21.2 直接开平方法（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

九年级人教版数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 第一课时 直接开平方法 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. (难点） 2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程. (重点） 定义 解(根) 一元二次方程 使方程左右两边相等的未知数的值 一般式 三特征：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 三条件：(1)整式方程 (2)一元 (3)二次 复习引入 问题:一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程 10×6x2=1500， 即x1=5，x2=－5. ∵棱长不能是负值， 由此可得 x2=25 开平方得 x=±5， ∴正方体的棱长为5dm． 直接开平方法 新知探究 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得 x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 练一练 直接开平方法的三种情况： (2) 当 p = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 一般的，对于可化为 x2 = p (I) 的方程， (1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ， x2 = ； 概念归纳 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法 【提示】1... text has been truncated due to evaluation version limitation. 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=6； (2) x2－900=0. 解： （1） x2=6， 直接开平方，得 （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 典例剖析 8 根据平方根的意义解方程 （1）x2=36； （2）2x2-4=0； （3）3x2-4=8. 解：（1）原式=x=±6 x1=6，x2=-6 （3）原式=x2=4 x=±2 x1=2，x2=-2 练一练 解：（2）原式= 对照上面方法，如何解方程（x+3）2=5 解：我们知道， =5，由此想到: 当（x+3)2=5 ，得 于是，方程（x+3）2=5的两个根为 一元二次方程 降次 转化思想 一元一次方程 直接开平方法三步骤： 变形：将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常 数的形式； 开方：利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； 求解：解一元一次方程，得出方程的根． 上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 概念归纳 例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ； 解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 即x1=-1+ ，x2=-1- 解：（1）∵x+1是2的平方根， ∴x+1= 典例剖析 解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解. 例2 解下列方程： （2）（x－1）2－4 = 0； 即x1=3，x2=-1. 解：（2）移项，得（x-1）2=4. ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2. 典例剖析 13 ∴ x1= ， x2= (3) 12（3－2x）2－3 = 0. 解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可. 解：(3)移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25. ∵3-2x是0.25的平方根， ∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 典例剖析 14 解： 方程的两根为 解： 方程的两根为 例 3 解下列方程： 典例剖析 例4.解方程： (1)x2－36＝0； (2)2y2＝100； (3)16p2－5＝0. 分析：用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化成 x2＝p(p≥0)的形式，再根据平方根的意义求解． 典例剖析 (1)x2－36＝0 解：移项，得 x2=36. 直接开平方，得 x=±6， ∴x1=6, x2=－6. (2)2y2＝100 解：系数化1，得 y2＝50 直接开平方，得 y = ， ∴ y1= , y2= . (3)16p2－5＝0 解：移项，得 16p2=5. 直接开平方，得 ∴p1= , p2= . 系数化1，得 用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根． 例5.解方程：(1)2(2x－1)2－10＝0； 如何转化为(mx+n)²=p 解：移项，得2（2x-1）2=10 二次项系数化为1，得（2x-1）2=5 开平方，得 即 或 所以 典例剖析 解方程：(2)y2－4y+4＝8； 归纳：解形如(mx+n)²=p(p≥0，m≠0)的方程时，先将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一次方程，再求解. 解：整理，得（y-2）2=8 开平方，得 即 或 所以 完全平方公式 典例剖析 解方程：(3) 4（3x-1）2-9（3x+1）2＝0； 解：整理，得 4（3x-1）2=9（3x+1）2 两边开平方，得2（3x-1）=±3（3x+1） 即2（3x-1）=3（3x+1），或2（3x-1）=-3（3x+1） 所以 整体 思想 { 典例剖析 例6.已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的值和另一个根． 解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6， 方法点拨：遇到含参数的方程时，一般是带入方程的根，得到关于参数的新方程后求解参数值即可． ∴(6－3)2＝k2＋5， 解得k＝±2， ∴原方程为(x－3)2＝9， ∴另一个根为x＝0. 带入原方程 典例剖析 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 总结归纳 一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一 次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 2. 方程3x2+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 3. 若8x2-16=0，则x的值是 . D D 练一练 4.若x2-2xy+y2=4，则x-y的值为(　　) A．2　 　B．－2　　 　C．±2　　 D．不能确定 5．若实数a，b满足(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2的值为(　 ) A．8　　　B．8或－2　 　C．－2　　　D．28 C A 6．若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x= . 练一练 (C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ; x2= (D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 7.下列解方程的过程中，正确的是（ ） (A) x2=-2,解方程，得x=± (B) (x-2)2=4,解方程，得 x-2=2,x=4 D 练一练 (1)方程x2=0.25的根是 . (2)方程2x2=18的根是 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 . 9. 解下列方程： (1)x2-81＝0； (2)2x2＝50； (3)(x＋1)2=4 . x1=0.5,x2=-0.5 x1＝3,x2＝-3 x1＝2,x2＝－1 8.填空: 解：x1＝9, x2＝－9； 解：x1＝5, x2＝－5； 解：x1＝1, x2＝－3. 练一练 27 课本练习 解下列方程： （1）2x²-8=0； （2）9x²-5=3； （3）（x+6）²-9=0； （4）3（x-1）²-6=0； （5）x²-4x+4=5； （6）9x²+5=1. 解：（1）由2x²-8=0，得2x²=8，x²=4，x=±2，所以原方程的两根为 . （2）由9x²-5=3.得9x²=8，x²=，，所以原方程的两根为. （3）由（x+6）²-9=0，得（x+6）²=9，x+6=±3，即x=-6±3，所以原方程的两根为x，=-3，x2=-9 . （4）由 3（x-1）²-6=0，得3（x-1）²=6，（x-1）²=2，x-1=，所以原方程的两根为. （5）由x²-4x +4 =5，得（x-2）² =5，x-2= ，即x-2=或x-2=，所以原方程的两根为. （6）由 9x²+5=1，得9x²=-4，，不合理，故原方程无解. 无实数根 x1＝3，x2＝－3 A 分层练习-基础 分层练习-基础 B 分层练习-基础 C D 分层练习-基础 D D 分层练习-基础 7 ② 漏掉了一种 情况 分层练习-基础 12.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正. ① ② ③ ④ 解： 解：不对，从开始错，应改为 分层练习-巩固 37 13.解方程 解： 方程的两根为 分层练习-巩固 分层练习-巩固 15. 解关于x的方程(x+m)2=n. 解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得 x+m=± ，方程的两根为x1= -m, x2=- -m. ②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得 x+m=0，方程的两根为x1=x2=-m. ③当n<0时，因为对任意实数x，都有 (x+m)2≥0，所以方程无实数根. 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 课堂小结 －eq \r(p) 知识点一：形如x2＝p的一元二次方程的解法 对于方程x2＝p，当p＞0时，x1＝　 　，x2＝　 　；当p＝0时，x1＝x2＝0；当p＜0时，方程 ． 1．(柳州中考)一元二次方程x2－9＝0的解是 . 2．方程(x－2)2＝9的解是(　　) A．x1＝5，x2＝－1　　　 B．x1＝－5，x2＝1 C．x1＝11，x2＝－7 D．x1＝－11，x2＝7 eq \r(p) (2)x1＝5＋2eq \r(2)，x2＝5－2eq \r(2). 3．用直接开平方法解下列方程： (1)(6x－1)2－25＝0; (2)2(x－5)2－16＝0. 解：(1)x1＝1，x2＝－eq \f(2,3)；　 5.下列解方程的过程中，正确的是( ) A.x2＝2　解：x＝eq \r(2). B.2y2＝16　解：2y＝±4，∴y1＝2，y2＝－2. C.2(x－1)2＝8　解：(x－1)2＝4，x－1＝±eq \r(4)，x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1. D.x2＝－3　解：x1＝eq \r(－3)，x2＝－eq \r(－3). 4.方程25x2＝64的解是( ) A.x＝±8　 B.x＝±eq \f(8,5)　 C.x＝eq \f(8,5)　 D.x＝8 (2)方程化为(2x＋1)2＝16,2x＋1＝±4，x1＝eq \f(3,2)，x2＝－eq \f(5,2). 6.一元二次方程x2＝c有解的条件是( ) A.c＜0 B.c＞0 C.c≤0 D.c≥0 7.解方程： (1)(x－3)2＝8; (2)(2x＋1)2－16＝0. 解：(1)根据平方根的意义，得x－3＝±2eq \r(2)，即x1＝3＋2eq \r(2)，x2＝3－2eq \r(2)；　 8.方程2x2＋8＝0的根为( ) A.2 B.－2 C.±2 D.没有实数根 9.一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( ) A.x－6＝－4 B.x－6＝4 C.x＋6＝4 D.x＋6＝－4 解：2(2x－1)＝±5(x＋1)，∴2(2x－1)＝5(x＋1)或2(2x－1)＝－5(x＋1)，∴x1＝－7，x2＝－eq \f(1,3). 10.若(a2＋b2－2)2＝25，则a2＋b2的值为 . 11.用直接开平方法解一元二次方程： 4(2x－1)2－25(x＋1)2＝0. 解：移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2，① 直接开平方，得2(2x－1)＝5(x＋1).② ∴x＝－7.③ 上述解题过程中有无错误？如有，错在第 步，原因是 ，请写出正确的解答过程. (2)∵2＜eq \f(7\r(2),2)，∴在地球上下落得快. 14.物体自由下落的高度h(m)与下落时间t(s)的关系：在地球上大约是h＝4.9t2，在月球上大约是h＝0.8t2，当h＝19.6时，求： (1)物体在地球上和月球上自由下落的时间各是多少； (2)物体在哪里下落得快. 解：(1)在地球上：4.9t2＝19.6，解得t1＝2，t2＝－2(舍去)；在月球上：0.8t2＝19.6，解得t1＝eq \f(7\r(2),2)，t2＝－eq \f(7\r(2),2)(舍去).答：在地球上下落的时间是2 s，在月球上下落的时间是eq \f(7\r(2),2) s；　 会用平方根的意义解一元二次方程． 【例1】用直接开平方法解方程： 4(x－1)2－9＝0 【思路分析】可先将常数项移到方程的右边，再将方程的两边同除以二次项的系数，然后两边直接开平方化成两个一元一次方程，求出两方程的解即可． 【规范解答】移项，得：4(x－1)2＝9，方程两边同除以4，得(x－1)2＝eq \f(9,4)，两边开平方，得：x－1＝±eq \f(3,2).即：x－1＝eq \f(3,2)或x－1＝－eq \f(3,2)；∴原方程的解为x1＝eq \f(5,2)，x2＝－eq \f(1,2). 【方法归纳】如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可以根据平方根的定义得到x＝±eq \r(p)或mx＋n＝±eq \r(p)，即可得到方程的解． $$