甘肃省武威第六中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性考试数学试卷

高二数学试卷·第 1 页（共 2 页） 武威六中教育集团 2023—2024 学年度第二学期第二次阶段性考试 高二年级数学试卷 本试卷满分 150分 考试时间 120分钟 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1．已知集合 A＝{x| y＝ 2lg(4 )x }，B＝{x|0＜x＜3}，则 A∩B＝( ) A．{x|2＜x＜3} B．{x|0＜x＜2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．R 2．设(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则 a1＋a2＋…＋a5＝( ) A．－2 B．－1 C．242 D．243 3．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计 测量一位体温为36.8 C 的人时，显示体温 X服从正态分布 0.0636.8,     N n ，若 X 的值在  36.6,37.0 内 的概率约为0.9545，则 n的值约为( )（参考数据：若  2~ ,X N   ，则  2 0.9545P X     ）. A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，若圆台的上、下底面半径分别为 1r ， 2r ，且 1 2 3r r  ，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底 面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为（ ） . A． 3 B．12 C．9 D．12 3 5．已知 (0, ) 2   ，2sin 2 cos2 1   ，则 cos ＝( ) A． 2 5 5 B． 5 5 C． 3 5 D． 1 5 6．对于一个给定的数列 }{ na ，令 1nn n ab a  ，则数列{ }nb 称为数列 }{ na 的一阶商数列，再令 1nn n bc b  ， 则数列{ }nc 是数列 }{ na 的二阶商数列，已知数列{ }nP 为 1，2，8，64，1024，┉┉，且它的二阶商 数列是常数列，则 7P =( ) A． 152 B． 192 C． 212 D． 282 7．在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C：（x－1）2+y2＝4，若直线 l：x+y+m＝0上有且只有一个点 P 满足：过点 P作圆 C的两条切线 PM，PN，切点分别为 M，N，且使得四边形 PMCN为正方形，则 正实数 m的值为( ) A．﹣5 B．3 C．2 2 D．7 8．已知函数 3 1 1( ) 2 e 3 3 e x xf x x x     ，其中 e是自然对数的底数，若  2(2 3) 6f a f a   ，则实数 a 的取值范围是（ ） A． ( , 3] [1, )   B． ( , 3]  C．[1, ) D． 3,1 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知样本 1p ： 1 2, , , nax ax ax   的均值为 4，标准差为 2，样本 2p ： 1 22 1,2 1, , 2 1nx x x    的方差为 4， 则样本 1p 和样本 2p 的（ ）. A．平均数相等 B．方差相等 C．极差相等 D．中位数相等 10．已知复数 z1，z2，z3，下列说法正确的有（ ）. A．若 z1 ― z1＝z2 ― z2，则|z1|＝|z2| B．若 z12＋z22＝0，则 z1＝z2＝0 C．若 z1z2＝z1z3，则 z1＝0或 z2＝z3 D．若|z1－z2|＝|z1＋z2|，则 z1z2＝0 11．已知 F 是椭圆 2 2 1 25 16 x y   的右焦点，椭圆上至少有 21 个不同的点  1, 2,3,iP i    ， 1 2, ,FP FP 3 ,FP   组成公差为  0d d  的等差数列，则下列结论正确的是（ ）. A．该椭圆的焦距为 6 B． 1FP 的最小值为 2 C． d 的值可以为 3 5 D． d 的值可以为 3 10 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分 12． 8))(1( yx x y  的展开式中， 62 yx 的系数为 ▲ （用数字作答） 13．已知 , (0,1) (1, )a b  ， 4log log 4a bb a  ，则 2 ln a b b  的最小值为 ▲ ． 14．袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球共 10个（其中有 5个红球），若从中一次取出 3个小球,记恰有 1只黄球的概率为 P，则 P的最大值为 ▲ ． 高二数学试卷·第 2 页（共 2 页） 四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分 13分） 在各项均不相等的等差数列{ }na 中， 1 1a  ，且 1 2 5, ,a a a 等比数列，数列{ }nb 的前 n项和 nS 满足 12 2nnS   ． (1)求数列{ }na 、{ }nb 的通项公式； (2)求数列 1 1{ } n na a  的前 n项和 nT ． ▲ ▲ ▲ 16．（本小题满分 15分） 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，PD 平面 ABCD，底面 ABCD是正方形，PD AD ，M 是 PD的中点， N 在线段 PC上，且 1 3 CN CP   . (1)求证： AC BM (2)求平面 BMN 与平面 ABCD所夹二面角余弦值. ▲ ▲ ▲ 17. （本小题满分 15分） 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检、 体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔等 5项流程，其中前 4项流程选拔均通过， 则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取，据统计，每位报名学生通过前 4 项流程的概率依次约为 3 4 ， 1 3 ， 2 3 ，1.假设学生能否通过这 5项流程相互独立，现有某校高三学生甲、 乙、丙三人报名民航招飞. （1）估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； （2）求甲、乙、丙三人中恰有一人被确认为有效招飞申请的概率； （3）根据甲、乙、丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为2 3 ， 3 5 ， 3 5 ， 设甲、乙、丙三人能被招飞院校录取的人数为 X，求 X的分布列及期望. 18．（本小题满分 17分） 如图，椭圆 C：x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为 3 2 ，A，B分别为椭圆 C的右顶点、下顶点，△OAB 的面积为 1． (1)求椭圆 C的方程； (2)已知不经过点 A的直线 l：y＝kx＋m(k≠0，m∈R)交椭圆于 P，Q两 点，且 PA⊥QA，求证：直线 l过定点． ▲ ▲ ▲ 19. （本小题满分 17分）． 已知函数 ( ) axf x e x  ( )a R ． （1）若曲线 ( )y f x 在 (0, (0))f 处的切线 l与直线 2 3 0x y   垂直，求实数 a的值； （2）当 1a  时，不等式 ( ) 0f x mx  对任意 (0, )x  恒成立，求实数m的取值范围； （3）当 1a  时，求证：存在实数 0x ，使 0( ) 1f x  ． ▲ ▲ ▲ 武威第六中学高二年级2023-2024学年第二学期 第二次阶段性考试数学试卷教师版 2024.5 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A＝{x|y＝lg（4﹣x2）}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（　　） A．{x|2＜x＜3} B．{x|0＜x＜2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．R 【答案】B 【解析】∵A＝{x|4﹣x2＞0}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}．故选：C． 2. 设(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋…＋a5＝（　　） A．－2 B．－1 C．242 D．243 【答案】C 【解析】令，得 令，得 ∴ 3. 红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（     ）（参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 4. 如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，且，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为（     ） . A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆台上、下底面圆心分别为，，则圆台内切球球心一定在中点处，设球与母线切于M点，∴，∴ (为球的半径)，∴与全等，∴，同理 ∴，∴, ∴，∴圆台的内切球半径，∴内切球的表面积.故答案为：. 5. 已知，2sin2α﹣cos2α＝1，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为2sin2α﹣cos2α＝1， 所以4sinαcosα﹣2cos2α+1＝1， 即2sinαcosα＝cos2α， 因为，cosα＞0，可得sinαcosα， 所以sin2α+cos2αcos2α+cos2α＝1，可得cos2α，可得cosα．故选：A． 6.对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列，已知数列为1，2，8，64，1024，┉┉，且它的二阶商数列是常数列，则=( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】该数列的一阶商数列为2,4,8,16,…，则二阶商数列为2,2,2,…，因为二阶商数列是 常数列，故二阶商数列后面的项均为2，所以一阶商数列后面的项依次为…，从而 原数列后面的项依次为……，故.故选C. 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－1）2+y2＝4，若直线l：x+y+m＝0上有且只有一个点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（　　） A．﹣5 B．3 C． D．7 【答案】B 【解析】圆C：（x﹣1）2+y2＝4的圆心C（1，0），半径r＝2，设P（x0，y0），则x0+y0+m＝0， 由四边形PMCN为正方形，可得|PC|＝2，即为（x0﹣1）2+y02＝8， 由题意可得直线l与圆（x﹣1）2+y2＝8相切，则圆心（1，0）到直线x+y+m＝0的距离为2， 可得2，解答m＝3或﹣5（舍去）．故选：B． 8. 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】令， 则， 即函数为上的奇函数， 又， 函数为上的增函数， 又，， 则，， 所以，即解得或， 即实数的取值范围是或． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知样本：的均值为4，标准差为2，样本：的方差为4，则样本和样本的（     ） A．平均数相等 B．方差相等 C．极差相等 D．中位数相等 【答案】BC 10.已知复数z1，z2，z3，下列说法正确的有（ ） A．若z1＝z2，则|z1|＝|z2| B．若z12＋z22＝0，则z1＝z2＝0 C．若z1z2＝z1z3，则z1＝0或z2＝z3 D．若|z1－z2|＝|z1＋z2|，则z1z2＝0 【答案】AC 解析： 11.已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则下列结论正确的是（ ）. A. 该椭圆的焦距为6 B. 的最小值为2 C. 的值可以为 D. 的值可以为 【答案】A B D 【解析】由椭圆，得，，，故A正确； 椭圆上的动点，，即有，故的最小值为2，B正确； 设，，，…组成的等差数列为，公差，则， 又，所以，所以，所以的最大值是， 故C错误，D正确. 答案：A B D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.的展开式中，的系数为 ▲ （用数字作答） 【答案】-28 13. 已知，，则的最小值为 ▲ ． 【答案】 解：由得，∴ ∴即 ∴ 设，则 令，则∴在单调递减，单调递增， ∴，此时 14. 袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球共10个（其中有5个红球），若从中一次取出3个小球, 记恰有1只黄球的概率为P，则P的最大值为 ▲ ． 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分） 在各项均不相等的等差数列中，，且等比数列，数列的前n项和满足． 求数列、的通项公式； 求数列的前n项和． 【答案】解：设数列的公差为d，则，， ，，成等比例，，即， 整理得，解得舍去或， ， …………………………3分 当时，， 当时，满足上式， 所以数列的通项公式为． …………………………7分 ， …………………………9分 则数列的前n项和 ． …………………13分 16．（本小题满分15分） 如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，是的中点，在线段上，且. (1)求证： (2)求平面与平面所夹二面角余弦值. 解：（1）连接BD ∵四边形是正方形 ∴ ……………………………1分 ∵平面 ，平面 ∴ ……………………………3分 ∵，平面， 平面 ∴平面 ……………………………5分 ∵平面 ∴ ……………………………7分 （2）由（1）知，， ∴两两垂直 如图，以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．……………8分 不妨设 则 ∵平面 ∴平面的一个法向量为， ……………………………10分 设， ∴， ∴， 设平面的法向量为，则， 取，则 ∴平面的一个法向量， ………………………14分 设平面与平面所夹二面角为 则 ∴平面与平面所夹二面角余弦值为. …………………………17分 17. （本小题满分15分） 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取，据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，，，1.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲、乙、丙三人报名民航招飞. （1） 估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； （2） 求甲、乙、丙三人中恰有一人被确认为有效招飞申请的概率； （3） 根据甲、乙、丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，，，设甲、乙、丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及期望. 18（本小题满分17分） 如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A，B分别为椭圆C的右顶点、下顶点，△OAB的面积为1． (1)求椭圆C的方程； (2)已知不经过点A的直线l：y＝kx＋m(k≠0，m∈R)交椭圆于P，Q两点，且PA⊥QA，求证：直线l过定点． 解：(1)由题知，＝，结合＝1－，可得a2＝4b2． ………………………2分 又因为S△AOB＝1，即ab＝1，所以＝4b2，解得b2＝1，a2＝4， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1． ………………………5分 (2)证明：联立直线l与椭圆的方程，得 消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 Δ＝16×(1＋4k2－m2)＞0． x1＋x2＝， x1·x2＝． ………………………7分 因为PA⊥QA，所以·＝0，即(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0， 化简得x1·x2－2(x1＋x2)＋y1·y2＋4＝0． ∴x1·x2－2(x1＋x2)＋（kx1＋m）（kx2＋m）=0， ∴(k2＋1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0． ………………………10分 ∴(k2＋1) ＋(km－2) ＋m2＋4＝0． 化简，得12k2＋16km＋5m2＝0 解得k＝－m或k＝－m，满足Δ＝16×(1＋4k2－m2)＞0 ………………………14分 所以直线l的方程为y＝－m(x－2)或y＝－m， 所以直线l过定点或(2，0)(舍去)． 综上所述，直线l过定点． ………………………17分 19. （本小题满分17分）． 已知函数 ． （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：存在实数，使． 解：（1）因为f(x)=(ea)x－x，则f＇(x)= (ea)xlnea－1= aeax－1， ………………………1分 ∵曲线y= f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x+2y+3=0垂直， ∴切线l的斜率为2， ∴f＇(0) = ae0－1=2， ∴a=3． ………………………3分 （2）当时， ∴不等式即 转化为对任意恒成立 ………………………4分 设，则 ∴的解为 x (0，1) 1 (1，+∞) h＇(x) － 0 + h(x) ↘ 极小值 ↗ ∴最小值为 ………………………6分 ∴ ∴实数的取值范围 ………………………7分 （2）①当a≤0时，显然有f(1)＜ea－1≤0＜1，即存在实数x0使f(x0)＜1；………9分 ②当a＞0，a≠1时，由f＇(x) = aeax－1= 0可得x=ln， ……………10分 所以在x∈(－∞，ln)时，f＇(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，ln)上递减， x∈(ln，+∞) 时，f＇(x)＞0，所以函数f(x)在(ln，+∞)上递增， 即 f(ln) = 是f(x)的极小值． ……………12分 设g(x)=，则g＇(x)=－(x＞0)，令g＇(x)=0，得x=1，故有下表： x (0，1) 1 (1，+∞) g＇(x) + 0 － g(x) ↗ 极大值 ↘ 所以g(x)有唯一的极值，极大值g(1)=1． ……………15分 所以当x≠1时，g(x)＜g(1)=1，所以f(ln)＜1． ……………16分 综上，若a≠1，存在实数x0使f(x0)＜1． ……………17分 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$