11.1 三角形的边（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 第一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 第一课时 三角形的边 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角 形分类. 2.掌握三角形的三边关系.（难点） 3.运用三角形三边关系解决有关的问题.（重点） 请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的几何图形. 情景导入 想一想 如图，从教室到食堂有两条路可走，你会走哪条？为什么？ A 教室 B 食堂 C 情景导入 1．三角形的定义 提出问题（如上图） (1)哪些图形是三角形？ ① 三角形及有关概念 新知探究 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形，叫做三角形. 所以，三角形的特征有： (1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次连接. 三角形的定义 概念归纳 边c 边b 边a 顶点A 顶点B 顶点C 角 角 角 ①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边. ②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点. ③内角：相邻两边组成的角. 三角形的表示： 三角形用符号“△”表示. 记作“△ ABC”读作“三角形ABC”. 如图：线段AB、BC、CA是△ABC的三边；点A、B、C△ABC的三个顶点； ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角. 边c 边b 边a 顶点C 角 角 角 顶点A 顶点B B C A 在△ABC中， AB边所对的角是： ∠A所对的边是： ∠C B C 再说几个对边与对角的关系试试. 三角形的对边与对角： 下列图形符合三角形的定义吗？ 不符合 不符合 不符合 练一练 5个，它们分别是△ABE,△ABC, △BEC,△BCD,△ECD. (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？ A B C D E (2)以AB为边的三角形有哪些？ △ABC、△ABE. （3）以E为顶点的三角形有哪些？ △ ABE 、△BCE、 △CDE. 练一练 （4）以∠D为角的三角形有哪些？ △ BCD、 △DEC. （5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边. △BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC. A B C D E 练一练 在查三角形的个数时，先给单个三角形编号，查完单个的三角形，再查两个三角形组成的较大三角形，然后再查三个，四个三角形组成的三角形. 技巧点拨 ①位置关系：不在同一直线上； ②联接方式：首尾顺次相接. 三角形应满足以下两个条件： 表示方法： 三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB等. 总结归纳 基本要素： 三角形的边：边AB、BC、CA； 三角形的顶点：顶点A、B、C； 三角形的内角(简称为三角形的角）：∠ A、 ∠ B、 ∠ C. 特别规定： 三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c. 总结归纳 问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？ 直角三角形、 锐角三角形、 钝角三角形. 三角形的分类 新知探究 腰 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 底边 顶角 底角 问题2：你能找出下列三角形各自的特点吗？ 三边均不相等 有两条边相等 三条边均相等 三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形 ； 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三条边都相等的三角形叫做等边三角形． 思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？ 概念归纳 三角形按边分类 不等边三角形 等腰三角形 我们可以把三角形按照三边情况进行分类 腰和底不等的等腰三角形 等边三角形（三边都相等 的三角形） 概念归纳 判断： （2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ） （1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ） √ × （3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ） × （4）等边三角形是锐角三角形.（ ） （5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ） × √ 练一练 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？ C B A AC+CB>AB（两点之间线段最短） 三角形的三边关系 新知探究 A B C 路线1：从A到C再到B的路线走； 路线2：沿线段AB走. 请问：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出根据吗？ 解：路线2较短；两点之间线段最短. 由此可以得到： 三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边. 1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么 大小关系? 2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么 大小关系? 3.三角形三边有怎样的不等关系? 通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？ 想一想 例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？ 方法点拨：判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可. 解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形. 典例剖析 例2 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么 x的取值范围是(　　) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 方法点拨：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11. A 典例剖析 例 3 如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD，试判断AC 与BC 的大小. 解：在△BDC 中， 有 BD+DC >BC（三角形的 任意两边之和大于第三边）. 又因为 AD = BD， 则BD+DC = AD+DC = AC， 所以 AC >BC. 典例剖析 例 4 根据下列条件，判断△ABC的形状. ①∠A =45°，∠B =65°，∠C =70°; ②∠C =110°; ③∠C =90°; ④AB =BC =3，AC =4 解：①∵∠A，∠B，∠C 都小于90°， ∴△ABC是锐角三角形 ②∵∠C =110°＞90°，∴△ABC是钝角三角形 ③∵∠C =90°=90°， ∴△ABC是直角三角形 ④∵AB =BC =3，AC =4，∴△ABC是等腰三角形 典例剖析 例 5 下列长度的各组线段能否组成一个三角形？ (1)15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm (3) 3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm (2) 因为4cm+5cm<10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形. (3) 因为3cm+5cm=8cm， 所以这三条线段不能组成一个三角形. (1) 因为10cm+7cm>15cm， 所以这三条线段能组成一个三角形. 解： (4) 因为4cm+5cm>6cm，所以这三条线段能组成一个三角形. 典例剖析 技巧点拨 只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 1.一位同学用三根木棒拼成的图形如下，则其中符合三角形定义的是(　　) D 练一练 2.下列说法： ①等边三角形是等腰三角形； ②等腰三角形也可能是直角三角形； ③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 练一练 3.如图： (1)△ADC的三个顶点分别是_________，三个内角分别是_____________________． (2)在△ABC中，∠C的对边是________；在△AEC中，∠C的对边是________． A、D、C ∠C ∠D AC ∠ A D C AB AE 练一练 4.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1） 3，4，8 （ ） （2） 2，5，6 （ ） （3） 5，6，10 （ ） （4） 3，5，8 （ ） 不能 能 能 不能 练一练 7.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长为______________. 6.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为______________. 5.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线为边长可以构成________个三角形. 3 22cm 18cm或21cm 练一练 8.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长. 解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得， 7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9， 又x为奇数，则第三边的长为7. 练一练 9.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|. 解：根据三角形的三边关系，两边之和 大于第三边，得 a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0. ∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b| ＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b ＝3c＋a－b. 练一练 例 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么 ？ 解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm, x+2x+2x=18. 解得 x=3.6. 所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm. 课本例题 (2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论. ①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有 4+2x=18. 解得 x=7. ②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有 2×4+x=18. 解得 x=10. 因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边， 所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形. 课本练习 1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形. A B C D E 　　解：图中有5个三角形． 　　用符号表示为： △ABE， △ABC， △BEC， △EDC， △BDC． 2.（口答）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10. 解：（1）能．因为3 + 4＞5，3 + 5＞4，4 + 5＞3， 符合三角形两边的和大于第三边. （2）不能．因为5 + 6 =11， 不符合三角形两边的和大于第三边. （3）能．因为5 + 6＞10，10 + 6＞5，10 + 5＞6， 符合三角形两边的和大于第三边. 课本练习 不在同一条直线上 首尾顺次相接 △ABD、△ACD △ABD、△ABC 分层练习-基础 不相等 腰和底 等边 D 分层练习-基础 大于 小于 是否大于 3＜x＜13 C 分层练习-基础 5或9 分层练习-基础 B D 分层练习-巩固 C 7 35 0＜a＜12 b＞2 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 B 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 三角形 定义及其基本要素 顶点、角、边 分类 按角分类 按边分类分类 不重不漏 三边关系 原理 两点之间线段最短 内容 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 |a-b|<x<a+b (a>b,x为第三边） 应用 课堂小结 知识点一：三角形的概念 由 的三条线段 所组成的图形叫三角形． 1．如图，以AD为边的三角形是 ，以∠B为内角的三角形是 . 知识点二：三角形按边分类 三角形eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(三边都　 　的三角形.　　　　　　　　　　　　　　　,等腰三角形\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　 　不相等的等腰三角形,　 　三角形)))) 2．三角形按边分类可分为(　　) A．三边都不相等的三角形、等边三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形 D．三边都不相等的三角形、等腰三角形 知识点三：三角形三边的关系 三角形两边的和 第三边，三角形两边的差 第三边．这个结论可以判断三条线段能否组成三角形，运用时只需检查较短两条线段的和 第三条线段． 3．已知两条线段的长为5cm和8cm，要钉成一个三角形，则第三条线段的长度范围为 . 4．(福建中考)下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是(　　) A．1、1、2　　　　 B．1、2、4　　　 C．2、3、4　　　 D．2、3、5 能力点：准确求三角形的边长或周长 在涉及三角形的边长或周长的计算中，一要注意分类讨论，二要注意用三边关系去检验，这是个隐含条件，容易忽略． 5．等腰三角形的两边长分别是5和9，则第三边长为 . 6．已知a、b、c为△ABC的三边长，其中b＝2，c＝3，且a是方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 解：因为|x－4|＝2，则x－4＝±2，解得x＝6或x＝2，即a＝6或a＝2， 当a＝6时，2＋3＜6，故a＝6不合题意(舍去)；当a＝2时，a＋b＋c＝2＋2＋3＝7，所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7，△ABC为等腰三角形． 7．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是(　　) A．5　　　 B．10　　 C．11　　 D．12 8．用集合观点来表示“按边把三角形分类”，下列表示正确的是(　　) 9．某同学用长分别为5cm、7cm、9cm、13cm的四根木棒摆三角形(用其中三根木棒首尾顺次相接)，每摆好一个后，拆开再摆，这样最多可摆出不同的三角形的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．(白银中考)已知a、b、c是△ABC的三边长，a、b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c＝ . 11．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 cm. 12．若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长a的取值范围是 ，若等腰三角形的底边长为4，则它的腰长b的取值范围是 . 13．图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 解：图中有8个三角形，分别为：△AOD、△AOB、△BOC、△COD、△ABD、△ABC、△BDC、△ADC. 14．已知：a、b、c是△ABC的三边，且a＝4，b＝6.若三角形的周长是小于18的偶数． (1)求c边的长； (2)判断△ABC的形状． 解：(1)因为a＝4，b＝6，所以周长l的范围为12＜l＜20，又因为周长是小于18的偶数，所以l＝16或14.当周长为16时，c＝6；当周长为14时，c＝4； (2)当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；当c＝4时，a＝c，△ABC也为等腰三角形． 15．小王准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔．已知第一条边长为am，由于受地势限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍多2m. (1)请用a表示第三条边长； (2)第一条边长可以为7m吗？请说明理由． 解：(1)第三条边长为30－a－(2a＋2)＝(28－3a)m； (2)第一条边长不可以为7m； 理由：当a＝7时，三边分别为7、16、7.∵7＋7＜16，∴不能构成三角形，即第一条边长不可以为7m. 16．有一条长为22cm的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长比底边长的2倍多1cm，那么各边的长是多少？ (2)能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由． 解：(1)设底边长为xcm，则腰长为(2x＋1)cm，x＋2x＋1＋2x＋1＝22，解得x＝4.所以，三边长分别为4cm、9cm、9cm； (2)若腰长为5cm，则底边长为22－2×5＝12cm，因为5＋5＜12，所以不能围成腰长为5cm的等腰三角形；若底边长为5cm，则腰长为eq \f(22－5,2)＝8.5，能构成三角形，所以能围成底边长为5cm的等腰三角形． 会对三角形按边分类． 【例1】下列结论中，正确的是(　　) A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 【思路分析】三角形按不同的标准可以分为不同的类别．按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边分为不等边三角形和等腰三角形．等边三角形是特 殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形；等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，还可能是直角三角形． 【方法归纳】在对三角形分类过程中，体会分类的思想，即：统一标准，不重不漏． 能运用三角形的三边关系解决问题． 【例2】一个等腰三角形的周长是36cm. (1)已知腰长是底边长的2倍，求各边长； (2)已知其中一边长为8cm，求其他两边长． 【思路分析】(1)把几何问题转化为代数中的方程问题，根据已知条件，设未知数，列方程． (2)只给出已知条件一边长为8cm，没有给定这条边是底边还是腰，需要分情况求解． 【规范解答】(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm.x＋2x＋2x＝36，解得x＝7.2.所以2x＝2×7.2＝14.4.所以三边长分别为7.2cm、14.4cm、14.4cm； (2)若腰长为8cm，则底边长为36－2×8＝20(cm)．此时8＋8＜20，故不能组成三角形，所以腰长不能为8cm；若底边长为8cm，则腰长为eq \f(36－8,2)＝14(cm)，能构成三角形，所以其他两边长分别为14cm、14cm. 【方法归纳】在本题的解答过程中，涉及到方程思想和分类讨论思想的运用．在求三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验． $$