等边三角形； （3）遇90°构造直角三角形。 例4. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）由题知，设，则． 在中，， 即：， ， ∴， 又， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3），，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立解得：， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立解得：， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． 变式训练4 1．直线交轴于点，交轴于点． （1）如图1，若，则点坐标为______，点坐标为______； （2）如图2，若直线：交于点，点的横坐标为，求的值； （3）当时，若点为轴上的一点，，求点坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】分析】（1）将，，分别代入求解即可； （2）求得、坐标，过点作轴，交轴于点，交于点，即点的纵坐标与点相同，可求得的横坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，通过证明，将转化成求解即可； （3）过点作于点，由已知可得是等腰直角三角形，则，过点作轴于点，过点作于点，设，，画出点在点的左侧或右侧的图形，分类讨论，得到与的等量关系建立方程组，求得的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，令即可求解． 【小问1详解】 解：当，时，则， ， 当，时，则， 解得：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交轴于点，交于点；过点作轴于点，过点作轴于点， ， 时， 解得：， ， 点横坐标为，且在直线上， ， ， 当时， 解得：， ， ，， 垂直平分， ， ， 解得：， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ，，， ，， ； 【小问3详解】 解：过点作于点，过点作轴于点，过点作于点， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， 设，， 由（1）知当时，，， ，， ①如图，当点在点左侧时，在第二象限， ，， ， 解得：， ， 设直线解析式为， ， 解得：， 直线解析式为， 当时，解得， ， ②如图，当点在点右侧时，在第一象限， ，， ， 解得：， ， 设直线解析式为， ， 解得：， 直线解析式为， 当时，解得， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，垂线段最短定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，两点间的距离公式，第（2）题中把要求线段的端点通过计算坐标发现其特殊性是解题的关键，第（3）题中由联想到作垂线段构造等腰直角三角形是解题的关键． 2.（1）基本图形的认识： 如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接，，求证：等腰直角三角形． （2）基本图形的构造： 如图2，在平面直角坐标系中，，连接，过点在第一象限内作的垂线，并在垂线截取，求直线表达式和点的坐标； （3）基本图形的应用： 如图3，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线交轴于点，且，则点的坐标为 ．    【答案】（1）见解析；（2），点的坐标为；（3）． 【分析】（1）证明（），由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）利用待定系数法可求得直线表达式，过点作轴于点，证明，从而得到、，则可得到点的坐标； （3）过点作，交于点，过点作，交于点，由一次函数解析式求出，，证明（），由全等三角形的性质得出，，求出点坐标，求出直线的解析式，则可得出答案． 【详解】（1）证明：在和中， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； （2）解：设直线为，过点作轴于点，如图，    ∵过， ∴， 解得， ∴直线为， ∵， ∴． ∴， ∴−−−． 在和中， ∵， ∴（）， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：如图，过点作，交于点，过点作，交于点，    把代入中，得， ∴点的坐标为， ∴， 把代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$