精品解析：2024年甘肃省武威市 民勤县新河中学联考中考三模数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省民勤县新河中学联考九年级数学三模试卷 一、选择题（共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 5. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是（ ） A. 23 B. 16 C. 22 D. 15 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 8. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 9. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，，且，则的长度是（　　） A. B. 2 C. 8 D. 10. 已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 已知，的平方根是______． 12. 分解因式：______． 13. 若关于的方程有增根，则_______． 14. 如图，，平分，，则__________度. 15. 如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则_____度． 16. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC=_____． 17. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 18. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为___． 三、计算题（共8分） 19. （1）计算 （2），其中． 四、作图题（共6分） 20. 如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）作出三角形向右平移4格，向下平移3格后所得的三角形； （2）求出三角形的面积． 五、解答题（共52分） 21. 如图，在矩形中，相交于点O，过点D，E分别作，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长． 22. 如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 23. 一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出件，每件盈利元为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利市场调研认为，若每件降价元，则平均每天就可多售出2件． （1）若活动期间平均每天的销售量为件，求每件春装盈利是多少元？ （2）要想平均每天销售这款春装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ （3）平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？ 24. 如图，内接于，是的直径，点D在上，且平分，过点D作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 某校为增强学生身体素质，开展了为期一个月的跳绳系列活动．为了解本次系列活动的效果，校体育组在活动之前随机抽取部分九年级学生进行了一分钟跳绳测试，根据一定的标准将测得的跳绳次数分成A、B、C、D、E 五个等级，五个等级的赋分依次为10分、9分、8分、7分、6分，将测试结果整理后，绘制了统计图1． 跳绳系列活动结束后，体育组再次对这部分学生进行跳绳测试，以相同标准进行分级和赋分，整理后绘制了统计图2． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求被抽取的九年级学生人数，并补全统计图2． （2）若全校 600 名九年级学生全部参加了跳绳活动及一分钟跳绳测试，测试分级和赋分标准不变．请通过计算，估计这 600名学生在跳绳活动结束后的测试中，赋分超过9分（含9分）有多少人? （3）选择一个适当的统计量，通过计算分析，对该校跳绳系列活动的效果进行合理评价． 26. 如图，四边形内接于，为的直径，于，平分． （1）是否为的切线，请证明你的判断； （2）若，求的值． 27. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接，若． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式； （2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2所示，连接，M是线段上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线，交抛物线于点N，连接、，设点M的横坐标为t．当t为何值时，的面积最大？最大面积为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期甘肃省民勤县新河中学联考九年级数学三模试卷 一、选择题（共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了倒数的定义，二次根式的分母有理化，正确把握倒数的定义是解题关键．直接利用倒数的定义分析得出答案． 【详解】解：，， 的倒数是， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式运算法则进行分析即可. 【详解】；；； 故选A 【点睛】考点：二次根式运算．掌握法则是关键. 3. 若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可； 【详解】不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4. 如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组，图象法确定方程的解，不等式的解集和二元一次方程组的解，逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意和图象可知： 关于x的方程的解是；故A正确； 关于x的不等式的解集是；故B错误； 当时，函数的值比函数的值大；故C正确； 关于x，y的方程组的解是，故D正确； 故选B． 5. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B==70°， ∴∠AED=70°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 6. 如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是（ ） A. 23 B. 16 C. 22 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长到点，使得，连接，易得四边形和四边形是矩形，证明，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，勾股定理求出的长，进一步求出四边形的周长的最小值即可． 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接． ，四边形是矩形， ∴， 四边形和四边形是矩形． ∴，， ， ， ， ． 分别是上的动点，故当三点共线时，的值最小， 且的值等于的值． 在中，， 四边形的周长的最小值是． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝ ＝ ＝4， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 8. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 9. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，，且，则的长度是（　　） A. B. 2 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形性质和，得出，，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键． 10. 已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和正比例函数的图形与性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先根据两个函数没有交点，确定k的符号，再根据函数的增减性，进行判断即可． 【详解】函数经过一、三象限，反比例函数的图象与函数的图象没有交点， 反比例函数的图象在二、四象限， 、、在这个反比例函数的图象上， 点、在第二象限，点在第四象限， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（共24分） 11. 已知，的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了立方根、平方根定义和非负数的性质，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．注意：（1）一个数的立方根与原数的性质符号相同．（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．首先根据绝对值和被开方数的非负性可以求、的值，再根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：根据题意知， ，， ， 的平方根为． 故答案为： 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得到结果． 【详解】解：． 13. 若关于的方程有增根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出m的值及增根即可． 【详解】解： 去分母得：， ∴， 由分式方程有增根，得到，即， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，平分，，则__________度. 【答案】70 【解析】 【分析】利用平行线性质得，结合角平分线即可求解， 本题考核知识点：平行线性质，角平分线定义， 解题关键：熟练运用平行线性质和角平分线定义． 【详解】∵，， ∴，， ∵平分， ∴, 故答案为：． 15. 如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则_____度． 【答案】18 【解析】 【分析】连接MD，设∠DAF=x，利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可． 【详解】连接MD，设∠DAF=x 根据矩形的基本性质可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90° ∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x ∴∠DMF=2x ∵△DCE折叠得到△DFE ∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE 又MF=AB ∴MF=DF ∴∠MDF=2x ∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90° ∴∠CDE=∠ACD=x ∴∠FDE=∠CDE=x ∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90° ∴x=18° 故∠DAF=18° 故答案为18． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用∠DAF表示出∠ADC是解题关键． 16. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC=_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由于点，于点，根据垂径定理可得，根据三角形中位线定理可得，即可得出结论. 【详解】解：∵为的内接三角形，于点，于点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为. 【点睛】本题考查了三角形中位线判定和性质，圆的垂径定理.熟记相关定理是解题的关键. 17. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质． 18. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为___． 【答案】3或3或3． 【解析】 【分析】利用分类讨论，当时，如图2，由对顶角的性质可得，易得，易得的长，利用勾股定理可得的长；当时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，易得为等边三角形，利用锐角三角函数可得的长；易得，利用勾股定理可得的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论． 【详解】解：当时，如图1， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ； 当时，如图2， ， ， ， 在直角三角形中， ； ，，如图3， ， ， 为等边三角形， ， 故答案为3或或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 三、计算题（共8分） 19. （1）计算 （2），其中． 【答案】（1）1；（2）；5 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 四、作图题（共6分） 20. 如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）作出三角形向右平移4格，向下平移3格后所得的三角形； （2）求出三角形的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，三角形即为平移后的三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查网格中的平移变化及图形面积计算，解决本题的关键是熟练掌握平移的定义． （1）将三角形的三个顶点分别平移，再依次连接即可； （2）用包含的长方形面积减去周围多余三角形的面积，可得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 三角形的面积为． 五、解答题（共52分） 21. 如图，在矩形中，相交于点O，过点D，E分别作，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质和一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明即可； （2）菱形的性质，求出的长，证明是等边三角形，求出的值，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，且四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ． 22. 如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：由平移可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在与中， ∵ ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平移的性质： （1）利用平移的性质得出四边形是平行四边形，得，再证明，进而利用证明即可； （2）根据角平分线的定义得出的度数，进而利用三角形的内角和定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分，， ， ． 23. 一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出件，每件盈利元为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利市场调研认为，若每件降价元，则平均每天就可多售出2件． （1）若活动期间平均每天的销售量为件，求每件春装盈利是多少元？ （2）要想平均每天销售这款春装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ （3）平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？ 【答案】（1）元 （2）元 （3）最大值元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质， （1）利用每件新款春装的销售利润为：盈利减去增加销量的一半，即可得； （2）设每件新款春装应降x元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：，进行计算即可得； （3）设每件新款春装应降价元，每天销售这款春装盈利元，根据题意得， ，利用二次函数的性质即可得； 理解题意，掌握一元二次方程，二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得：（元）． 【小问2详解】 解：设每件新款春装应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， ， 解得：，， ∵要尽量减少库存， ． 【小问3详解】 解：设每件新款春装应降价元，每天销售这款春装盈利元，根据题意得， 即最大值元， 答．平均每天销售这款春装盈利的最大值是元． 24. 如图，内接于，是的直径，点D在上，且平分，过点D作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）5 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可得到； （2）根据，，求得，利用勾股定理计算，继而求得，结合,求的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴, ∴, ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握切线性质，勾股定理，三角函数的活用是解题的关键． 25. 某校为增强学生身体素质，开展了为期一个月的跳绳系列活动．为了解本次系列活动的效果，校体育组在活动之前随机抽取部分九年级学生进行了一分钟跳绳测试，根据一定的标准将测得的跳绳次数分成A、B、C、D、E 五个等级，五个等级的赋分依次为10分、9分、8分、7分、6分，将测试结果整理后，绘制了统计图1． 跳绳系列活动结束后，体育组再次对这部分学生进行跳绳测试，以相同标准进行分级和赋分，整理后绘制了统计图2． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求被抽取的九年级学生人数，并补全统计图2． （2）若全校 600 名九年级学生全部参加了跳绳活动及一分钟跳绳测试，测试分级和赋分标准不变．请通过计算，估计这 600名学生在跳绳活动结束后的测试中，赋分超过9分（含9分）有多少人? （3）选择一个适当的统计量，通过计算分析，对该校跳绳系列活动的效果进行合理评价． 【答案】（1）被抽取的九年级学生人数是60人，补全统计图如图： （2）赋分超过9分（含9分）约有人； （3） 解：用平均数分析， 活动前的赋分平均数为（分）， 活动后的赋分平均数为（分）， 活动后的赋分平均数比活动前高， 该校跳绳系列活动的效果良好． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，用样本估计总体，平均数，选择合适的统计量决策． （1）先根据活动前九年级学生跳绳测试情况统计图得出总人数，再用总人数减去活动结束后其他等级的人数，可得出D等级人数，从而补全图形； （2）用样本估计总体求解即可； （3）可从平均数的角度分析求解（答案不唯一，合理即可）． 【小问1详解】 解：被抽取的九年级学生人数是（人）． 【小问2详解】 解：（人）． 答：赋分超过9分（含9分）约有人； 【小问3详解】 略 26. 如图，四边形内接于，为的直径，于，平分． （1）是否为的切线，请证明你的判断； （2）若，求的值． 【答案】（1）是的切线， 证明：连接，如图所示， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角以及角平分线定义以及平行线的判定可得出，利用平行线的性质得出，利用切线的判定即可得证； （2）先证明，可得出，设，则，，利用圆内接四边形的性质、补角的性质等可得出，利用等角对等边得出，证明，求出，进而求出，利用勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 设，， ， 四边形是圆内接四边形， ， 又， ， 又，， ， ， ， 连接并延长交于， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆切线的判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，寻找出相似三角形是解题的关键． 27. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接，若． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式； （2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2所示，连接，M是线段上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线，交抛物线于点N，连接、，设点M的横坐标为t．当t为何值时，的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3）1 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，求出对称轴为直线，得出，证明，得出，求出或，即可得出答案； （3）先求出的解析式为：，得出，根据即可求出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， 又∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线对应的二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：存在； 过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示： 抛物线的对称轴为：直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【小问3详解】 解：把代入得： ， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， ∴直线的解析式为：， ∵点M是直线和线段的交点，N是直线和抛物线的交点， ∴M点的坐标为，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最大值，相似三角形的判定和性质，余角的性质，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练运用数形结合思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $