2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题卷（终极卷）

2024年长沙市初中学业水平考试押题卷（终极卷） 温馨提示： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数中最大的数是（    ） A．0 B． C． D． 2．花钿是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，是唐代比较流行的一种首饰．下列四种花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A．B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．2024 年春节期间电影票房迎来大井喷，其中《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》《熊出没·逆转时空》合计贡献了大盘超95%的票房，这四部电影票房累计突破113亿．数据“113亿”用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 5．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，，以点C为圆心、长为半径画弧，交边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交边于点E．若，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 7．如图，直线，，AC平分，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 8．4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近1个月内每人阅读课外书的数量，统计结果如下： 课外书数量（本） 1 2 3 4 人数 7 9 8 6 则这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．3，4 B．3，2 C．2，3 D．2，2 9．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 10．在象棋中，“兵”在过河后，可以向左、向右或往前行进一步，但是永远不能往后方移动．如图，“兵”已经过河了，可以向右、向上行进．那么“兵”从现在的位置走到“将”的位置，且要使路程之和最短，有几种行走的路线（　　） A．16 B．20 C．24 D．32 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 12．分解因式： ． 13．方程的解为 ． 14．某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为 米． 15．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为 ． 16．如图，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，点P从A出发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，点P运动过程中，BQ的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分） 17．计算： 18．先化简，再求值：，其中，． 19．大别山旅游资源丰富，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道，设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建，；两段长度相等的观光索道；最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台，长度为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为．A，B两处的水平距离为，，垂足为F（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上，计算结果精确到，参考数据：，，，） (1)求索道的长． (2)求水平距离的长． 20．随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：          (1)估计这所学校3000名学生中，“不了解”的人数是多少人． (2)“非常了解”的4人中有，，两名男生，，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 21．如图，等腰中，，，点为斜边上一点（不与，重合），，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接、． (1)求证： (2)若，，求的长． 22．某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用A种客车多少辆，这次研学去了多少人； (2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ 23．如图1，在正方形中，点P在上，分别过点C、D作于点E、G，联结，过点C作于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的值； (3)如图2，若，经过的中点K，求的长． 24．如图1，在矩形中，，，点在射线上（不与点重合），以为圆心，为半径向上作半圆，半圆交延长线于点． (1)若，是半圆上一点，则、两点之间距离的最小值为______． (2)如图2，连接交半圆于点，在接交半圆于点，若点恰好是的中点，求的长；【注：，】 (3)连接，若半圆与的边有两个交点，求的取值范围． 25．定义：一般地，如果函数的图象经过点，（、），那么我们称函数为卡尔达诺函数，这对点叫做函数的一对最佳偏移点． (1)当对于函数，，时． ①求证：若为卡尔达诺函数，则； ②设函数为卡尔达诺函数，（）也为卡尔达诺函数，且、恒存在相同的一对最佳偏移点，求函数的函数解析式． (2)已知卡尔达诺函数的一个最佳偏移点为． ①当时，该函数的最大值与最小值之差为，求的值； ②已知点，，，当与的图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 B D D C C A C D D B 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15．2 16． 三、解答题 17．【详解】解：原式 ． 18．【详解】解： ， 当，时，原式． 19．【详解】（1）解：A，B两处的水平距离为，索道与的夹角为， ； （2）解：如图，延长交于点G，     ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ． 20．【详解】（1）解：（1）本次调查的学生总人数为， “不了解”对应的百分比， ∴估计该校名学生中“不了解”的人数是（人）， 即估计这所学校名学生中，“不了解”的人数是人； （2）解：将抽取分别记为第一次和第二次，用下表列出所有可能出现的结果 第一次第二次 由表可知，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，可能出现的结果有种，恰好抽到2名男生的结果有2个， ∴P（抽到2名男生） ， 即恰好抽到2名男生的概率为． 21．【详解】（1）证明：由旋转可知， ，， ， ， ． 在和中，， ； （2）解：， ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 又， 则在中， ， 22．【详解】（1）解：设租用A种客车x辆，则这次研学一共有人， 根据题意得， 解得：， 人， 答：原计划租用A种客车26辆，这次研学一共有1200人； （2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆， 根据题意得， 解得：， ∵B种客车不超过7辆， ∴， 又∵y为正整数，y可以为5，6，7， ∴该校共有 3 种租车方案： 方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车； 方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车． 23．【详解】（1）证明∵， ∴四边形是矩形. 在正方形中， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ∴. ∴四边形是正方形. （2）连接交于点O，由（1）可得. 又， ∴. ∴. 又， ∴ ∴，. ∴ ∴. ∴； （3）连接. 由题意得，则. 由（2）可知，， ∵， ∴.      所以. 设，则，在中，由勾股定理得， 则， 又， ∴， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴. 所以． 24．【详解】（1）连接，交圆O于点M，如图，此时、两点之间距离最小， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8； （2）交于点N，如图， ∵点恰好是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴结合，有， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）设与半圆O相切于点G，连接，如图， 此时，半圆与的边有一个交点， 随着半径的增大，半圆与的边有两个个交点， ∵与半圆O相切于点G， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴； 随着半圆的半径继续扩大，当半圆O经过点B时，如图， 此时，半圆与的边又只有一个交点， 此时有：， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴半圆与的边有两个交点时， 的取值范围为：． 25．【详解】（1）解：①∵为卡尔达诺函数， ∴设一对最佳偏移点为和， ∴， 得：， ∴； ②∵函数为卡尔达诺函数，（）也为卡尔达诺函数，且、恒存在相同的一对最佳偏移点， 由①得：， ∴函数，设、相同的一对最佳偏移点为和， ∴把代入，得：， 把和代入（），得：， ∴得：，即， ∴， ∴函数的函数解析式为； （2）解：①∵卡尔达诺函数的一个最佳偏移点为，当时，该函数的最大值与最小值之差为， ∵对称轴是，，另一个最佳偏移点为，， ∴，， ∴把代入得：， ∴，则， ∴， 时，， 当时，则， ∴当时，“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∵函数的最大值与最小值之差为， ∴，整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或； 当时，则， 若，即时，则“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∴，整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，则， 若，即时，则“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∴，整理得：， ∴，解得：（舍去）或； 当时，则， 若，即时，则“时，函数取得最大值”，“时，函数取得最小值”， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或（舍去）． 综上所述，的值为或或； ②∵由①得：， ∴当的图象经过点时，， 整理得：， ， ， ∴，解得：，， 如图，当时，与的图象没有公共点，   ； 如图，当时，与的图象有一个公共点，   ； 如图，当时，与的图象有两个公共点，   ； 如图，当时，与的图象有一个公共点，   ； 如图，当时，与的图象没有公共点，   ； 综上所述，当与的图象有两个公共点时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$