精品解析：2024年山西省大同市平城区三校联考中考三模数学试题

2024中考第三次模拟数学试卷 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在本试卷相应的位置. 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小題3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在我国浙江杭州举行，杭州亚运会会标包含了“绿色、智能、节俭、文明”的含义，体现了中国风范、江南特色、杭州韵味．下列四个图片是历届亚运会的会标，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2023年，山西在国庆节期间迎来了一次旅游市场的井喷.数据显示，山西66个重点监测景区累计接待游客613.74万人次，这个数据充分展现了山西旅游业的活力、潜力，以及转型期的新趋势、新变化.数据613.74万人用科学记数法表示为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 5. 1989年在山西省芮城县金胜庄村出土的“庙底沟彩陶罐”是山西省博物院里的十大镇院之宝之一，它是新石器时代所烧制的，整个彩陶罐体型较大，完整无缺，是仰韶文化庙底沟类型的典型遗物．如图所示，关于它的三视图（从箭头方向看为正面），下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（ ） A. 分类讨论思想 B. 数形结合思想 C. 函数方程思想 D. 转化思想 8. 2023年10月19日，太原市河长办举行了“保护汾河生态环境，再现锦绣太原城”主题宣传活动的启动仪式，并在启动仪式上首次发布了河湖长制形象宣传卡通人物，该卡通人物一共有四个，分别为“水清清”“岸绿绿”“河畅畅”“景美美”．小于购买了这四个卡通人物的卡片各一张，他计划选其中的两张贴在书桌上，则小于书桌上刚好贴了“水清清”和“景美美”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（ ） A. B. C. D. 不确定 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 如图所示，用棋子摆成英文字母“”字样，按这样的规律摆下去，摆成第n个“”字需要______个棋子．（用含n的式子表示） 13. 长沙地铁3号线、5号线即将运行，为了解市民每周乘地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到了如下的统计表： 次数 7次及以上 6 5 4 3 2 1次及以下 人数 8 12 31 24 15 6 4 这次调查的众数和中位数分别是___________________________． 14. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义，如图，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高1米的标杆和，两杆间距为3米，D，B，H三点共线，从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A，C，F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A，E，G三点共线，且仰角为（点F，G都在直线上）．则山峰的高是______米（参考数据：，，） 15. 如图，已知在四边形中，，为边上一点，若，，，，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）因式分解：． 17. 解方程：. 18. “校园朗诵大赛”结束后，评委老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数，满分100分）进行整理，得到如下不完整的统计图表： 组别 成绩x/分 频数 频率 第1组 6 第2组 第3组 14 a 第4组 b 第5组 10 （1）本次比赛参赛选手共有______人，统计表中______，______； （2）请将统计图补充完整； （3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，请用列表或画树状图的方法求恰好选中1男1女的概率． 19. 山西汾酒是中国传统名酒的典型代表，属于清香型白酒，在国内外享有较高的知名度和美誉度．某商家在销售某款山西汾酒时发现，该款汾酒每件的销售价为60元时，每个月可销售100件，为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售，根据销售统计，每件的销售价每降低1元，每个月的销售量将增加10件．设该商品每件降价x元，每个月的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知每件汾酒的成本为42元，商家想要每月获利1920元，则这款汾酒每件可以降价多少元？ 20. 滑雪天才少女谷爱凌于2021年1月首次参加世界极限运动会，取得2金1铜共3枚奖牌的优异成绩，成为中国首位在世界极限运动会夺金的运动员，自此引起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离为，． （1）求此滑雪运动员的小腿的长度； （2）求此运动员的身高（参考数据：，，） 21. 阅读与思考 阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题： （1）如图1，在中，，，，则______； （2）如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号） （3）在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 22. 综合与实践 问题情境： 如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连接交于点F，平分交于点G． 猜想证明： （1）试判断线段和的位置关系，并说明理由；’ （2）若，，试判断线段和的数量关系，并加以证明； 解决问题： （3）在（2）的条件下，直接写出的长． 23. 综合与探究 二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为M． （1）求该二次函数的表达式，并写出点M的坐标； （2）如图1，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； （3）如图2，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP的中点Q，连接QC，QM，CM，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024中考第三次模拟数学试卷 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在本试卷相应的位置. 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小題3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在我国浙江杭州举行，杭州亚运会会标包含了“绿色、智能、节俭、文明”的含义，体现了中国风范、江南特色、杭州韵味．下列四个图片是历届亚运会的会标，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除除法，合并同类项，根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除除法法则进行判断即可，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 4. 2023年，山西在国庆节期间迎来了一次旅游市场的井喷.数据显示，山西66个重点监测景区累计接待游客613.74万人次，这个数据充分展现了山西旅游业的活力、潜力，以及转型期的新趋势、新变化.数据613.74万人用科学记数法表示为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数． 根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解： 613.74万， 故选：C． 5. 1989年在山西省芮城县金胜庄村出土的“庙底沟彩陶罐”是山西省博物院里的十大镇院之宝之一，它是新石器时代所烧制的，整个彩陶罐体型较大，完整无缺，是仰韶文化庙底沟类型的典型遗物．如图所示，关于它的三视图（从箭头方向看为正面），下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义求解即可，掌握几何体的三视图概念是解题关键． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A． 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键． 分别解两个不等式，进而得出不等式组的解集． 【详解】· 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 故选：D． 7. 古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（ ） A. 分类讨论思想 B. 数形结合思想 C. 函数方程思想 D. 转化思想 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，根据题干中给出的信息即可得出答案，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题干中给出的信息可知，所用的思想为数形结合思想， 故选：B． 8. 2023年10月19日，太原市河长办举行了“保护汾河生态环境，再现锦绣太原城”主题宣传活动的启动仪式，并在启动仪式上首次发布了河湖长制形象宣传卡通人物，该卡通人物一共有四个，分别为“水清清”“岸绿绿”“河畅畅”“景美美”．小于购买了这四个卡通人物的卡片各一张，他计划选其中的两张贴在书桌上，则小于书桌上刚好贴了“水清清”和“景美美”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率，掌握树状图法或列表法求概率是解题关键．根据题意，列出树状图，进而即可求解 【详解】解：“水清清”“岸绿绿”“河畅畅”“景美美”四张卡片分别用“1”，“2”，“3”，“4”表示，画出树状图如下： 一共有种情况，小于书桌上刚好贴了“水清清”和“景美美”的有2种情况， ∴小于书桌上刚好贴了“水清清”和“景美美”的概率是， 故选：C 9. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 10. 如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， 依题意， ∵， ∴ 故选：A． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化为最简二次根式，再进行计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的减法运算．将二次根式化为最简二次根式是解题关键． 12. 如图所示，用棋子摆成英文字母“”字样，按这样的规律摆下去，摆成第n个“”字需要______个棋子．（用含n的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可能根据所给图形发现所需棋子的个数依次增加4是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 摆成第1个“”字需要的棋子个数为： 摆成第2个“”字需要的棋子个数为： 摆成第3个“”字需要的棋子个数为： ， 所以摆成第n个“”字需要的棋子个数为：个， 故答案为： 13. 长沙地铁3号线、5号线即将运行，为了解市民每周乘地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到了如下的统计表： 次数 7次及以上 6 5 4 3 2 1次及以下 人数 8 12 31 24 15 6 4 这次调查的众数和中位数分别是___________________________． 【答案】5、5 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念计算即可． 【详解】从表格中可得人数最多的次数是5,故众数为5． 100÷2=50,即中位数为从小到大排列的第50位,故中位数为5． 故答案为5、5． 【点睛】本题考查众数和中位数的计算,关键在于熟练掌握基础概念． 14. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义，如图，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高1米的标杆和，两杆间距为3米，D，B，H三点共线，从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A，C，F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A，E，G三点共线，且仰角为（点F，G都在直线上）．则山峰的高是______米（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，相似三角形的应用，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 在中， ， （米）， 在中， ， （米）， ∵（米）， ∴（米）， 设米， 在中， ， （米）， 米， （米）， 在中， 解得： ∴米， ∴山峰的高是米． 故答案为：． 15. 如图，已知在四边形中，，为边上一点，若，，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】在上取一点，使得，过点作于，利用三角形的外角定理及度直角三角形的性质得，，进而利用勾股定理求得，，，，再证明，利用角平分线的性质及解直角三角形即可得解． 【详解】解：在上取一点，使得，过点作于， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，度直角三角形的性质定理，等腰三角形的判定，熟练掌握解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据负整数指数幂，绝对值，零指数幂求解即可； （2）选提公因式，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 解方程：. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化为1，最后检验即可． 【详解】解： 去分母，得： 去括号，得： 移项合并同类项，得 系数化为1，得： 检验：将代入， ∴是原方程的根． 18. “校园朗诵大赛”结束后，评委老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数，满分100分）进行整理，得到如下不完整的统计图表： 组别 成绩x/分 频数 频率 第1组 6 第2组 第3组 14 a 第4组 b 第5组 10 （1）本次比赛参赛选手共有______人，统计表中______，______； （2）请将统计图补充完整； （3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，请用列表或画树状图的方法求恰好选中1男1女的概率． 【答案】（1），，； （2） 补全统计图如下： （3）． 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，条形统计图的应用，掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）根据的频数和频率可以求出本次调查的学生数，即可求解； （2）根据（1）中的结果和统计图中的数据即可补全统计图； （3）应用列表法的方法求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生有： （人）， ， ， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：由频数分布表可知：有14人，有12人， 【小问3详解】 解：画表为： 男1 男2 女1 女2 男1 男2男1 女1男1 女2男1 男2 男1男2 女1男2 女2男2 女1 男1女1 男2女1 女2女1 女2 男1女2 男2女2 女1女2 由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴选中的同学当中正好是一男一女的概率． 19. 山西汾酒是中国传统名酒的典型代表，属于清香型白酒，在国内外享有较高的知名度和美誉度．某商家在销售某款山西汾酒时发现，该款汾酒每件的销售价为60元时，每个月可销售100件，为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售，根据销售统计，每件的销售价每降低1元，每个月的销售量将增加10件．设该商品每件降价x元，每个月的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知每件汾酒的成本为42元，商家想要每月获利1920元，则这款汾酒每件可以降价多少元？ 【答案】（1）； （2）这款汾酒每件可以降价2元或6元，每月获利1920元． 【解析】 【分析】本题一元二次方程的应用和一次函数的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设该商品每件降价x元，则销售量将增加件，依题意可得y与x的函数关系式； （2）每件汾酒的成本为42元，初始售价为60元，则降价后每件的利润为，依题意得：，求解即可． 【小问1详解】 解：设该商品每件降价x元，则销售量将增加件，且售价为60元时，每个月可销售100件，依题意可得： ． 【小问2详解】 解：每件汾酒的成本为42元，初始售价为60元，则降价后每件的利润为，依题意得： ， ∴， 解得：或， ∴这款汾酒每件可以降价2元或6元，每月获利1920元． 20. 滑雪天才少女谷爱凌于2021年1月首次参加世界极限运动会，取得2金1铜共3枚奖牌的优异成绩，成为中国首位在世界极限运动会夺金的运动员，自此引起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离为，． （1）求此滑雪运动员的小腿的长度； （2）求此运动员的身高（参考数据：，，） 【答案】（1）小腿的长度为； （2）运动员的身高为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）中， 即可得出． （2）由（1） 得， 则在中， 解得，根据运动员的身高为可得出答案． 【小问1详解】 解：在中， ， 解得：， ∴此滑雪运动员的小腿的长度为． 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ， ∴， ∴运动员的身高为 21. 阅读与思考 阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题： （1）如图1，在中，，，，则______； （2）如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号） （3）在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正弦定理，正确的理解正弦定理是解题的关键． （1）由题意根据正弦定理即可得到结论； （2）由题意得到，根据正弦定理即可得到结论； （3）先求出以及的长，根据正弦定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∵，，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图： 由题意可知，，，海里，， ∴， ∴，即， ∴， ∴B处与灯塔的距离为海里， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图： 由题可知，海里，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，海里， 海里， 在中， 海里， ∴海里， 由前面定理可知：， 则， ∴， ∴的正弦值． 22. 综合与实践 问题情境： 如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连接交于点F，平分交于点G． 猜想证明： （1）试判断线段和的位置关系，并说明理由；’ （2）若，，试判断线段和的数量关系，并加以证明； 解决问题： （3）在（2）的条件下，直接写出的长． 【答案】（1）， ∵四边形是菱形， ∴， ∵平分交于点G ∴， ∴ ∴； （2）， 证明：如图2，连接交于点，交于点， AI ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，，可证明，得，而，所以； （2）连接交于点，交于点，根据平行线分线段成比例得到，然后得到，然后证明出，得到，即可求解； （3）根据菱形的性质和勾股定理求出，，进而求出，然后利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）， ， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ∵点K是的中点，点L是的中点 ∴． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 23. 综合与探究 二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为M． （1）求该二次函数的表达式，并写出点M的坐标； （2）如图1，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； （3）如图2，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP的中点Q，连接QC，QM，CM，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）D的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】(1)由于二次函数的图象与x轴交于，两点，把A，B两点坐标代入，计算即可求出抛物线解析式，由配方法求出M点坐标； (2)由线段垂直平分线的性质可得出，设，由勾股定理可得，解方程可得出答案； (3)设CQ交抛物线的对称轴于点M，设，则，设直线CQ的解析式为，则，解得，求得， ，由面积公式可求出n的值，则可得出答案． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵的顶点， ∴设， ∵的垂直平分线恰好经过点C， ∴， ∴，由勾股定理可得： ， 解得， ∴满足条件的点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，设交抛物线的对称轴于点H， 设，则， 设直线的解析式为，则， 解得， 于是直线的解析式为：， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 当时，， 当时，． 综合以上可得，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $