2024年高考数学真题完全解读（上海卷）

2024年高考数学真题完全解读（上海卷） 2024年普通高等学校招生全国统一文化考试上海数学科目考试结束后，市教育考试院邀请相关专家对试卷进行了评析。专家一致认为：试卷依据课程标准确定考试内容，立足基础、梯度合理，以学科核心素养为考查目标，注重考查考生的综合能力。 一、试卷结构稳定，注重基础知识 试卷结构保持稳定，内容分布合理，包含预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动等主题内容。在填空题、选择题和解答题中，均含有相当数量的基础题，只要考生掌握数学基本概念、基础知识和通性通法即可进行解答。如填空题和选择题中对集合、函数、向量、三角、复数和成对数据样本相关系数等基本概念的考查，对二项式定理、全概率公式等基本定理和公式应用的考查，以及在解答题中对立体几何中线面角和解析几何中离心率等基本计算的考查，均体现了试卷注重考查基础的特点。 二、聚焦核心素养，凸显学科价值 试卷以适切的问题情境为载体，突出核心素养导向，同时适应数字化学习的需要，考查考生通过数据认识事物的本质属性及获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力。如填空题中海面上货船和灯塔的位置关系问题，考查考生运用解三角形的有关知识解决实际问题的能力。选择题以沿海地区气温与海水表层温度的统计关系为切入点，将重视科学素养、关注生态环境纳入考生视野。解答题通过考生学业成绩与体育锻炼时长的有关问题，考查考生的数据分析能力，并引导考生在追求优秀学业成绩的同时适当进行体育锻炼，注重全面发展。树立正确的价值观。又如填空题中的概率问题，引导考生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。 三、关注关键能力，培育思维品质 试卷注重数学工具价值和理性精神的引领，在解三角形、概率、统计等知识的考查中，与现实生活问题相联系，以数学知识为工具进行分析，形成理性思维。 试卷充分体现了对数学概念、数学思想、数学逻辑等方面的考查要求。如填空题和选择题的最后一题，要求考生熟悉数学语言，真正理解试题中的数学概念和性质，充分运用数学思想、数学方法进行分析，通过切实的数学抽象和逻辑推理、分析才能得出答案。填空题中的复数问题，入口宽泛、方法多元，同时体现了复数的本质：一个复数实际上是平面上的一点。在解题时既可以看作复数的一元方程，也可以看作实数的二元方程组。又如函数解答题考查考生理解新概念，以及在此基础上综合运用函数的最值、导数、单调性等知识和相应的策略解决问题的能力。 第10题： 23年高考的二项式定理这样的出法比较少见，但不难理解。两个二项式的通项合并也比较显然。 24年高考的在“集合A中任意两个元素的乘积均为偶数”设置了一些小障碍，之后求无重复数字的三位正偶数，属于常见问题。 第11题 23年高考在理解实际问题题意上很简单，求函数解析式也很简单。难点在于求函数最值的技巧，计算量不算大。 24年高考在理解实际问题题意上也很容易，但条件比较多，OA⊥OB容易被忽视。难点在于： ①需要设角，通过解三角形的相关知识，得到关于角的方程； ②数据非常难看，在计算过程中就需要近似才能比较顺利地执行后续计算，而最终结果精确到0.1°，且涉及角和三角比的转化，这就导致中间过程需要至少精确到0.001才会有安全感，频繁敲击计算器，抄录数据，会给考生带来很大的心理压力。 第12题 24年高考是需要探索的数列题，如果对于“等比数列”或者“指数函数”的性质（主要指：当底数>1时，指数函数不止严格增，且增长速度越来越快，以至于有“指数爆炸”的特点）比较熟悉，在经过n=1，n=2，n=3的探索后，比较容易找到解题关键。耗时稍多（考虑探索的耗时），思维难度中等偏低。在构思完大方向后，处理不等式恒成立的难度中等。计算难度偏低。 第15题 23年的题属于23年高考的一个亮点，非常优质，重思维（动态想象），轻计算。考生可以靠动态想象能力连蒙带猜排除所有错误选项，也可以严谨用分类讨论完成。 24年的题审题稍有障碍，“任意”“存在”的逻辑要清晰，当然本题中的描述相当基础。最大的障碍在于考法比较偏门，大多数同学应该没有在高三下遇到过类似问题，至多只遇到过其降维形式“平面向量”的版本，并做了就忘。背景方面，虽然背景是空间向量的“向量共面的充要条件”，但实际上想到这个背景对于解题也并无帮助。如果能看懂题意，还是比较简单的，只需将点的坐标转化为向量的坐标，解方程即可。 第16题  23年的曲线相关的新定义比较少见，理解难度中等。计算难度中等。在构思完大方向后，求取值范围非常简单，甚至可以目测。 24年的函数型新定义比较常规，理解难度中等，各选项证明和举反例的难度中等偏下，也就模拟考抽象函数水平。 第18题 23年有一个分母不为0的小陷阱 24年的定义域要求更明显，这样的考核更合理一些，希望同学们不要看到二次方程有解就只想到Δ≥0。 第19题 23年的概率题，（1）是一些基本概型问题；（2）则有以下难点①题干较长，记忆题干要点的障碍； ②求概率时需要分类讨论，车模根据外观和内饰的颜色有2×2的表格，较为复杂，分类容易混乱；属于中等偏上难度。 24年的统计题，唯一的障碍在于表格数据较多，抄写和计算都比较麻烦，这题思维难度放到二模考大多只能安排在19（1）。难度较低。 第20题 23年的题以设点为基础进行研究，对于一些无脑设线的考生来说会比较怪。涉及过抛物线上任意两点的直线方程，当然即使不知道这个结论，也只是会增加一些计算障碍。求点和边长的计算较为简单。不等式恒成立的处理也较为简单。设置了一个A,P两点不重合带来的定义域小陷阱，很容易忽视。  24年的题是典型的设线，对于习惯设线的考生来说比较友好。设线有y=k(x+2)和x=my-2两种形式，后者处理本题较为简单。这里还是按照教材中介绍的前者，即点斜式进行难度分析。斜率k不存在的情况需要考虑并计算，相对麻烦。斜率k存在的情况，结论式翻译的计算相对常规，中等难度，容易得到k,b的等量关系。根据该等量关系得到b的取值范围难度中等。设置了一个二次方程的二次项系数不为0带来的舍根难度加大。 第21题 23年的题解题关键在于“构造函数后判断符号”，思维难度中等，计算难度低，中等难度。 24年的题解题关键在于“得到无法求出的驻点”，因为有充分的提示，思维难度中等，计算难度低，中等难度。 题号 分值 题型 考查点 1-6 每题4分，共24分 填空 补集、分段函数、一元二次不等式、函数奇偶性、平面向量、二项式定理 7-12 每题5分，共30分 填空 抛物线的定义、全概率公式、复数的运算、排列组合与集合的性质、 解三角形、数列 13-16 第 13-14 题每题 4 分, 第 15-16 题每题 5 分，共18分 选择 成对数据相关分析、三角函数的周期性、空间向量、函数的性质 17 14分 解答 立体几何 18 14分 解答 对数函数、等差数列 19 14分 解答 概率统计：(1)分层抽样；(2)频率分布表求平均数; (3)2x2 列联表独 立性检验 20 18分 解答 解析几何 21 18分 解答 导数 一、了解上海高考数学的考试大纲，明确备考重点 上海高考数学考试大纲是备考的“导航仪”。我们要认真研究大纲，了解考试范围、题型及分值分布，从而明确备考重点。对于考试大纲中提到的内容，我们脑海里要能浮现出对应的知识点、难点、重点等，如果还不熟的，要针对性地去查漏补缺。如果考试大纲中没有提到的内容，就不用去特别准备。总体来说，这几年上海高考数学的大纲变化不会很大。 二、建立自己个性化的上海高考数学知识体系，巩固基础知识 高考数学涉及多个模块，建立完整的知识体系至关重要。从现在开始，对照大纲，梳理各模块知识点，确保掌握基础概念、定理和公式。同时，通过做题巩固基础知识，提高运用能力。 三、反复练习真题，突破重点难点 面对高考数学的重点难点，我们需要进行有针对性的专项训练、重点年突破。可以反复做近年来的高考真题，找出命题趋势和规律，针对性地解决自己的薄弱环节。 2024年上海高考数学试题 一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1．（4分）设全集，2，3，4，，集合，，则　　． 2．（4分）已知，则（3）　　． 3．（4分）已知，则不等式的解集为 　　． 4．（4分）已知，，且是奇函数，则　　． 5．（4分）已知，，，则的值为 　　． 6．（4分）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 　　． 7．（5分）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么到轴的距离为 　　． 8．（5分）某校举办科学竞技比赛，有、、种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 　　． 9．（5分）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 　　． 10．（5分）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 　　． 11．（5分）已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则　　．（精确到0.1度） 12．（5分）无穷等比数列满足首项，，记，，，，若对任意正整数，集合是闭区间，则的取值范围是 　　． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13．（4分）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是　　 A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14．（4分）下列函数的最小正周期是的是　　 A． B． C． D． 15．（5分）定义一个集合，集合元素是空间内的点集，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得．已知，0，，则，0，的充分条件是　　 A．，0， B．，0， C．，1， D．，0， 16．（5分）已知函数的定义域为，定义集合，，，在使得，的所有中，下列成立的是　　 A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在为严格增函数 D．存在在处取到极小值 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（14分）如图为正四棱锥，为底面的中心． （1）若，，求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小． 18．（14分）已知． （1）若过，求的解集； （2）存在使得、、成等差数列，求的取值范围． 19．（14分）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围 ， ， ， ， ， 学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 （1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？ （2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到． （3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 20．（18分）已知双曲线，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于、两点，且点在第一象限． （1）当离心率时，求的值； （2）当，△为等腰三角形时，求点的坐标； （3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 21．（18分）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高考数学真题完全解读（上海卷） 2024年普通高等学校招生全国统一文化考试上海数学科目考试结束后，市教育考试院邀请相关专家对试卷进行了评析。专家一致认为：试卷依据课程标准确定考试内容，立足基础、梯度合理，以学科核心素养为考查目标，注重考查考生的综合能力。 一、试卷结构稳定，注重基础知识 试卷结构保持稳定，内容分布合理，包含预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动等主题内容。在填空题、选择题和解答题中，均含有相当数量的基础题，只要考生掌握数学基本概念、基础知识和通性通法即可进行解答。如填空题和选择题中对集合、函数、向量、三角、复数和成对数据样本相关系数等基本概念的考查，对二项式定理、全概率公式等基本定理和公式应用的考查，以及在解答题中对立体几何中线面角和解析几何中离心率等基本计算的考查，均体现了试卷注重考查基础的特点。 二、聚焦核心素养，凸显学科价值 试卷以适切的问题情境为载体，突出核心素养导向，同时适应数字化学习的需要，考查考生通过数据认识事物的本质属性及获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力。如填空题中海面上货船和灯塔的位置关系问题，考查考生运用解三角形的有关知识解决实际问题的能力。选择题以沿海地区气温与海水表层温度的统计关系为切入点，将重视科学素养、关注生态环境纳入考生视野。解答题通过考生学业成绩与体育锻炼时长的有关问题，考查考生的数据分析能力，并引导考生在追求优秀学业成绩的同时适当进行体育锻炼，注重全面发展。树立正确的价值观。又如填空题中的概率问题，引导考生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。 三、关注关键能力，培育思维品质 试卷注重数学工具价值和理性精神的引领，在解三角形、概率、统计等知识的考查中，与现实生活问题相联系，以数学知识为工具进行分析，形成理性思维。 试卷充分体现了对数学概念、数学思想、数学逻辑等方面的考查要求。如填空题和选择题的最后一题，要求考生熟悉数学语言，真正理解试题中的数学概念和性质，充分运用数学思想、数学方法进行分析，通过切实的数学抽象和逻辑推理、分析才能得出答案。填空题中的复数问题，入口宽泛、方法多元，同时体现了复数的本质：一个复数实际上是平面上的一点。在解题时既可以看作复数的一元方程，也可以看作实数的二元方程组。又如函数解答题考查考生理解新概念，以及在此基础上综合运用函数的最值、导数、单调性等知识和相应的策略解决问题的能力。 第10题： 23年高考的二项式定理这样的出法比较少见，但不难理解。两个二项式的通项合并也比较显然。 24年高考的在“集合A中任意两个元素的乘积均为偶数”设置了一些小障碍，之后求无重复数字的三位正偶数，属于常见问题。 第11题 23年高考在理解实际问题题意上很简单，求函数解析式也很简单。难点在于求函数最值的技巧，计算量不算大。 24年高考在理解实际问题题意上也很容易，但条件比较多，OA⊥OB容易被忽视。难点在于： ①需要设角，通过解三角形的相关知识，得到关于角的方程； ②数据非常难看，在计算过程中就需要近似才能比较顺利地执行后续计算，而最终结果精确到0.1°，且涉及角和三角比的转化，这就导致中间过程需要至少精确到0.001才会有安全感，频繁敲击计算器，抄录数据，会给考生带来很大的心理压力。 第12题 24年高考是需要探索的数列题，如果对于“等比数列”或者“指数函数”的性质（主要指：当底数>1时，指数函数不止严格增，且增长速度越来越快，以至于有“指数爆炸”的特点）比较熟悉，在经过n=1，n=2，n=3的探索后，比较容易找到解题关键。耗时稍多（考虑探索的耗时），思维难度中等偏低。在构思完大方向后，处理不等式恒成立的难度中等。计算难度偏低。 第15题 23年的题属于23年高考的一个亮点，非常优质，重思维（动态想象），轻计算。考生可以靠动态想象能力连蒙带猜排除所有错误选项，也可以严谨用分类讨论完成。 24年的题审题稍有障碍，“任意”“存在”的逻辑要清晰，当然本题中的描述相当基础。最大的障碍在于考法比较偏门，大多数同学应该没有在高三下遇到过类似问题，至多只遇到过其降维形式“平面向量”的版本，并做了就忘。背景方面，虽然背景是空间向量的“向量共面的充要条件”，但实际上想到这个背景对于解题也并无帮助。如果能看懂题意，还是比较简单的，只需将点的坐标转化为向量的坐标，解方程即可。 第16题  23年的曲线相关的新定义比较少见，理解难度中等。计算难度中等。在构思完大方向后，求取值范围非常简单，甚至可以目测。 24年的函数型新定义比较常规，理解难度中等，各选项证明和举反例的难度中等偏下，也就模拟考抽象函数水平。 第18题 23年有一个分母不为0的小陷阱 24年的定义域要求更明显，这样的考核更合理一些，希望同学们不要看到二次方程有解就只想到Δ≥0。 第19题 23年的概率题，（1）是一些基本概型问题；（2）则有以下难点①题干较长，记忆题干要点的障碍； ②求概率时需要分类讨论，车模根据外观和内饰的颜色有2×2的表格，较为复杂，分类容易混乱；属于中等偏上难度。 24年的统计题，唯一的障碍在于表格数据较多，抄写和计算都比较麻烦，这题思维难度放到二模考大多只能安排在19（1）。难度较低。 第20题 23年的题以设点为基础进行研究，对于一些无脑设线的考生来说会比较怪。涉及过抛物线上任意两点的直线方程，当然即使不知道这个结论，也只是会增加一些计算障碍。求点和边长的计算较为简单。不等式恒成立的处理也较为简单。设置了一个A,P两点不重合带来的定义域小陷阱，很容易忽视。  24年的题是典型的设线，对于习惯设线的考生来说比较友好。设线有y=k(x+2)和x=my-2两种形式，后者处理本题较为简单。这里还是按照教材中介绍的前者，即点斜式进行难度分析。斜率k不存在的情况需要考虑并计算，相对麻烦。斜率k存在的情况，结论式翻译的计算相对常规，中等难度，容易得到k,b的等量关系。根据该等量关系得到b的取值范围难度中等。设置了一个二次方程的二次项系数不为0带来的舍根难度加大。 第21题 23年的题解题关键在于“构造函数后判断符号”，思维难度中等，计算难度低，中等难度。 24年的题解题关键在于“得到无法求出的驻点”，因为有充分的提示，思维难度中等，计算难度低，中等难度。 题号 分值 题型 考查点 1-6 每题4分，共24分 填空 补集、分段函数、一元二次不等式、函数奇偶性、平面向量、二项式定理 7-12 每题5分，共30分 填空 抛物线的定义、全概率公式、复数的运算、排列组合与集合的性质、 解三角形、数列 13-16 第 13-14 题每题 4 分, 第 15-16 题每题 5 分，共18分 选择 成对数据相关分析、三角函数的周期性、空间向量、函数的性质 17 14分 解答 立体几何 18 14分 解答 对数函数、等差数列 19 14分 解答 概率统计：(1)分层抽样；(2)频率分布表求平均数; (3)2x2 列联表独 立性检验 20 18分 解答 解析几何 21 18分 解答 导数 一、了解上海高考数学的考试大纲，明确备考重点 上海高考数学考试大纲是备考的“导航仪”。我们要认真研究大纲，了解考试范围、题型及分值分布，从而明确备考重点。对于考试大纲中提到的内容，我们脑海里要能浮现出对应的知识点、难点、重点等，如果还不熟的，要针对性地去查漏补缺。如果考试大纲中没有提到的内容，就不用去特别准备。总体来说，这几年上海高考数学的大纲变化不会很大。 二、建立自己个性化的上海高考数学知识体系，巩固基础知识 高考数学涉及多个模块，建立完整的知识体系至关重要。从现在开始，对照大纲，梳理各模块知识点，确保掌握基础概念、定理和公式。同时，通过做题巩固基础知识，提高运用能力。 三、反复练习真题，突破重点难点 面对高考数学的重点难点，我们需要进行有针对性的专项训练、重点年突破。可以反复做近年来的高考真题，找出命题趋势和规律，针对性地解决自己的薄弱环节。 2024年上海高考数学试题 一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1．（4分）设全集，2，3，4，，集合，，则　，3，　． 【分析】结合补集的定义，即可求解． 【解答】解：全集，2，3，4，，集合，， 则，3，． 故答案为：，3，． 【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题． 2．（4分）已知，则（3）　　． 【分析】根据已知条件，将代入函数解析式，即可求解． 【解答】解：， 则（3）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题． 3．（4分）已知，则不等式的解集为 　　． 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可． 【解答】解：可化为， 解得， 故不等式的解集为：． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属基础题． 4．（4分）已知，，且是奇函数，则　0　． 【分析】首先根据，解得，再根据奇函数的定义进行验证即可． 【解答】解：由题意，可得，解得， 当时，，满足， 即是奇函数，故符合题意． 故答案为：0． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属基础题． 5．（4分）已知，，，则的值为 　15　． 【分析】根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可． 【解答】解：由，，， 可得，解得． 故答案为：15． 【点评】本题考查向量平行的坐标表示，属基础题． 6．（4分）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 　10　． 【分析】根据二项式系数和求得值，再结合二项式的通项公式即可求得． 【解答】解：由题意，展开式中各项系数的和是，所以， 则该二项式的通项公式是， 令，解得，故项的系数为． 故答案为：10． 【点评】本题考查二项式系数和及通项公式，属基础题． 7．（5分）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么到轴的距离为 　　． 【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解． 【解答】解：设坐标为，， 到准线的距离为9，即，解得，代入抛物线方程，可得， 故到轴的距离为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题． 8．（5分）某校举办科学竞技比赛，有、、种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 　　． 【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解． 【解答】解：由题可知，题库占比为，题库占比为，题库占比为， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查全概率公式的应用，属于基础题． 9．（5分）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 　2　． 【分析】根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：虚数，其实部为1， 则可设， 所以，因为， 所以，解得， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查复数的概念，以及复数的四则运算，属于基础题． 10．（5分）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 　329　． 【分析】根据已知条件，结合组合数、排列数公式，并分类讨论，即可求解． 【解答】解：由题可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数， 先研究集合中无重复数字的三位偶数： （1）若个位为0，这样的偶数有种； （2）若个位不为0，这样的偶数有种； 所以集合元素个数最大值为种． 故答案为：329． 【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于中档题． 11．（5分）已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则　　．（精确到0.1度） 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解． 【解答】解：在中，根据正弦定理可得， 设，则， 所以，① 在中，根据正弦定理可得， ，② 联立①②，因为， 所以， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题． 12．（5分）无穷等比数列满足首项，，记，，，，若对任意正整数，集合是闭区间，则的取值范围是 　，　． 【分析】利用已知条件，通过，的范围，判断的范围，结合等比数列的性质，转化求解即可． 【解答】解：不妨设，若，，，则由，， 若，，，则有，， 若，分别属于，和，，则，， 又因为，总有是闭区间，则恒成立， 化简可得，所以恒成立． 故答案为：，． 【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13．（4分）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是　　 A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【分析】利用变量的性关系，判断选项即可． 【解答】解：成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当的值由小变大，的值具有由小变大的变化趋势， 所以、、选项错误． 故选：． 【点评】本题考查数据相关分析，是基础题． 14．（4分）下列函数的最小正周期是的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，化简选项表达式，求解函数的周期即可． 【解答】解：对于，，则，满足条件，所以正确． 对于，，则，不满足条件，所以不正确． 对于，，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以不正确． 对于，，则，不满足条件，所以不正确． 故选：． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的周期的求法，是基础题． 15．（5分）定义一个集合，集合元素是空间内的点集，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得．已知，0，，则，0，的充分条件是　　 A．，0， B．，0， C．，1， D．，0， 【分析】利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可． 【解答】解：不全为0的实数，，，使得． 所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基， 又因为，0，，所以对于三者可以构成一组基， 故不能推出，0，，故错误； 对于，，0，，，0，，且，0，，，0，共线， 所以，0，可以属于，此时三者不共面，故错误； 对于，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出，0，，故正确； 对于，三者无法故选一组基，故不能推出，0，，故错误． 故选：． 【点评】本题考查空间向量的基本定理的应用，充要条件的判断，是基础题． 16．（5分）已知函数的定义域为，定义集合，，，在使得，的所有中，下列成立的是　　 A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在为严格增函数 D．存在在处取到极小值 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可． 【解答】解：对于，时，， 当时，，， 对于任意，（1）恒成立， 若是偶函数，此时（1），矛盾，故错误； 对于，若函数图像如下： 当时，，时，，，当，， 所以存在在处取最大值，故正确； 对于，在时，若函数严格增， 则集合的取值不会是，，而是全体定义域，故错误； 对于，若存在在处取到极小值， 则在左侧存在，，与集合定义矛盾，故错误． 故选：． 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及最值等性质，属中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（14分）如图为正四棱锥，为底面的中心． （1）若，，求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【分析】（1）根据已知条件，先求出，再结合棱锥的体积公式，即可求解． （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再结合向量的夹角公式，即可求解． 【解答】解：（1）因为是正四棱锥， 所以底面是正方形，且底面， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以绕旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥， 所以； （2）如图建立空间直角坐标系， 因为，由题知是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等， 设， 则，， 则，0，，，0，，，，，，0，，，，，，0，，， 故，，， 设为平面的法向量， 则，即，令，则，， 所以， 则， 设直线与面所成角为， 因为， ， 则． 【点评】本题主要考查棱锥体积的求解，以及空间向量的应用，属于中档题． 18．（14分）已知． （1）若过，求的解集； （2）存在使得、、成等差数列，求的取值范围． 【分析】（1）先求出函数解析式，再结合函数的单调性，即可求解； （2）根据等差数列的性质，推得有解，再结合分离常数法，以及二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）由过可得， 则，解得（负值舍去）， 因为在上是严格增函数，， 则，解得， 故所求解集为； （2）因为、、成等差数列， 所以，即有解，化简可得， 则且， 故在上有解， 又，故在上，， 故，解得或， 又，所以， 故的取值范围为． 【点评】本题主要考查数列与函数的综合，考查转化能力，属于中档题． 19．（14分）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围 ， ， ， ， ， 学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 （1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？ （2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到． （3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 【分析】（1）由已知结合频率与概率关系即可求解； （2）先求出样本平均数，然后用样本平均数估计总体平均数即可； （3）结合独立性检验即可判断． 【解答】解：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比， 该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为； （2）该地区初中学生锻炼平均时长约为 ； （3）由题意可得列联表， ， 其他 总数 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 ①提出零假设：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关， ②确定显著性水平，， ③， ④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 【点评】本题主要考查了用样本估计总体，由频率分布表求平均数及独立性检验的应用，属于中档题． 20．（18分）已知双曲线，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于、两点，且点在第一象限． （1）当离心率时，求的值； （2）当，△为等腰三角形时，求点的坐标； （3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【分析】（1）由题意可得，，可得，由求解即可； （2）由题意可得，，，，，则可得，再由，求解即可； （3）设， ， 则，，设直线，联立直线与双曲线方程，再结合韦达定理可得，，又由，得，即有，可得，即可得答案． 【解答】解：（1）因为，即， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以（负舍）； （2）因为△为等腰三角形， ①若为底，则点在线段的中垂线，即上，与双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去； ②若为底，则，与矛盾，故舍去； ③若为底，则， 设，，，， 则， 即， 又因为， 得， 得， 解得， 即； （3）由，设，，，， 则，，设直线， 联立，得， 则，， 所以，，，， 又因为， 得， 则， 即， 化简后可得到， 再由韦达定理得， 化简得， 所以，代入，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，， ． 【点评】本题考查了双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系及韦达定理的应用，属于中档题． 21．（18分）对于一个函数和一个点，定义，若存在，，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”； （2）对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，，点，，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性． 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性． 【解答】解：（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点， 使得该点是在的“最近点”； （2）由题设可得， 则，因为，均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，，故在点处的切线方程为， 而，故，故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”， 设，，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在，使得， 即，① ，② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则，， 即，③ ，④ ③④得， 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减． 【点评】本题考查基本不等式，极值、最值的求解，导数的应用等，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$