浙江中考数学临考安心卷-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（浙江专用）

绝密★启用前 2024年中考模拟卷01【浙江卷】 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的绝对值是（    ） A． B．2024 C． D． 2．华为海思麒麟990（5G）采用的是7纳米工艺制程，纳米是一个长度单位，7纳米是指芯片线路宽度，其宽度越小，对制作工艺要求越高，已知1纳米是千分之一微米，一微米是百万分之一米，如果将纳米换算成国际标准长度单位米，那么7纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．为喜迎国庆，某校团委准备从本校嘉嘉和琪琪两名同学中，挑选一名优秀的朗诵者参加比赛，他们对嘉嘉和琪琪进行了五次测试（满分为10分），把他们的成绩绘制成如下统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉的成绩越来越好，如果再朗读一次，一定还会得10分 B．嘉嘉的第三次成绩与第二次成绩相比，提高 C．琪琪的成绩比嘉嘉的成绩稳定 D．两人的成绩稳定性一样 8．如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知菱形的边长为2，，E为AB的中点，F为CE的中点，与相交于点G，则的长等于（    ） A．1 B． C． D． 10．拋物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是拋物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②是抛物线上的两个点，若,且 ，则；③点为轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为；④若关于的方程无实数根，则的取值范围是．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．因式分解： ． 12．如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则的度数为 ． 13．某校举办剪纸、木版年画、陶塑技艺、粤剧四个社团活动．小智、小慧参加其中一个活动且参加每个活动的可能性相同，则他们恰好参加同一活动的概率为 ． 14．已知，，则 ． 15．圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 m． 16．如图，正方形与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，上的点满足．若的面积为，则实数的值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分6分）（1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 18．（本题满分6分）如图，在中，． (1)实践与操作：在边上找一点D（点C，D不重合），使得为等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，试猜想之间的数量关系，并加以证明． 19．（本题满分6分）某校对学生开展了关于学校餐厅饭菜品质和餐厅服务质量的满意度问卷调查，学生满意度以分数（满分为5分）呈现，从低到高依次为1分、2分、3分、4分、5分．该校规定，若学生所评餐厅饭菜品质满意度和餐厅服务质量满意度的平均数或中位数低于3.5分，则需要对不合格项目进行整改．王老师从收回的有效问卷中随机抽取了20份，并把这20份问卷中学生对餐厅饭菜品质和餐厅服务质量的所评分数绘制成下列图表： 餐厅服务质量满意度统计表 分数/分 1 2 3 4 5 份数/份 2 3 5 8 2 根据以上信息，解答下列问题： (1)餐厅饭菜品质满意度的中位数是______分，餐厅服务质量满意度的平均数是______分． (2)若王老师从余下的有效问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起重新计算，则针对餐厅服务质量满意度的统计量中，一定不变的是______．（填“中位数”“众数”“平均数”或“方差”） (3)请你根据统计结果判断该校餐厅饭菜品质和餐厅服务质量是否需要整改，并说明理由． 20．（本题满分8分）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）． 21．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为2． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)观察图象，直接写出当时的取值范围； (3)点为轴上一动点，连接，，若的面积为18，求点的坐标． 22．（本题满分10分）如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求线段的长． 23．（本题满分10分）【项目式学习】 项目主题：数学眼光仪式设计 项目背景：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计． 任务一 测量建模 （1）如图1，研习小组测得表演场地宽度米，在A、B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） 任务二 方案设计 （2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米．为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距． 任务三 创意设计 （3）为使下一次“过水门”的设计更具创意，研习小组通过进一步分析发现：两个喷头同时向后移动相同的距离m米，此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，在喷头底端的同一直线上各安装一台射灯，射灯射出的光线与地面的夹角为且相交于一点．若光线与水柱之间的最小距离为米，此时右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为n米，则m的值为______，n的值为______． 24．（本题满分12分）如图1，为的外接圆，点B为的中点，点F为劣弧上除弧中点外一动点，连接，，连接交于D点，过F点作的切线交直线于E点． (1)连接，则______，若，则的面积______； (2)判断的形状，并进行证明； (3)已知的半径为r，如图2，取延长线上一点G，连接，且平分． ①求；（结果用r表示） ②是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用r表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第1页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2024年中考模拟卷01【浙江卷】 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的绝对值是（    ） A． B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选D． 2．华为海思麒麟990（5G）采用的是7纳米工艺制程，纳米是一个长度单位，7纳米是指芯片线路宽度，其宽度越小，对制作工艺要求越高，已知1纳米是千分之一微米，一微米是百万分之一米，如果将纳米换算成国际标准长度单位米，那么7纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】由题意可得1纳米等于米，故7纳米等于米． 故选：A 3．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的减法，先化成同分母的分式，再分子相减即可． 【详解】原式 ， 故选：A． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方、完全平方公式、合并同类项、同底数幂除法等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据积的乘方、完全平方公式、合并同类项、同底数幂除法逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A错误，不符合题意； B. ，故选项B错误，不符合题意； C. 和不是同类项，不能合并，故选项C错误，不符合题意； D. ，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 5．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称但不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．是轴对称但不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意． 故选：D． 6．如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解直角三角形，由直角三角形的性质得，即得，由翻折的性质可得，，进而得，设与的交点为，由三角形内角和定理得，即可得，解直角三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，是边上的中线， ∴， ∴， 由翻折的性质可得，，， ∴， 如图，设与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．为喜迎国庆，某校团委准备从本校嘉嘉和琪琪两名同学中，挑选一名优秀的朗诵者参加比赛，他们对嘉嘉和琪琪进行了五次测试（满分为10分），把他们的成绩绘制成如下统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉的成绩越来越好，如果再朗读一次，一定还会得10分 B．嘉嘉的第三次成绩与第二次成绩相比，提高 C．琪琪的成绩比嘉嘉的成绩稳定 D．两人的成绩稳定性一样 【答案】C 【分析】本题主要考查折线统计图和随机事件，平均数，方差的计算，根据折线统计图算出两名学生成绩的方差即可判断C、D；根据随机事件的不确定性即可判断A；求出亮亮的第三次成绩与第二次成绩相比的增长率，即可判断B． 【详解】解：A. 由于跳远成绩具有随机性，如果再跳一次不一定还是10分，故A选项说法错误，不符合题意； B. 嘉嘉的第三次成绩与第二次成绩相比，增长率为，故B选项说法错误，不符合题意； C. 从两个折线图可以直观看出琪琪的成绩平均数为， 方差为， 嘉嘉的成绩平均数为， 方差为， ， 琪琪比嘉嘉的成绩稳定，故C说法正确，D选项说法错误， 故选：C． 8．如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分别与相切与点，结合圆的切线的性质，切线长定理得到，，，，再由 ，可证，进而可得，再由三线合一可得，再由同角的余角相等可得，进而可证，再由相似三角形对应边成比例求得，最后通过勾股定理即可求解； 【详解】解：连接， 分别与相切与点， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，掌握切线长相等，等腰三角形的三线合一，利用相似三角形对应边成比例求边长是解题的关键． 9．如图，已知菱形的边长为2，，E为AB的中点，F为CE的中点，与相交于点G，则的长等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明是等边三角形，取的中点M，连接，利用勾股定理，等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，解得即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】连接， ∵菱形的边长为2，，E为AB的中点，F为CE的中点， ∴是等边三角形，，， ∴，，， 取的中点M，连接， 则， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选D． 10．拋物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是拋物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②是抛物线上的两个点，若,且 ，则；③点为轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为；④若关于的方程无实数根，则的取值范围是．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴， ∵交y轴的负半轴， ∴， ∴， 故①正确． ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 又，且， ∴， ∴．故②错误． 作点C关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P，连接， 此时的值最小． 将代入二次函数解析式得，， 又∵， ∴ ∴，即 又抛物线与y轴的交点坐标为， ∴点C坐标为， ∴点坐标为． 又∵当时，即． 设直线的函数表达式为 将点D坐标代入得，， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入得，． ∴点P的坐标为．故③正确． 将方程整理得，， ∵方程没有实数根， ∴抛物线与直线没有公共点， ∴， ∴， 解得， 又， 所以． 故④正确． 所以正确的有①③④． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．先提取公因式，再利用公式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，再结合等边三角形与三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵，平行光线， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； 故答案为： 13．某校举办剪纸、木版年画、陶塑技艺、粤剧四个社团活动．小智、小慧参加其中一个活动且参加每个活动的可能性相同，则他们恰好参加同一活动的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列树状图求概率，利用概率计算公式求解即可，掌握树状图求概率的方法是解题的关键． 【详解】解：设：剪纸，：木版年画，：陶塑技艺，：粤剧， 列树状图如下：    共有种等可能结果，其中参加一样的活动的结果有种， 他们恰好参加同一活动的概率为； 故答案：． 14．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由，，得，代入即可求解，掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ， ∴， 故答案为：． 15．圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 m． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设该门洞的半径的半径为，过点作 于点，延长交圆于点，连接 ，则，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设该门洞的半径的半径为，如图，过点圆心作于点，延长交圆于点，连接， 则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即该门洞的半径为， 故答案为：． 16．如图，正方形与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，上的点满足．若的面积为，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数与几何图形综合．正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于，即由证明，，最后利用的面积列方程求解即可． 【详解】解：过作于，则四边形是矩形， ，， ． ， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去） 实数的值为3． 故答案为：3． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分6分）（1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）本题涉及绝对值、乘方运算、零指数幂、特殊角的三角函数值化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． （2）用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2） ①+②，得．解得． 把代入①，得．解得． ∴这个方程组的解为 【点睛】本题考查实数的综合运算能力以及解二元一次方程组，是各地中考题中常见的计算题型，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 18．（本题满分6分）如图，在中，． (1)实践与操作：在边上找一点D（点C，D不重合），使得为等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，试猜想之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点D，连接，此时，为等腰三角形； （2）由（1）知，，则，，由，可求，进而可证． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接，，点D即为所求： （2）解：，证明如下； 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作垂线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，作垂线，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 19．（本题满分6分）某校对学生开展了关于学校餐厅饭菜品质和餐厅服务质量的满意度问卷调查，学生满意度以分数（满分为5分）呈现，从低到高依次为1分、2分、3分、4分、5分．该校规定，若学生所评餐厅饭菜品质满意度和餐厅服务质量满意度的平均数或中位数低于3.5分，则需要对不合格项目进行整改．王老师从收回的有效问卷中随机抽取了20份，并把这20份问卷中学生对餐厅饭菜品质和餐厅服务质量的所评分数绘制成下列图表： 餐厅服务质量满意度统计表 分数/分 1 2 3 4 5 份数/份 2 3 5 8 2 根据以上信息，解答下列问题： (1)餐厅饭菜品质满意度的中位数是______分，餐厅服务质量满意度的平均数是______分． (2)若王老师从余下的有效问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起重新计算，则针对餐厅服务质量满意度的统计量中，一定不变的是______．（填“中位数”“众数”“平均数”或“方差”） (3)请你根据统计结果判断该校餐厅饭菜品质和餐厅服务质量是否需要整改，并说明理由． 【答案】(1)4， (2)众数 (3)该校餐厅饭菜品质不需要整改，而餐厅服务质量需要整改． 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数的定义，熟记各定义是解题关键． （1）根据中位数、平均数的定义即可得； （2）根据“中位数”“众数”“平均数”或“方差”的定义即可得； （3）比较餐厅饭菜品质满意度和餐厅服务质量满意度的平均数或中位数是否低于3.5分，即可求解． 【详解】（1）解：由中位数的定义，将餐厅饭菜品质满意度这组数据按从小到大（或从大到小）进行排列第10和11位的为4和4， 则中位数是， 由平均数的计算公式得：餐厅服务质量满意度的平均数是， 故答案为：4，； （2）解：餐厅服务质量满意度的中，4分出现了8次，最多，则众数是4分， 王老师从余下的有效问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起重新计算，则针对餐厅服务质量满意度的统计量中，“中位数”，“平均数”或“方差”都会改变， 只有“众数”不会改变； 故答案为：众数 （3）解：由于餐厅服务质量满意度的平均数， 餐厅饭菜品质的平均数为， ， 而餐厅饭菜品质的中位数是， 所以该校餐厅饭菜品质不需要整改，而餐厅服务质量需要整改． 20．（本题满分8分）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】楼与之间的距离的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长、分别于直线交于、，分别利用解三角形求出、、即可． 【详解】解：延长、分别交直线于、， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴楼与之间的距离的长约为． 21．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为2． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)观察图象，直接写出当时的取值范围； (3)点为轴上一动点，连接，，若的面积为18，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）根据待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【详解】（1）∵点的横坐标为2，且点在图象上 ∴ ∴, 将代入 得， ∴反比例函数解析式为； 联立 解得：或 ∴ （2）∵反比例函数与一次函数的两个交点， 观察图象，当时，的取值范围是或；； （3）设与轴交于点， 当时， ∴ 设， ∴ ∵的面积为18， ∴， ∴，即 解得：或 ∴点D的坐标为或． 22．（本题满分10分）如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形及平行线的性质可得，根据等边对等角可得，等量代换得出，即可证明平分； （2）先证，推出，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质求出，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵点E为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，难度一般，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 23．（本题满分10分）【项目式学习】 项目主题：数学眼光仪式设计 项目背景：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计． 任务一 测量建模 （1）如图1，研习小组测得表演场地宽度米，在A、B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） 任务二 方案设计 （2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米．为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距． 任务三 创意设计 （3）为使下一次“过水门”的设计更具创意，研习小组通过进一步分析发现：两个喷头同时向后移动相同的距离m米，此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，在喷头底端的同一直线上各安装一台射灯，射灯射出的光线与地面的夹角为且相交于一点．若光线与水柱之间的最小距离为米，此时右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为n米，则m的值为______，n的值为______． 【答案】（1），（2）彩旗队每相邻两列的间距为1.6米，（3）4，3 【分析】（1）根据题意取中点为O，建立直角坐标系，设函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，，垂足为点，，分别交抛物线于点、，分别求出点、的坐标，即可求解． （3）过T点作于点S，根据光线与水柱之间的最小距离为米，可得，设，，设直线的解析式为：，即有，可得直线的解析式为：；根据平移的性质可得右侧的抛物线的解析式为：，结合两水线新的交点相较于原交点C下降了1米，可得，即可得，右侧的抛物线的解析式为：，联立，得：，根据相切可得，可得，即直线的解析式为：，问题随之得解． 【详解】解：（1）由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系， 设所求抛物线的函数表达式为， 由题可知，，，，， 点N的坐标为，点C的坐标为， 将、代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，，垂足为点，，分别交抛物线于点、， 由题意可知，（米）， 点、的纵坐标均为4， 当时，， 解得， 点、的坐标分别为和， 最外侧两列彩旗队之间的距离为（米）， 即（米）， 答：彩旗队每相邻两列的间距为1.6米； （3）如图，右侧射灯的光线所在直线用表示，交x轴于点Q，交y轴于点P，将直线向左平移至与右边抛物线相切，平移后的直线交x轴于点T，交y轴于点W，过T点作于点S， 即有， ∵光线与水柱之间的最小距离为米， ∴与之间的距离为， ∵，， ∴， 结合题意有：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴结合，有是等腰直角三角形， ∴， ∴设，， 设直线的解析式为：， 即有，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵右侧的抛物线是由原抛物线向右平移m个单位所得， ∴右侧的抛物线的解析式为：， ∵两水线新的交点相较于原交点C下降了1米， ∴， 将代入，有， 解得：(负值舍去），即m的值为4； ∴右侧的抛物线的解析式为：， 联立， 得：， ∵直线与抛物线相切， ∴有两个相等的解， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵平移之前，右侧喷头所在点N的坐标为， ∴向右平移4米之后，现在点N的坐标为， ∴此时点B的坐标为：，即， ∴右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为， 故答案为：，． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的平移，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的判定与性质等知识，根据光线与水柱之间的最小距离为米，可得，且通过相切得出方程的，是解答本题的关键． 24．（本题满分12分）如图1，为的外接圆，点B为的中点，点F为劣弧上除弧中点外一动点，连接，，连接交于D点，过F点作的切线交直线于E点． (1)连接，则______，若，则的面积______； (2)判断的形状，并进行证明； (3)已知的半径为r，如图2，取延长线上一点G，连接，且平分． ①求；（结果用r表示） ②是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用r表示） 【答案】(1)120； (2)是等腰三角形，理由见解析 (3)①；②为定值，理由见解析 【分析】（1）根据圆周角定理易证为等边三角形，即可求出，根据等腰三角形三线合一的性质及解直角三角形即可求解； （2）连接，延长交于点N，连接，根据等腰三角形的性质及切线的性质得到，从而得到，即可得出结论； （3）①连接，由等边三角形的性质及切线的性质易证，利用相似三角形的性质即可求解；②设，，，则，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点O作， ∵点B为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，故为等边三角形， ∴，， ∴是的等腰三角形，， ，， ∴， 的面积； （2）解：是等腰三角形． 理由如下：连接，延长交于点N，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①连接， 由（2）得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴； ②为定值，理由如下： 设，，， ∴，， ∵平分， ∴点C到，的距离相等，设距离为h， ∴， ∵， ∴，即，整理得，即， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，切线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第1页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$