精品解析：2024年云南省昆明市五华区云南大学附属中学中考三模数学试题

数学试题卷 （全卷共三大题，27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，3月份的泰山，山脚平均气温为零上，记作，山顶平均气温为零下，记作（ ） A. B. C. D. 2. 2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 国家提倡“低碳减排”，某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为213000000度，若将数据213000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. x> B. x< C. x= D. x≠ 8. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 9. 对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A. 图像经过点（1，﹣3） B. 图像位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 10. “俭以养德”是中华民族的优秀传统，时代中学为了对全校学生零花钱的使用进行正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行了统计，并根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图，如图所示： 组别 零花钱数额 /元 频数 一 二 12 三 15 四 五 5 关于这次调查，下列说法正确的是（ ） A. 总体为50名学生一周的零花钱数额 B. 五组对应扇形的圆心角度数为36° C. 在这次调查中，四组的频数为6 D. 若该校共有学生1500人，则估计该校零花钱数额不超过20元的人数约为1200人 11. 如图，在矩形 中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 12. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（ ） A. 32 B. 33 C. 37 D. 41 13. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 14. 已知和是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 6 D. 15. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为 ，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积 介于整数 和之间，则 的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：2x2﹣8=_______ 17. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 18. 当 时，，则__________． 19. 将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，点 、 在三角板上所对应的刻度分别是、，重叠阴影部分的量角器弧所对的扇形圆心角，若用该扇形围成一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则该圆锥的底面半径为______． 三、解答（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取 的垂线 上的两点C，D，使，再画出 的垂线 ，使E与A，C在一条直线上，这时测得 的长就是 的长．判断以上方法是否可行，如果可行，请证明；如果不可行，请说明理由． 22. “有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁”，高铁的便捷性使得其成为越来越多百姓出行的首选．已知广州到长沙的铁路全程约为700公里，乘坐高铁列车比乘坐特快列车少用4.5小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，分别计算高铁列车和特快列车的平均速度． 23. 北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱着陆，云南籍航天员桂海潮出舱后表示：“无论身处太空，还是回到地面，我都会心怀宇宙，知行合一，期待再次到中国空间站出差！”、为引导同学们学习天文知识、探索宇宙奥秘，学校组织了“中国梦·航天情”系列活动、下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）： 项目 班次 知识竞赛 演讲比赛 版面创作 甲 82 91 86 乙 92 85 83 （1）如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班哪个班级获胜；那么甲、乙两班最终获胜的班级是__________班．（填“甲”或“乙”） （2）学校决定从八年级演讲比赛表现优秀的1名男生和2名女生中任选两名学生参加市级演讲比赛，请用列表法或画树状图法求选中一名男生一名女生的概率． 24. 为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 25. 如图，四边形 是平行四边形，相交于点O，点E是 的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形 是菱形，，，求 的长． 26. 平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 27. 如图，点A，B，C在上， 为的直径，延长 至点D，使得，点E是弦 上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦 的垂线，交 于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）． （1）是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）若，，，求的面积． （3）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题卷 （全卷共三大题，27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，3月份的泰山，山脚平均气温为零上，记作，山顶平均气温为零下，记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正负数的应用及相反意义的量求解即可，理解题意是解题关键． 【详解】解：∵山脚平均气温为零上，记作， ∴山顶平均气温为零下，记作， 故选：A． 2. 2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义即可得出答案． 【详解】A.不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 3. 国家提倡“低碳减排”，某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为213000000度，若将数据213000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）． 【详解】解： 213000000一共9位，从而213000000=2.13×108． 故选：C． 4. 在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图画法．熟练掌握简单几何体的三视图画法是解题的关键． 根据主视图、左视图、俯视图的画法画出相应的图形进行判断即可． 【详解】解：选项A：如图，三视图不相同，故不符合题意． 选项B：如图，三视图不相同，故不符合题意． 选项C：如图，球体的三视图都相同，都是圆形，故正确． 选项D：如图，三视图不相同，故不符合题意． 故选C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以多项式，熟练掌握以上运算法则以及公式是解题的关键． 根据实数的运算，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该不选项正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了邻补角，两直线平行，内错角相等．熟练掌握邻补角，两直线平行，内错角相等是解题的关键． 由题意知，，由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 故选：C． 7. 若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. x> B. x< C. x= D. x≠ 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，2x-3≠0， 解得，x≠， 故答案为：D． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 8. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的关键．根据众数、中位数的定义进行解答即可． 【详解】这组数据中，出现次数最多的是23，因此众数是23， 将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，由此中位数是24． 故选C． 9. 对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A. 图像经过点（1，﹣3） B. 图像位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵反比例函数， ∴当x＝1时，，故选项A不符合题意； k＝﹣3，故该函数图像位于第二、四象限，故选项B不符合题意； 当x＜0，y随x的增大而增大，故选项C符合题意； 当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 10. “俭以养德”是中华民族的优秀传统，时代中学为了对全校学生零花钱的使用进行正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行了统计，并根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图，如图所示： 组别 零花钱数额 /元 频数 一 二 12 三 15 四 五 5 关于这次调查，下列说法正确的是（ ） A. 总体为50名学生一周的零花钱数额 B. 五组对应扇形的圆心角度数为36° C. 在这次调查中，四组的频数为6 D. 若该校共有学生1500人，则估计该校零花钱数额不超过20元的人数约为1200人 【答案】B 【解析】 【分析】选项A根据“总体”的定义判定即可；选项B用360°乘“五组”所占的百分比即可求出对应的扇形圆心角的度数；选项C根据“频率=频数 总数”可得答案；选项D利用样本估计总体即可． 【详解】解：总体为全校学生一周的零花钱数额，故选项A不合题意； 五组对应扇形的圆心角度数为：，故选项B符合题意； 在这次调查中，四组的频数为：50×16%=8，故选项C不合题意； 若该校共有学生1500人，则估计该校零花钱数额不超过20元的人数约为：（人），故选项D不合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用． 读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 11. 如图，在矩形 中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据矩形的性质可得，然后运用勾股定理可，然后再说明,然后根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵在矩形 中， ∴， ∵，， ∴, ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选C． 12. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（ ） A. 32 B. 33 C. 37 D. 41 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的变化规律得出第 个图形中有个正方形即可． 【详解】解：由题知，第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， 第④个图案中有个正方形， …， 第 个图形中有个正方形， ∴第⑩个图案中正方形的个数为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第 个图形中有个正方形是解题的关键． 13. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】连接 ，根据圆周角定理，垂径定理即可求解； 解： 连接 ， 是上的一条弦，直径， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，正确做出辅助线是解本题的关键． 14. 已知 和是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵ 和是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：D． 15. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为 ，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数 和之间，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为， 则， 所以其面积， 的值为 ． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 17. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 18. 当 时，，则__________． 【答案】2019 【解析】 【分析】本题考查整式的加减化简求值知识点，应用整体思想求值是解题关键． 将 代入，求得，然后利用整体思想代入求解． 【详解】解：将 代入得，， 故． 故答案为：2019． 19. 将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，点 、 在三角板上所对应的刻度分别是、，重叠阴影部分的量角器弧所对的扇形圆心角，若用该扇形围成一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则该圆锥的底面半径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用弧长公式求出弧长，再利用弧长等于圆锥的底面周长求半径即可． 【详解】根据题意有扇形的半径为6cm，圆心角 ∴ 设圆锥底面半径为r ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查圆锥底面半径，掌握弧长公式是解题的关键． 三、解答（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质熟知以上知识是解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 21. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取 的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线 ，使E与A，C在一条直线上，这时测得 的长就是 的长．判断以上方法是否可行，如果可行，请证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】可行，， 证明：理由如下： ， ， 在 和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键． 由垂线的定义可得出，结合，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【详解】略 22. “有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁”，高铁的便捷性使得其成为越来越多百姓出行的首选．已知广州到长沙的铁路全程约为700公里，乘坐高铁列车比乘坐特快列车少用4.5小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，分别计算高铁列车和特快列车的平均速度． 【答案】高铁列车的平均速度为280公里小时，特快列车的平均速度为100公里小时． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设特快列车的平均速度为 公里小时，则高铁列车的平均速度为公里小时，根据广州到长沙的铁路全程约为700公里，乘坐高铁列车比乘坐特快列车少用4.5小时，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设特快列车的平均速度为 公里小时，则高铁列车的平均速度为公里小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：高铁列车的平均速度为280公里小时，特快列车的平均速度为100公里小时． 23. 北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱着陆，云南籍航天员桂海潮出舱后表示：“无论身处太空，还是回到地面，我都会心怀宇宙，知行合一，期待再次到中国空间站出差！”、为引导同学们学习天文知识、探索宇宙奥秘，学校组织了“中国梦·航天情”系列活动、下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）： 项目 班次 知识竞赛 演讲比赛 版面创作 甲 82 91 86 乙 92 85 83 （1）如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班哪个班级获胜；那么甲、乙两班最终获胜的班级是__________班．（填“甲”或“乙”） （2）学校决定从八年级演讲比赛表现优秀的1名男生和2名女生中任选两名学生参加市级演讲比赛，请用列表法或画树状图法求选中一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）乙 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的表格，求出相应的概率． （1）根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：甲的平均成绩为(分)， 乙的平均成绩为(分)， ∴乙班获胜； 故答案为：乙； 【小问2详解】 列表如下： 男 女 女 男 (男，女) (男，女) 女 (女，男) (女，女) 女 (女，男) (女，女) 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种， ∴选中一名男生一名女生的概率为． 24. 为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 【答案】（1）y=8x（0≤x<20），y=6.4x+32（x≥20）；（2）当购买数量x=35时，W总费用最低，W最低=326元． 【解析】 【分析】（1）根据函数图像找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组求出x的取值范围，再根据“所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用”可得出W关于x的函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】解：（1）当0≤x<20时，设y与x的函数关系式为：y=mx， 把（20，160）代入y=mx，得160=20m， 解得m=8, 故当0≤x<20时，y与x的函数关系式为：y=8x； 当x≥20时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b， 把（20，160），（40，288）代入y=kx+b得： ， 解得：， ∴y=6.4x+32． ∴y与x的函数关系式为：y=8x（0≤x<20），y=6.4x+32（x≥20）； （2）∵B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量， ∴， ∴22.5≤x≤35， 设总费用为W元，则W=6.4x+32+7（45﹣x）=﹣0.6x+347， ∵k=﹣0.6， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=35时，W总费用最低，W最低=﹣0.6×35+347=326（元）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次不等式组，解决该题型题目时，根据函数图像找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键． 25. 如图，四边形 是平行四边形，相交于点O，点E是 的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形 是菱形，，，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∵点 是 的中点， ∴． ∴， ∴， ∵于点于点 ， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵， ， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以于点于点 ，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知 ，根据已知可求出 ，然后利用等面积法求出，再根据矩形的性质求出 即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是菱形， ， ， ， 在中，， ， 即， ， ∵四边形是矩形， ． 26. 平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】（1），抛物线得对称轴为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解． （1）令 可求点 坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴． （2）由点为顶点，点 在直线上运动，通过数形结合求解． 【小问1详解】 解：令 ，则， ， ， ∴抛物线的对称轴为． 【小问2详解】 ∵抛物线的对称轴为． 设点 关于对称轴的对称点为点 ， ∴． ∵， ∴点都在直线上． 当时，如图， 当点 在点 的左侧(包括点 )或点 在点 的右侧（包括点 )时，线段与抛物线只有一个公共点． ∴或． ∴(不合题意，舍去)或． ②当 时，如图，当 在点 与点 之间（包括点 ，不包括点 )时，线段与抛物线只有一个公共点． ， ， 又， ， 综上所述， 的取值范围为或． 27. 如图，点A，B，C在上， 为的直径，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦 的垂线，交 于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）． （1）是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）若，，，求的面积． （3）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） 是圆的切线， 证明：如图，∵ 为的直径， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∴是的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，解直角三角形，求函数解析式等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用． （1）依据题意，由圆周角定理得到，从而，然后根据，可以得解； （2）求出，由得到，得到 ，证明，得到，则，即可得到； （3）依据题意，连接，分别在中，找出边之间的关系，进而由，可以得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 是的直径， ∴， ∴， 由，可设， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， 【小问3详解】 设， ∵， ∴． 如图，连接． ∴在中，． ∴，． ∴在中，，． 在中，．（∵，∴ ） ． 在中，，． ∴ ． 即． ∵， ∴最大值为F与O重合时，即为1． ∴． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $