精品解析：广东省江门市新会第一中学等2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

2023-2024学年度第二学期5月联考 高二数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数在处的导数等于2，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 2 若随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.3 3. 《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场.某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的4位同学相约一起去看电影，每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 二项式展开式的常数项为（ ） A. B. C. 21 D. 35 5. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量均值与方差，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列选项正确的有（ ） A B. C. D. 10. 为促进学校发展，2023年中山市烟洲中学、珠海市斗门一中、江门市新会一中、顺德华侨中学四校组成“和美联盟”.烟洲中学决定派甲、乙、丙、丁四个老师去另外三所学校交流学习，每名老师只能去一个学校，则下列说法正确的是（ ） A. 若三所学校都有人去，则共有36种不同的安排方法 B. 若三所学校都有人去，且甲乙去同一个学校，则共有6种不同的安排方法 C. 若甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，则共有12种不同的安排方法 D. 若甲、乙、丙、丁四个老师交流学习完后，烟洲中学计划再追加派遣学习教师名额12个，且每所学校至少再追加分配3个名额，则名额追加分配的方式共有10种 11. 已知函数为实数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，则与有相同的极值点和极值 B. 存在，使与的零点同时为2个 C. 当时，对恒成立 D. 若函数在上单调递减，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 13. 函数，，若对任意的，，使得成立，则实数的范围是______________． 14. “三门问题”（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题､蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提･霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是______（填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值. 16. 广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数） （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，， ②参考数据：，，，. 17. 甲､乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）分别求甲､乙两人正确完成面试题数分布列； （2）请从均值和方差的角度分析比较甲､乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 18. 篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响. （1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率； （2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求： ①设事件表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含的式子表示） ②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？ 19 已知函数，. （1）若，求函数的极值； （2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值； （3）当时，函数恰有两个不同的零点，，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期5月联考 高二数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数在处的导数等于2，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义式化简求值即可. 【详解】由已知得. 故选：A 2. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.3 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性和题设先求出，再求即可. 【详解】因随机变量，由正态分布曲线的对称性可知：， 因为，可得， 而区间与区间关于直线对称，故， 所以. 故选：C. 3. 《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场.某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的4位同学相约一起去看电影，每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理可得. 【详解】依题意，每个人选择方案有3种，所以5个人不同的选择方案有种. 故选：A 4. 二项式展开式的常数项为（ ） A. B. C. 21 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项，确定常数项是第几项，再代入求得常数项的值. 【详解】二项式展开式的通项为 令，解得， 所以二项式展开式的常数项为． 故选：A． 5. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果. 【详解】随机变量服从两点分布，其中，所以， 所以， 对于A，，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C不符合题意； 对于D，，故D符合题意. 故选：D. 6. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据凸函数的定义，分别对各选项求二阶导，然后判断是否小于0，从而得到符合题意选项． 【详解】对于A， 当时，恒成立，故A为凸函数； 对于B，对于，，， 当时，恒成立，故B为凸函数； 对于C，对于，，， 当时，恒成立，故C不是凸函数. 对于D，由，得，所以， 因为，所以恒成立，故D为凸函数； 故选：C 7. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可 【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法， 事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法； 若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理， 若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以， 因为，事件A与B不相互独立故A错误； 对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误； 对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件得到，，从而得到，，即可得出，构造函数，利用函数的单调性，即可判断出，从而得出结果. 详解】由，得到，又，所以， 所以，，又， 所以，又，得到， 令，则，所以， 得到， 令，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递减， 又，当时，， 得到在区间上恒成立， 所以在区间上单调递减， 又，所以，得到， 故选：A. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于判断的大小，通过构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得函数的单调性，即可求出结果. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】原式可化为，则其展开式的通项公式为，然后利用赋值法求解即可 【详解】解：由，得 ，则 其展开式的通项公式为， 对于A，令，则，所以A错误， 对于B，令，则，所以B正确； 对于C，在中令，则，所以C错误； 对于D，，所以D正确， 故选：BD 10. 为促进学校发展，2023年中山市烟洲中学、珠海市斗门一中、江门市新会一中、顺德华侨中学四校组成“和美联盟”.烟洲中学决定派甲、乙、丙、丁四个老师去另外三所学校交流学习，每名老师只能去一个学校，则下列说法正确的是（ ） A. 若三所学校都有人去，则共有36种不同的安排方法 B. 若三所学校都有人去，且甲乙去同一个学校，则共有6种不同的安排方法 C. 若甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，则共有12种不同的安排方法 D. 若甲、乙、丙、丁四个老师交流学习完后，烟洲中学计划再追加派遣学习教师名额12个，且每所学校至少再追加分配3个名额，则名额追加分配的方式共有10种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先分组再分配可得；对于B，先排甲乙，再排丙丁，由分步乘法计数原理可得；对于C，分甲乙同组和甲乙不同组两种情况，当甲乙不同组时，先分组再分配即可；对于D，先每个学校分2个名额，然后使用隔板法将6个名额分成3份即可. 【详解】对于A，将4个老师分成3组共有种，再将3组分配到3所学校有种， 所以，共有种不同的安排方法，故A正确； 对于B，先排甲乙有种，再排丙丁有种， 所以，共有不同的安排方法，故B正确； 对于C，当甲乙同组时有种排法； 当甲乙不同组时，将4个老师分成3组共有种， 若甲去新会一中，则有种，若甲不去新会一中，则有1种， 所以甲乙不同组时，共有种. 综上，甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，共有种安排，C错误； 对于D，若又计划向这三所学校追加12个交换教师名额，且每校至少3个， 先每个学校分2个名额，然后使用隔板法将6个名额分成3份，且隔板不相邻，不两端， 则共有种不同的安排方法，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数为实数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，则与有相同的极值点和极值 B. 存在，使与的零点同时为2个 C. 当时，对恒成立 D. 若函数在上单调递减，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，分别各自求导，结合导数与函数极值的关系即可判断；对于B，分别求出与的零点为2个时的范围，看它们的交集是否为空集即可判断；对于C，构造函数，求导，对分类讨论，只需判断是否成立即可；对于D，原问题等价于对恒成立，从而即可进一步求解. 【详解】对于A，当时， ， 当时，有，此时均单调递减， 当时，有，此时均单调递增， 所以当时，均各自取到相应的极值，且， 所以当时，则与有相同的极值点和极值，故A正确； ， 令， ，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，当，， 当时，有极大值，， 在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示， 所以方程有两个根当且仅当， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 当从1的左边趋于1时，趋于正无穷，当从1的右边趋于1时，趋于负无穷， 当时，，单调递增， 令，则，，当时，， 当时，有极小值，， 在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示， 方程有两个根当且仅当， 综上所述，不存在，使与的零点同时为2个，故B错误； 设， ， ， 当时，显然， 若，即，在此情况下： 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ， 即在的情况下，对恒成立， 若，即，在此情况下： 当时，，单调递减， 所以， 所以在的情况下，对恒成立， 综上所述，当时，对恒成立，故C正确； 对于D，若函数在上单调递减， 这意味着对恒成立， 也就是说对恒成立，即对恒成立， 注意到在上单调递减， 所以，也就是说的取值范围为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导数可得切线斜率，点斜式可求方程. 【详解】，，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故答案为： 13. 函数，，若对任意的，，使得成立，则实数的范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究其单调性，再根据恒成立问题求解. 【详解】因为，，所以，故在上单调递增，所以． 又，所以在上也是单调递增，所以， 因为对任意的，，使成立，等价于，即， 故实数a的范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题将所求转化为是解题关键，利用导数等方法求出相应函数的最值即可解答. 14. “三门问题”（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题､蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提･霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是______（填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是______. 【答案】 ①. 会 ②. 【解析】 【分析】设三扇门为，根据题意可得假设我们已经选了门，主持人打开了门，若车在，则打开的概率是，若车在，则打开的概率为1，再结合条件概率及全概率公式即可得解. 【详解】设三扇门为，假设我们已经选了门，主持人打开了门， 若车在，则打开的概率是， 若车在，则打开的概率为1， 被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1）， 也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2）， 虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大， 所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大， 所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率， 用概率论公式来分析，我们得到： 车在门的概率为：， 车在门的概率为：. 故答案为：会；. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求得，分别求得和的解集，即可求解； （2）由（1）求得函数的最大值，以及，的值，进而求得函数的最值. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 解：由函数在上单调递增，在上单调递减， 知在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数取得最大值，最大值为， 又，，所以最小值为， 所以函数的最大值为，最小值为. 16. 广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数） （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，， ②参考数据：，，，. 【答案】（1）模型②的拟合程度更好 （2），13（百万辆） 【解析】 【分析】（1）分别求出两个模型的相关系数，比较大小即可解答. （2）令，则，结合题目数据，最小二乘法求得回归方程，然后将代入方程运算求解即可. 【小问1详解】 设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得：， （说明：若化简成，再比较与的大小亦可） 令，则， 则， 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好； 【小问2详解】 由条件得：， 又由，，得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 17. 甲､乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）分别求甲､乙两人正确完成面试题数的分布列； （2）请从均值和方差的角度分析比较甲､乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 【答案】（1）答案见解析； （2）甲通过面试的概率较大． 【解析】 【分析】（1）根据题意得服从超几何分布，服从二项分布，分别求解概率及分布列即可. （2）由（1）分别求出期望和方差比较即可. 【小问1详解】 设为甲正确完成面试题的数量， 为乙正确完成面试题的数量， 由题意可得的可能取值为：， 所以， ， 所以的分布列为 由题意随机变量的可能值为，可得， 所以， ， 所以的分布列为： 【小问2详解】由（1）可得， ， ， ， ， 因为，， 所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 18. 篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响. （1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率； （2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求： ①设事件表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含的式子表示） ②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？ 【答案】（1） （2）①；②15 【解析】 【分析】（1）设出事件，将事件“进行一轮比赛后甲比乙多投进2球”表示成，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式计算即得； （2）①将“乙每轮比赛至少要超甲2个球”表示成，同上求得其概率；②设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球情况下获得的积分，则，依题，，将其转化成，求在上的值域问题即可解决. 【小问1详解】 设事件表示甲在一轮比赛中投进个球， 表示乙在一轮比赛中投进个球，， 表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球 所以 【小问2详解】 ① ； ②设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分， 则有，故， 要满足题意，则，即， 又，故， 令，，则在恒成立， 即在上单调递增，故的最大值为， 即的最大值为，于是，的最小值为， 因，故理论上至少要进行15轮比赛. 【点睛】方法点睛：本题主要考查互斥事件和独立事件的概率综合，以及二项分布的概率均值的应用，属于较难题. 解决此类事件的概率，一般需要设出基本事件，将所求事件表示，并运用互斥事件和独立事件的概率公式计算；其次结合条件判断二项分布概率模型，再运用公式求解即得. 19. 已知函数，. （1）若，求函数的极值； （2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值； （3）当时，函数恰有两个不同的零点，，且，求证：. 【答案】（1）有极大值，无极小值 （2）2 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用导数求出单调增区间； （2）先利用分离参数法得到对恒成立.构造和，求导结合零点存在性定理判断出， ，得到.由，求出整数的最小值； （3）用分析法证明：当时，先整理化简得到，只需证.令，构造函数，利用导数证明出.即证. 【小问1详解】 当时，，所以， 则，定义域为. 令，解得：. 所以的单调增区间为，单调减区间为； 则当时，有极大值，无极小值； 【小问2详解】 依题意对恒成立，等价于对恒成立. 令，则 令,则在上是增函数， ， 所以，使即 对，，，所以在上单调递增； 对，，，所以在上单调递减. 所以. 所以. 又，所以整数的最小值2 【小问3详解】 当时，， 令，故在上单调递增，在上单调递减且，时，；时，； 依题意存在使得， 已知可得，要证成立， 因为，是的零点，所以， 两式相减得：， 即， 要证，只需证， 又因为只需证， 即证， 令，则，所以， 所以在增函数，所以即. 即成立. 所以原不等式得证. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. （3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题. （4）利用导数证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$