11.1.2三角形的高、中线与角平分线 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

人教版（新课标）八年级上册 11.1.2《 三 角 形 的 高、中线与角平分线 》 （2 课 时 ） 日 期：2024年9月11日（第2周） 教学目标 学习目标：1.认识与理解三角形的高、中线、角平分线、重心与内心的定义，并能熟练掌握其画法；（数学抽象、直观想象） 2.理解与掌握三角形的高、中线、角平分线、重心的性质，并能运用其求解相关的实际问题.（数学运算、直观想象、逻辑推理） 教学重点：三角形的高、中线、角平分线、重心与内心的概念及其性质. 教学难点：三角形的高、中线、角平分线、重心与内心的实际运用. . 一 复习导入——三角形的相关概念（导学） （二）三角形的三要素 （1）边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边.如图，线段 是三角形的3条边. 边 边 边 （2）顶点：边与边的公共端点叫做三角形的顶点.如图, 点 是三角形的3个顶点. （3）内角：相邻两条边组成的角叫做三角形的内角，简称为三角形的角.如图, 是三角形的3个内角. 顶点 顶点 顶点 内角 内角 内角 （一）三角形的定义 平面内由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. （三）问题：各位同学，与三角形有关的线段，除了三角形的边之外，大家还知道其他概念吗？这些与三角形有关的重要线段又有什么性质呢？ 二 探究新知1——三角形的高（互学） （一）三角形高的定义 (二)思考 用同样方法，你能画出 的另两条边上的高吗? 如图，从 的顶点向它所对的边所在直线画垂线，垂足为，顶点与垂足之间的线段叫做的边上的高. 高 二 探究新知1——三角形的高（互学） （三）三角形的高的性质——垂直性与直角性 如图，由三角形高的定义可得如下的性质： ∵已知为边上的高 ∴,垂足为,(垂直性) .（直角性） 高 （四）三角形的高的作用 如图，由“三角形的面积=底×高÷2”可得： ∵已知为边上的高 ∴ 二 探究新知1——三角形的高（互学） （五）三角形三条高的位置关系 三角形 图形 三条高的位置 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高在三角形的内部. 两条直角边互为对方的高，第三条高在三角形的内部. 两个锐角所对边上的高在三角形的外部，钝角所对边上的高在三角形的内部. 三 小组合作、讨论交流1(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这道题考察了三角形的高的定义、做法及作用. 例1．如图，已知， 求作：（1）边上的高；（2）边上的高． 例2．如图，已知每一个小正方形的边长为1， 求的面积． 四 成果展示1(迁移变通) 例1．如图，已知， 求作：（1）边上的高； （2）边上的高． 解：如图，由题意可作 （1）边上的高; （2）边上的高. 四 成果展示1(迁移变通) 解：(排空法)由图可得 答：的面积为5. 例2．如图，已知每一个小正方形的边长为1， 求的面积． ① ② ③ 4 2 1 3 1 3 五 提升演练1(检测实践) 例3．如图所示，在中，，，垂足分别为，且，，， 求的长．   12 8 6 ? 解（等积性）： ∵ ，，， ∴ ， 又∵，， ∴, 即 ， 解得 ． 答：长为9. 六 探究新知2——三角形的中线（互学） （一）三角形中线的定义 如图，连接的顶点和它所对的边 的中点，所得线段 叫做的边上的中线. (二)思考 （1）用同样方法，你能画出的另两条边上的中线吗? （2）你们发现三角形的三条高线有什么样的位置关系？ 六 探究新知2——三角形的中线（互学） （三）三角形的重心 如图，三角形的三条中线相交于点,三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. O 重心 （四）三角形中线的性质1——等线段性 ∵ 线段 为的中线， ∴ , 或 六 探究新知2——三角形的中线（互学） （五）三角形中线的性质2——等积性 一般地，三角形的每条中线总是把这个三角形平均分成两个面积相等的小三角形，并且每个小三角形的面积都等于这个三角形面积的 . 如图，用数学语言表述为： ∵ 线段 为的中线， ∴ , 或 由中线的定义可知： 是“等底同高”的两个三角形，因此它们的面积相等. 六 探究新知2——三角形的中线（互学） （六）三角形的重心的性质 一般地，三角形的重心总是把三角形的每条中线分成两段，其中长的一段占了这条中线的 ，短的一段占了这条中线的 . 如图，用数学语言表述为： ∵ 已知点为三角形的重心， ∴ ,; , ; ,. 七 小组合作、讨论交流2(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这道题考察了三角形中线的定义及其性质. 例4．如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求的长． 八 成果展示2(迁移变通) 解：（1） ∵ 是的中线，, ∴ , 又∵的中线 ， ∴ . 例4．如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求的长． 4 八 成果展示2(迁移变通) 例4．如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求的长． 12 （2）解： ∵ 是 的中线， ∴ ， 又∵， 即 ， ∴ ， ① 又∵ ，， ∴ ， 即 ， ② ∴ 由①②可得, 答：的长为. 九 探究新知3——三角形的角平分线（互学） 如图 ，画的平分线，交所对的边 于点，所得线段叫做的角平分线. （一）三角形角平分线的作法与定义 （二）思考 画出的另外两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现? 九 探究新知3——三角形的角平分线（互学） 如图，三角形的三条角平分线相交于点,三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. （三）三角形的内心 O 内心 （四）三角形角平分线的性质——等角性 ∵ 线段 为的角平分线， ∴ , 或 十 小组合作、讨论交流3(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这道题考察了三角形的角平分线及其性质. 例5．如图，已知：在四边形中，，点为线段延长线上一点，连接交于F，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 十一 成果展示3(迁移变通) 例5．如图，已知：在四边形中，，点为线段延长线上一点，连接交于F，． (1)求证：； （1）证明： ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴. 十一 成果展示3(迁移变通) 例5．如图，已知：在四边形中，，点为线段延长线上一点，连接交于F，． (2)若是的角平分线，，求的度数． （2）解：∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， 又由（1）知， ∴， 即， 答：的度数为．   课堂小结 十二 今天我们学习了哪些内容？ 1.认识与理解了三角形的高、中线、角平分线、重心与内心的定义，并能熟练掌握其画法；（数学抽象、直观想象） 2.理解与掌握了三角形的高、中线、角平分线、重心的性质，并能运用其求解相关的实际问题.（数学运算、直观想象、逻辑推理） 十三 学生自评 请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价 十四 家庭作业 1.整理导学案中本节课知识点并记背； 2.完成导学案上相关题型. $$