精品解析：2024年广东省珠海市香洲区中考三模数学试题

珠海市香洲区中考三模试题 数学 本试卷共8页，25小题，满分120分.考试用时90分钟. 说明：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2024年元旦，哈尔滨、北京、南京、海南四地气温最低气温分别为、、、，其中最低的气温是（ ） A. B. C. D. 2. 神舟十八号是中国载人航天工程第十八艘飞船，于年4月日时分在酒泉卫星发射中心发射，并于次日进入离地面约米的空间站，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列安全指示牌分别代表“禁止攀爬”“禁止高空抛物”“注意安全”“注意摔滑”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是有理数 B. 是负数 C. 若，则 D. 中，S，π，r均为变量 6. 如图，将面积为的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（ ） A. 面积不变，周长变小 B. 面积不变，周长变大 C. 面积变小，周长不变 D. 面积不变，周长不变 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，点A，B分别落在点，的位置上，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，的面积是 C. 当时， D. 当时， 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 因式分解：__________． 12. 函数中，自变量x的取值范围是____． 13. 一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为____． 14. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____． 15. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为_______________. 16. 如图，在平面直角坐标系内，动点M第1次从点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，第6次运动到，第7次运动到……依此规律，第2024次运动到的坐标是_________． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18、19题各5分，第20题6分，共21分. 17. 计算：． 18. 化简： 19. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，已知半径为4，且O，A，B均在同一水平线的格点上，，连接． （1）尺规作图，在上方作的切线交该圆于点D；（请保留作图痕迹，不要求写出步骤） （2）求的长． 20. 2024年车价大促销，某车行分别用48万元和90万元购进A和B两种型号车，已知B型号车的单价比A型号车的单价高出7万元，且两种型号车购进数量相同，求A型号车的单价． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 21. 综合与实践 【问题情境】为了解学校给美术兴趣小组成员新添置的一批课桌、椅子高度的配套设计情况，综合实践小组进行了调查研究． 【实践发现】该小组随机抽取了套符合条件的课桌、椅子对应的高度并将其编号，并发现可以根据人的身高同时调节课桌、椅子的高度，且课桌的高度y()与对应的椅子高度（不含靠背）存在某种数量关系，数据如下表（不完整）： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 椅高/ 桌高/ 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题． 平均值 中位数 众数 方差 椅高/ a c 桌高/ b （1）填空：_________，_________，_________； （2）编号2桌椅的主人要在被挑出的编号1，2，4这三套椅桌中找到自己的桌椅，找到的编号2的桌椅概率为多少？（请用列表法或树状图表示） （3）编号的桌高数据被墨水污染了，请你求出被污染的数据． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，且的面积为2． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出的解集； （3）在x轴上取一点P，当取得最大值时，求点P的坐标． 23. 阅读下面材料，并完成相应的学习任务. “整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值. 小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可. 小善：由①，得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得， 所以原方程组的解为 张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务. （1）任务一：解方程组 （2）任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式. 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24. 综合探究 如图，在中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作圆，分别交于点，交于点，交于点，连接，且为的中点． （1）【问题初探】求证：为的切线； （2）【深入探究】连接，求证：； （3）【问题拓展】若，，求，的长． 25. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上. （1）如图1，已知点，，在抛物线上，则________；_______； （2）在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由； （3）如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市香洲区中考三模试题 数学 本试卷共8页，25小题，满分120分.考试用时90分钟. 说明：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2024年元旦，哈尔滨、北京、南京、海南四地气温最低气温分别为、、、，其中最低的气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据有理数的大小比较法则，即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴最低的气温是。 故选：A 2. 神舟十八号是中国载人航天工程第十八艘飞船，于年4月日时分在酒泉卫星发射中心发射，并于次日进入离地面约米的空间站，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 下列安全指示牌分别代表“禁止攀爬”“禁止高空抛物”“注意安全”“注意摔滑”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵不是轴对称图形， ∴不符合题意； ∵不是轴对称图形， ∴不符合题意； ∵ 是轴对称图形， ∴符合题意； ∵不是轴对称图形，， ∴不符合题意； 故选C． 4. 将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，过点作，根据，得出，根据平行线的性质得出，，求出，即可求出结果． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是有理数 B. 是负数 C. 若，则 D. 中，S，π，r均为变量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断真假命题．根据有理数的定义，负数的定义，绝对值，常量与变量分别判断即可． 【详解】解：A．是无理数，故本选项的命题是假命题； B．有可能是负数，有可能是正数，也有可能是0，故本选项的命题是假命题； C．若，则，故本选项的命题是真命题； D．中，，均为变量，为常量，故本选项的命题是假命题． 故选：C 6. 如图，将面积为的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（ ） A. 面积不变，周长变小 B. 面积不变，周长变大 C. 面积变小，周长不变 D. 面积不变，周长不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的拼组、算术平方根，关键注意拼组前后周长和面积的变化． 根据题意可知，求解相应的面积和周长，进行比较即可． 【详解】解；正方形面积为，则边长为，周长为． 将其分为个全等的等腰直角三角形后，直角边为，其面积不变，而周长为，因为，所以周长变大． 故选B． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，求得不等式组的解集成为解题的关键. 先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可. 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为 在数轴上表示如下： . 故选D. 8. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握等弧所对的圆周角相等． 根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数，根据圆周角定理，从而得到的度数． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故选． 9. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，点A，B分别落在点，的位置上，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，先根据平行线的性质得出，根据折叠得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】解：，， ， 由折叠性质可得， ， ， ． 故选：A． 10. 如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，的面积是 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，从图象中有效的获取信息，是解题的关键；由函数图象得，当时，点到达点，点到达点，进而得到当时，点在上运动，，判断B，求出的长，勾股定理求出的长，判断A，过点作于点，证明，求出，判断C，求出时，的长，判断D即可． 【详解】解：由函数图象得，当时，点到达点，点到达点， 当时，点在上运动，， 当时，点到达点，故选项B正确； ∵，时，， 解得， ∴，故选项正确； 当时，点在线段上，则， 过点作于点，则：， ∴， ∴， ， ∴， ，故选项错误； ， 当时，点在线段上，此时，， ，故选项D正确． 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 函数中，自变量x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2； 故答案为x≠2． 13. 一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为____． 【答案】20cm 【解析】 【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为4cm；（2）当等腰三角形的腰为8cm；两种情况讨论，从而得到其周长． 【详解】分两种情况讨论： （1）当等腰三角形的腰为4cm，底为8cm时，不能构成三角形． （2）当等腰三角形的腰为8cm，底为4cm时，能构成三角形，周长为4+8+8=20（cm）． ∴这个等腰三角形的周长是20cm． 故答案为：20cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 14. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____． 【答案】720°##720度 【解析】 【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可． 【详解】这个正多边形的边数为=6， 所以这个正多边形的内角和是（6﹣2）×180°=720°， 故答案为：720°． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度． 15. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到 ， 即． 故答案为： 16. 如图，在平面直角坐标系内，动点M第1次从点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，第6次运动到，第7次运动到……依此规律，第2024次运动到的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据图象可得出：本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力．根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每6次一个循环，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ，，，，，，．．．． ∴横坐标为对应的运动次数减， 则第 次运动到点的横坐标为：； 纵坐标依次为：，每6次一个循环， ∵， ∴第次运动到点的纵坐标为：1． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18、19题各5分，第20题6分，共21分. 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是根据特殊角三角函数值，零指数幂及二次根式的性质将原式化简．据此解答即可． 【详解】解： ． 18. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】先把括号内通分化简，再把分子分母分解因式约分即可. 【详解】原式= = = =. 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 19. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，已知半径为4，且O，A，B均在同一水平线的格点上，，连接． （1）尺规作图，在上方作的切线交该圆于点D；（请保留作图痕迹，不要求写出步骤） （2）求的长． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以中点为圆心、以为半径作圆，所作圆与的交点，连接，即为所求； （2）连接，如图2所示，由切线性质得到，运用勾股定理求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图1所示： 为所求的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图2所示： 为的切线， ， 又，， ，， ． 【点睛】本题考查作图及求线段长，涉及作圆、直径所对的圆周角是直角、切线的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解决问题的关键． 20. 2024年车价大促销，某车行分别用48万元和90万元购进A和B两种型号车，已知B型号车的单价比A型号车的单价高出7万元，且两种型号车购进数量相同，求A型号车的单价． 【答案】8万元 【解析】 【分析】设型号车的单价为万元，则型号车的单价为万元．根据题意，得，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设型号车的单价为万元，则型号车的单价为万元． 由题意，得， 解得， 经检验，是此方程的解，且符合题意． 答：A型号车的单价为8万元． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 21. 综合与实践 【问题情境】为了解学校给美术兴趣小组成员新添置的一批课桌、椅子高度的配套设计情况，综合实践小组进行了调查研究． 【实践发现】该小组随机抽取了套符合条件的课桌、椅子对应的高度并将其编号，并发现可以根据人的身高同时调节课桌、椅子的高度，且课桌的高度y()与对应的椅子高度（不含靠背）存在某种数量关系，数据如下表（不完整）： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 椅高/ 桌高/ 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题． 平均值 中位数 众数 方差 椅高/ a c 桌高/ b （1）填空：_________，_________，_________； （2）编号2桌椅的主人要在被挑出的编号1，2，4这三套椅桌中找到自己的桌椅，找到的编号2的桌椅概率为多少？（请用列表法或树状图表示） （3）编号的桌高数据被墨水污染了，请你求出被污染的数据． 【答案】（1），， （2） （3）被污染的数据为 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，由桌高被污染的数据为，将桌高从小到大依次排序为，根据桌高的中位数为第位数的平均数，可求； （2）根据题意，画出树状图，然后求概率即可； （3）同理（1）可知，被污染的数据为． 【小问1详解】 解：，， ∵桌高被污染的数据为， ∴桌高从小到大依次排序为， ∴桌高的中位数为第位数的平均数，即， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：根据题意，画出树状图如下． 共有9种等可能情况，其中找到编号2的桌椅只有1种， ∴找到的编号2的桌椅概率为． 【小问3详解】 解：同理（1）可知，被污染的数据为． 【点睛】本题考查了算术平均数，中位数，众数，列举法求概率等知识．熟练掌握算术平均数，中位数，众数，列举法求概率是解题的关键． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，且的面积为2． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出的解集； （3）在x轴上取一点P，当取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的面积为2和反比例函数图象的位置，可以确定m的值，代入点坐标即可求出； （2）根据图象可直接写出； （3）作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，即最大值为，求出直线解析式，再确定与x轴交点坐标即可． 【小问1详解】 解：由得， 反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 反比例函数为． 将点，分别代入， 解得，． 【小问2详解】 由（1）知，， 结合图象可知的解集为或． 【小问3详解】 如图，作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时取得最大值，最大值为 设直线解析式为， 将点，代入，得， 解得， ， 令，得， ， 故当取得最大值时，点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质、轴对称的性质和应用，利用待定系数法求函数解析式，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键． 23. 阅读下面材料，并完成相应的学习任务. “整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值. 小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可. 小善：由①，得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得， 所以原方程组的解为 张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务. （1）任务一：解方程组 （2）任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、抛物线与x轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键. （1）直接运用整体代入消元法解答即可； （2）先将代入得，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可. 【小问1详解】 解： 由①得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，解得， 所以原方程组的解为. 【小问2详解】 解：将代入得 拋物线与轴有唯一的交点， ，解得， 抛物线的解析式为. 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24. 综合探究 如图，在中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作圆，分别交于点，交于点，交于点，连接，且为的中点． （1）【问题初探】求证：为的切线； （2）【深入探究】连接，求证：； （3）【问题拓展】若，，求，的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 又点在圆上， 为的切线； （2） 证明：如图， 为的直径， ， ∴， 为的切线， ， ， ， ， 又， ； （3）的长为，的长为 【解析】 【分析】（1）连接，由同弧所对的圆周角相等及等腰三角形的判定及性质得，由平行线的性质得，即可得证； （2）由直径所对的圆周角是直角及切线的性质得，结合，即可得证； （3）由余弦函数得，求出，由相似三角形的性质得 ，设，则，由勾股定理得，由正弦函数得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：为的直径， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：（不合题意，舍去），， ，， 又，，， ， 即， ， ， 的长为，的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，切线的判定及性质，圆的基本性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，一般角的三角函数等；掌握切线的判定及性质，圆的基本性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理，一般角的三角函数进行求解是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上. （1）如图1，已知点，，在抛物线上，则________；_______； （2）在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由； （3）如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系. 【答案】（1）－1；－1 （2）不存在，理由见解析 （3），满足的等量关系为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入函数解析式即可求出a、m的值； （2） 假设存在，由，，可知，因为四边形为菱形，所以，可求出，因此可求得点的坐标，根据轴，亦可求出点的坐标，又已知点在抛物线上，而，因此假设不成立，即不存在四边形为菱形； （3）过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，，然后分情况讨论：①当点B，均在轴左侧时，②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，③当点B，均在轴右侧时，证明，因此利用，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，在抛物线上， 将代入，得， ， 将代入，得， 【小问2详解】 不存在． 理由如下： 假设存在，由（1）得，， ， 设与轴交于点， ， 四边形为菱形， ， ． 点的坐标为， 轴， 点的坐标为， 又点在抛物线上，而， 假设不成立， 不存在四边形为菱形； 【小问3详解】 过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，， ①当点B，均在轴左侧时，如图1， ，，，， ，， ， 又， ， ，， ， 化简得， ， ； ②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，如图2， ，，，， 同理可得， ，， ， 化简得， 或； ③当点B，均在轴右侧时，如图3， ，，，， 同理可得， ，， ， 化简得， ， ， 综上所述，，满足的等量关系为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，正方形和菱形的性质，全等三角形的判定和性质，本题的关键是熟练运用二次函数的性质解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $