精品解析：2024年江苏省苏州市高新区九年级中考第二次模拟数学试题

2023-2024学年第二学期初三数学第二次模拟试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 2022的倒数是（　　） A. B. C. 2022 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此即可求得答案，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】2022的倒数是， 故选：D． 2. 图①是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由4个全等的图形组成的，则该图案（ ） A. 既是轴对称图形又是中心对称图形 B. 是轴对称图形但并不是中心对称图形 C. 是中心对称图形但并不是轴对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可； 【详解】解：∵该图形没有对称轴， ∴不是轴对称图形， ∵该图形绕中心点旋转180°后与原图重合， ∴是中心对称图形， 故选： C． 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合． 3. 为了了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查．下列抽取学生的方法最合适的是（　　） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校一个年级的学生 C. 随机抽取该校一部分男生 D. 分别从该校初一、初二、初三年级中各随机抽取10%的学生 【答案】D 【解析】 【详解】因为要了解初中的视力情况范围较大、难度较大，所以应采取抽样调查的方法比较合适，本题考查的是调查方法的选择，正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析，故只有D符合实际并具有普遍性，故选D． 4. 方程的解是（　　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解分式方程的基本步骤进行求解即可．先两边同时乘最简公分母，化为一元一次方程；然后按常规方法，解一元一次方程；最后检验所得一元一次方程的解是否为分式方程的解． 【详解】解：方程两边都乘，得 解这个方程，得 检验：将代入原方程，得 左边，右边，左边=右边． 所以，是原方程的根． 故选：A． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤和验根是解题的关键． 5. 如图，若随机向正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用割补法求得阴影面积，再根据几何概率计算求值即可； 【详解】解：将上边和左边的弓形面积补到下边和右边可得阴影面积为5×5=25， 该图形总面积为8×8=64， ∴针尖落在阴影部分的概率=， 故选： D． 【点睛】本题考查了几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示． 6. 如图，在中，，，BE平分交AD于E，CF平分交AD于F，则EF等于（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得∠AEB=∠CBE，∠CFD=∠BCF，再由BE平分，CF平分，可得∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，从而得到∠ABE=∠AEB，∠CFD =∠DCF，进而得到AE=AB=5，DF=CD=5，进而得到DE=2，即可求解． 【详解】解∶ 在中，AD∥BC，AB=CD=5， ∴∠AEB=∠CBE，∠CFD=∠BCF， ∵BE平分，CF平分， ∴∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF， ∴∠ABE=∠AEB，∠CFD =∠DCF， ∴AE=AB=5，DF=CD=5， ∵BC=7， ∴DE=2， ∴EF=DF-DE=3． 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定是解题的关键． 7. 如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质得度数为，再由为的外角求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴，只有D满足题意． 故选：D． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补． 8. 如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，，反比例函数的图像经过点A，且与BC相交于点D．若的面积为20，则k的值为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC，过点A作AE⊥OC于点E，根据菱形的性质可得△AOD的面积=△AOC的面积=20，再根据，可设，然后根据勾股定理可得，继而得到，从而得到△AOE的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接AC，过点A作AE⊥OC于点E， ∵四边形OACB是菱形， ∴OA=OC，OA∥BC， ∴△AOD的面积=△AOC的面积=20， ∵， 可设， ∴， ∴， ∴， ∴△AOE的面积为， ∵反比例函数的图像经过点A， ∴，解得：， ∵图像位于第一象限内， ∴k=24． 故选：C 【点睛】本题考查了解直角三角形，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】先用积的乘方法则把和分别平方，而后再用幂的乘方的法则计算． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方，解题的关键是熟练掌握积的乘方法则和幂的乘方法则． 10. 疫情期间，易加学院全面助力“居家学习”，截至2022年5月16日，访问总量超过38000000人次．38000000用科学记数法可以表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义计算求值即可； 【详解】解：38000000=3.8×107， 故答案为：3.8×107； 【点睛】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1的数表示成a×10n的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数． 11. 半径为，圆心角度数为的扇形的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，利用弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：扇形的弧长为， 故答案为：． 12. 若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】将化简为含有a﹣b的代数式，然后整体代入即可求出所求的结果． 【详解】解：∵a﹣b＝1， ∴ ＝ ＝a+b﹣2b ＝a﹣b ＝1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，从多项式中整理成已知条件的形式，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 13. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与的面积比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出相似比为，再根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：， ， 与是位似图形， 与的相似比为， ， 即与的面积比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 14. 如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作轴，交该图像于点D．若、，则的面积为________． 【答案】20 【解析】 【分析】由抛物线的对称性及点D，B的坐标可得点A，C的坐标，进而求解． 【详解】解：∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点， ∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称， ∵D（6，4）， ∴点C坐标为（0，4）， ∴抛物线对称轴为直线x=3， 由B（8，0）可得点A坐标为（-2，0）， ∴S△ABC=AB•OC=×10×4=20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质． 15. 如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则sinA的值为_______． 【答案】． 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB交于点D，构造出Rt△ACD，利用△ABC面积相等计算出CD的值，即可在Rt△ACD求出sinA的值． 【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB交于点D， 设每个小正方形的边长为1，则： BC＝4，AE＝3，AB＝＝，AC＝， ∵， ∴CD＝4×3＝12， ∴CD＝， 在Rt△ADC中，sinA＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，根据题意结合图形合理作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 16. 如图，等边的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为，其中，正确结论的序号为_______. 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】①根据三角形三边之间的关系得，进而得，同理得，即，进而得，由此得与不可能相等． ②假设与相似，设，利用相似三角形对应边成比例，列比例式得出x的值，再与x的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立； ③过P作于E，过D作于F，过C点作于G点，利用函数求四边形面积的最大值．设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值； ④作D点关于直线的对称点，作，且，连接交 于P点，将P点沿射线平移得Q点，连接、、，则可得四边形是平行四边形．进而可得则四边形的周长，此时四边形的周长最小，计算出，根据勾股定理即可求出的值，进而可得四边形周长的最小值，即可得解． 【详解】①在中，， ， ， 即， 当Q点与A点重合时， ． 在中，， ， ， ， ， 当P点与B点重合时， ． 综上，当Q点与A点重合时，； 当P点与B点重合时，； 当P、Q不与A、B重合时． ∴与不可能相等， 故①错误． ②设， ，， ， ． 假设与相似， ， ， ， 整理得，， 解得：，， ， ∴或1.5都符合题意， ∴与可能相似， 故②正确． ③如图，过P作于E，过D作于F，过C点作于G点． 设，则， ． ， ， ． ，， ， ． 中，，， ， ， ， ∵S随x的增大而增大， ∴当x取最大值2.5时，S的值最大， ， 故③正确． ④如图，作D点关于直线的对称点，作，且，连接交 于P点，将P点沿射线平移得Q点，连接、、， 则，，且四边形是平行四边形， ， 则四边形的周长 ， 此时四边形的周长最小． 连接， ，且， ， ， ，且， ． 在中，， ∴四边形的周长的最小值为， 故④错误． 故答案为：②③ 【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解． 三、解答题：本大题共10小题，共82分． 17. 计算：． 【答案】8 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，零指数幂，算术平方根的定义计算求值即可； 【详解】解：原式=5-1+4=8； 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：x≥-2， 解不等式②得：x＜， 则不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 求代数式的值，其中． 【答案】，； 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则，结合因式分解化简即可； 【详解】解：原式=， 代入得：原式=； 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简；掌握相关运算法则是解题关键． 20. 如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D （1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）9． 【解析】 【分析】(1)首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC∥DE； (2)根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案． 【详解】解：(1)在△ABC和△DFE中 ， ∴△ABC≌△DFE（SAS）， ∴∠ACE=∠DEF， ∴AC∥DE； (2)∵△ABC≌△DFE， ∴BC=EF， ∴CB﹣EC=EF﹣EC， ∴EB=CF， ∵BF=13，EC=5， ∴EB=4， ∴CB=4+5=9． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是合理的运用三角形的判定和性质． 21. “减少外出减少运动”．为便于同学们居家锻炼，苏州推出了居家健身小课堂．某校为了调查学生三月份参加居家健身锻炼的情况，从全校1500名学生中随机抽取了200名进行了调查，并将调查的数据整理如下： 学生参加健身锻炼次数的频数分布表 锻炼次数n（代号） 频数 10 a 68 80 频率 0.05 b 0.34 c （1）表格中________； （2）将扇形统计图补充完整； （3）估计该校三月份参加健身锻炼超过14次的学生人数． 【答案】（1）42 （2）见解析 （3）960人 【解析】 【分析】（1）根据参与调查的人数为200人即可得到答案； （2）分别求出b、c的值，然后补全统计图即可； （3）用1500乘以样本中锻炼超过14次的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解： ∴该校三月份参加健身锻炼超过14次的学生人数为960人． 【点睛】本题主要考查了频数与频率分布表，扇形统计图，用样本估计总体，正确读懂题意是解题的关键． 22. 甲、乙、丙3名同学进行羽毛球单打比赛，现需选取2名同学打第一场比赛． （1）若已确定甲打第一场，需再从另2名同学中随机选取1名，则选中乙的概率为________； （2）求随机选取2名同学，其中有乙同学的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一共有2种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案； （2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【小问1详解】 解：若已确定甲打第一场，需再从另2名同学中随机选取1名， 则选中乙的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 所有的等可能的结果数有6种，符合条件的结果数有4种， 所有随机选取2名同学，其中有乙同学的概率为 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 如图，函数y＝x与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（n，4）．点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B作轴，BC与y轴相交于点C，且AB＝AC． （1）求m、n的值； （2）求直线AB的函数表达式． 【答案】（1）m＝12，n＝3 （2）直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6 【解析】 【分析】(1)首先把A（n，4）代入y＝x，可求得n的值及点A的坐标，再把点A的坐标代入y＝，即可求得m的值即可； (2) 过点A作AD⊥BC于D，由AB＝AC，可得BC＝2CD，由轴，CD＝3，BC＝6，可得B（6，2），再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式． 【小问1详解】 解：∵函数y＝x与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（n，4）， ∴n＝4，解得：n＝3， ∴A（3，4）， 把A（3，4）代入y＝，得， 解得m=12， ∴m＝12，n＝3． 【小问2详解】 解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示． ∵AB＝AC， ∴BC＝2CD． ∵轴， ∴AD⊥x轴． ∵A（3，4）， ∴CD＝3，BC＝6． 当x＝6时，y＝＝2， ∴B（6，2）． 设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（3，4）、B（6，2）代入y＝kx+b中， ， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，作出辅助线是解决本题的关键． 24. 如图，AB为的直径，点C在上，点D在AB的延长线上，过点O作于点E，交CD于点F，且． （1）求证：CD是的切线； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC.，由圆周角定理得，由等腰三角形性质得，最后推出，可得结果； （2）由等腰三角形性质得，由中位线性质得，，再证明，可得，，，求出OC，最后求出的值． 【小问1详解】 如答图①，连接OC. ∵AB为的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵OC为半径， ∴CD是的切线． 【小问2详解】 ∵，， ∴， 又∵， ∴OE为的中位线， ∴，， ∵， ∴. ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 在中，． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理中位线定理、解直角三角形以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 25. [理解概念] 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE即为的“矩形框”． （1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的________； （2）钝角三角形的“矩形框”有________个； （3）[巩固新知] 如图①，的“矩形框”ABDE的边，，则周长的最小值为________cm： （4）如图②，已知中，，，，求的“矩形框”的周长； （5）[解决问题] 如图③，锐角三角形木板ABC的边，，，求出该木板的“矩形框”周长的最小值． 【答案】（1）或一半 （2）1 （3） （4）14cm或 （5） 【解析】 【分析】（1）利用面积公式可直接得到答案； （2）由钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，从而可得答案； （3）如图，作A关于DE的对称点M，连接BM，交DE于C，则此时的周长最短，且 再利用勾股定理可得答案； （4）当AC或BC与“矩形框”一边重合时，利用矩形的性质直接可得答案；当AB与“矩形框”一边重合时，如答图④，作交AB于D．再利用等面积法求解CD，从而可得答案； （5）分三种情况讨论：当AB与“矩形框”一边重合时，如答图⑤，作交AB于F．再利用勾股定理求解．可得此时矩形框的周长为： 当BC与“矩形框”一边重合时，作交BC于D．求解．可得此时矩形框的周长为： 当AC与“矩形框”一边重合时，作交AC于E．求解．可得此时矩形框的周长为： 从而可得答案． 【小问1详解】 解： 故答案为：或一半； 【小问2详解】 由矩形框的含义可得：钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边， 所以钝角三角形的矩形框只有1个， 故答案为1 【小问3详解】 如图，作A关于DE的对称点M，连接BM，交DE于C，则此时的周长最短， 由对称的性质可得 而 此时： 故答案为： 【小问4详解】 当AC或BC与“矩形框”一边重合时，周长为； 当AB与“矩形框”一边重合时，如答图④，作交AB于D． ∵在中，， ∴， ∴． ∵． ∴， ∴周长为． 综上，的“矩形框”的周长为14cm或． 【小问5详解】 当AB与“矩形框”一边重合时，如答图⑤，作交AB于F． 设，则， 在中，∵，∴． 在中，∵，∴． ∴，解得， ∴． 此时矩形框的周长为： 当BC与“矩形框”一边重合时，作交BC于D． ∵． ∴． 此时矩形框的周长为： 当AC与“矩形框”一边重合时，作交AC于E． ∵， ∴． 此时矩形框的周长为： ∴当BC与“矩形框”一边重合时，周长最小， 可知该木板的“矩形框”周长的最小值为 【点睛】本题考查的勾股定理的应用，矩形的性质，二次根式的化简，清晰的分类是解本题的关键． 26. 图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． （1）______，______，补全函数图象； （2）求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； （3）连接，交于点，求平分时的值． 【答案】（1）；；补全函数图象见解析 （2） （3） 平分 时 的值为 【解析】 【分析】（1）根据当时，从点正好运动到点，即可求出运动速度，根据当时，，求出的长，然后用，即可算出的长，根据时，，补全图象即可； （2）分或两种情况下，使的面积为的值不小于的的取值范围，即可求出结果； （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知条件写出、、、的坐标，根据点为的中点，写出点的坐标，求出用表示的的函数关系式，把点的坐标代入，解关于的方程即可得出的值． 【小问1详解】 解：图是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， 点运动的速度， 当时，， 即， ， ， ； 当时，， 当时，从运动到点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：；；补全图象见解析． 【小问2详解】 当时，，， ，即， 整理得， 解得：， ， ； 当时，， ，即， 解得：， ； 综上分析可知，当时，的面积为的值不小于． 【小问3详解】 以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 平分， 点为的中点， 点的坐标为：， 设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，（舍去）， 即平分时的值是． 【点睛】本题主要考查了动点问题，一次函数关系式，二次函数关系式，解不等式，以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，用函数的思想解决问题（3），是解题的关键． 27. 如图，抛物线（m为常数）与x轴交于A、B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． （1）下列说法：①抛物线开口向上；②点C在y轴正半轴上；③；④抛物线顶点在直线上，其中正确的是______； （2）如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点（点M在点N下方），试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值； （3）在（2）的条件下，设直线与y轴交于点D，连接，当时，求此时m的值，判断与是否相似，并说明理由． 【答案】（1）①③④ （2） （3），理由如下： ∵， ∴， ， 对直线，当时，， ， 设，则， 解得：或， 或 将代入，得， 解得：或， 当时，， 令时，或， ∴， 由，得：或， ∴，符合条件； ∴， ∴， ∴与不相似，舍去： 当时，， 令时，，无解； 将代入，得， 解得：或， 当时，不符合条件，舍去； 当时，， 由，得：或， ∴， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，时，与相似． 【解析】 【分析】（1）由二次项系数判定①，令计算的值判定②，令，得到关于的一元二次方程，由函数与轴交于点和点得到该方程有两个不同的实数根判定③，由解析式得到顶点的坐标，然后代入直线判定④； （2）联立直线解析式和抛物线解析式得到关于的一元二次方程，进而由根与系数的关系得到点和点两点横坐标之间的关系，再结合两点之间的距离公式求得线段的长度，判定是否为定值； （3）先根据算出的长度，然后利用两点间的距离公式计算得到点的坐标，再将点的坐标代入抛物线解析式求出得到相关抛物线的解析式，进而联立直线和抛物线的解析式求出点和点的坐标进行判定三角形是否相似． 【小问1详解】 解：由得顶点坐标为，二次项系数为1， ∴开口向上，故①正确，符合题意； 当时，， ∴点不一定在轴正半轴上，故②错误，不符合题意； 令，得，即， ∵抛物线与轴交于两点，且点在点的右侧， ∴该方程有两个不同的实数根， 解得：，故③正确，符合题意； 将顶点坐标代入直线，得，故④正确，符合题意； 故答案为：①③④． 【小问2详解】 由，得：， 设，则， ， ， ∴线段的长度是定值． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、两点之间的距离公式、相似三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是学会将题目中的语句和相关的知识点连接解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期初三数学第二次模拟试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 2022的倒数是（　　） A. B. C. 2022 D. 2. 图①是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由4个全等的图形组成的，则该图案（ ） A. 既是轴对称图形又是中心对称图形 B. 是轴对称图形但并不是中心对称图形 C. 是中心对称图形但并不是轴对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 3. 为了了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查．下列抽取学生的方法最合适的是（　　） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校一个年级的学生 C. 随机抽取该校一部分男生 D. 分别从该校初一、初二、初三年级中各随机抽取10%的学生 4. 方程的解是（　　　）． A. B. C. D. 5. 如图，若随机向正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，BE平分交AD于E，CF平分交AD于F，则EF等于（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 7. 如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，，反比例函数的图像经过点A，且与BC相交于点D．若的面积为20，则k的值为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 32 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 计算：________． 10. 疫情期间，易加学院全面助力“居家学习”，截至2022年5月16日，访问总量超过38000000人次．38000000用科学记数法可以表示为________． 11. 半径为，圆心角度数为的扇形的弧长为______． 12. 若，则________． 13. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与的面积比为___________． 14. 如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作轴，交该图像于点D．若、，则的面积为________． 15. 如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则sinA的值为_______． 16. 如图，等边的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为，其中，正确结论的序号为_______. 三、解答题：本大题共10小题，共82分． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 求代数式的值，其中． 20. 如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D （1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长． 21. “减少外出减少运动”．为便于同学们居家锻炼，苏州推出了居家健身小课堂．某校为了调查学生三月份参加居家健身锻炼的情况，从全校1500名学生中随机抽取了200名进行了调查，并将调查的数据整理如下： 学生参加健身锻炼次数的频数分布表 锻炼次数n（代号） 频数 10 a 68 80 频率 0.05 b 0.34 c （1）表格中________； （2）将扇形统计图补充完整； （3）估计该校三月份参加健身锻炼超过14次的学生人数． 22. 甲、乙、丙3名同学进行羽毛球单打比赛，现需选取2名同学打第一场比赛． （1）若已确定甲打第一场，需再从另2名同学中随机选取1名，则选中乙的概率为________； （2）求随机选取2名同学，其中有乙同学的概率． 23. 如图，函数y＝x与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（n，4）．点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B作轴，BC与y轴相交于点C，且AB＝AC． （1）求m、n的值； （2）求直线AB的函数表达式． 24. 如图，AB为的直径，点C在上，点D在AB的延长线上，过点O作于点E，交CD于点F，且． （1）求证：CD是的切线； （2）已知，，求的值． 25. [理解概念] 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE即为的“矩形框”． （1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的________； （2）钝角三角形的“矩形框”有________个； （3）[巩固新知] 如图①，的“矩形框”ABDE的边，，则周长的最小值为________cm： （4）如图②，已知中，，，，求的“矩形框”的周长； （5）[解决问题] 如图③，锐角三角形木板ABC的边，，，求出该木板的“矩形框”周长的最小值． 26. 图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． （1）______，______，补全函数图象； （2）求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； （3）连接，交于点，求平分时的值． 27. 如图，抛物线（m为常数）与x轴交于A、B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． （1）下列说法：①抛物线开口向上；②点C在y轴正半轴上；③；④抛物线顶点在直线上，其中正确的是______； （2）如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点（点M在点N下方），试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值； （3）在（2）的条件下，设直线与y轴交于点D，连接，当时，求此时m的值，判断与是否相似，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $