2024年中考数学专题复习: 二次函数中的恒成立问题（一）

二次函数中的恒成立问题(一) 1.(2024•尤溪县二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣x﹣2(a>0)交y轴于点A,点P,B在抛物线上,已知AB∥x轴,且 OAB为等腰直角三角形,设AB的中点为F,点P的纵坐标为t. (1)求抛物线的函数表达式; (2)是否存在常数m,使得PF=t﹣m恒成立?若存在求出m的值,若不存在请说明理由; (3)已知M(0,﹣3),设PM=d,求d﹣t的最大值,并求当d﹣t取最大值时点P的坐标. 2.(2024•邵东市三模)有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”,如菱形,正方形等都是“乐学四边形”,这一组相等的邻边叫做“善思线段”.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点D. (1)当,,c=5,请判断四边形COBD是否为“乐学四边形”,如果是,请说明理由并指出“善思线段”,如果不是,请说明理由. (2)在第(1)问的条件下,试探究在第一象限内,抛物线上是否存在一点E使得S ABE=,若存在,请求出点E的横坐标,若不存在,请说明理由. (3)四边形COBD为“乐学四边形”,且CD=OC.抛物线还满足: ①a<0,ab≠0,c=2; ② ABD为等腰直角三角形; 点P(x0,y0)是抛物线y=ax2+bx+c上任意一点,且,若恒成立,求m的最小值. 3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0) (1)已知抛物线的对称轴为直线x=3,若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为1:2,求这两个交点的坐标; (2)已知对于抛物线上的任意一点(x0,y0),点(4﹣x0,y0)也在此抛物线上,且16a2﹣8ac+c2=0,若存在一点G(m,m)恰在该抛物线上,求a的取值范围; (3)已知当x>﹣1时,y随x的增大而增大,且抛物线与直线y=ax﹣+c只有一个交点D,若OD>2恒成立,求c的取值范围. 4.(2024•洪山区模拟)如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴负半轴交于点C,且OB=OC,D为抛物线的顶点. (1)直接写出抛物线的解析式; (2)如图1,连BC,BD,点Q在抛物线上,且∠QBA=∠CBD,求Q点坐标; (3)如图2,过点P(0,﹣1)的直线l与抛物线相交于E,F两点,与抛物线的对称轴交于N点,直线l上另有一点M,且四个点M,E,N,F在直线l上,自下而上依此排,若EM•NF=EN•MN恒成立,求M点的纵坐标. 5.以x为自变量的两个函数y与g,令h=y﹣g,我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如:以x为自变量的函数y=x2与g=2x﹣1它们的“相关函数”为h=y﹣g=x2﹣2x+1.h=x2﹣2x+1=(x﹣1)2≥0恒成立,所以借助该“相关函数”可以证明:不论自变量x取何值,y≥g恒成立. (1)已知函数y=x2+mx+n与函数g=4x+1相交于点(﹣1,﹣3)、(3,13),求函数y与g的“相关函数”h; (2)已知以x为自变量的函数y=3x+t与g=x﹣2,当x>1时,对于x的每一个值,函数y与g的“相关函数”h>0恒成立,求t的取值范围; (3)已知以x为自变量的函数y=ax2+bx+c与g=﹣2bx﹣c(a、b、c为常数且a>0,b≠0),点、B(﹣2,y1)、C(1,y2)是它们的“相关函数”h的图象上的三个点,且满足2c<y2<y1,求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围. 6.(2024春•越秀区校级月考)已知抛物线C:y1=a(x﹣h)2﹣1,直线l:y2=kx﹣kh﹣1. (1)求证:直线l恒过抛物线C的顶点; (2)当a=﹣1,m≤x≤2时,y1≥x﹣3恒成立,直接写出m的取值范围; (3)当0<a≤2,k>0时,若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点,求k的取值范围. 7.(2023秋•辽宁期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=x2+mx+n(其中m,n均为常数)交x轴于A,B两点(点A在点B左侧),A点的坐标为(1,0),设抛物线交y轴于点C,点D为抛物线的顶点,连接OD,AD,AC.且抛物线对于如下不等式恒成立:. (1)求抛物线的解析式; (2)①求证:∠CDA=∠ODA; ②连接BC,DB,点P为抛物线上一动点,连接DP交BC于Q.若∠DQC=∠CAB,求点Q的坐标; (3)在x轴上有一点G(a,0)(a为常数),以G为对称中心,将抛物线旋转180 得到抛物线C2,将点G向上平移2|a|个单位得到H,连接BH.当C2与 BGH的直角边有两个公共点时,请直接写出a的取值范围 . 8.(2023秋•开福区校级期末)已知抛物线l1:y=ax2+(2b+1)x+2b,直线l2:y=mx+n(0<m<n). (1)若抛物线l1的对称轴为直线x=1,且经过点(﹣1,0),求该抛物线的解析式; (2)在(1)的条件下,将抛物线l1图象x轴下方的部分沿x轴向上翻折,得到的新图象记作w,图象w与直线y=t+1恒有四个交点,从左到右四个交点依次记为A,B,C,D,是否存在以BC为直径的圆恰好过点M(1,1)?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由; (3)若抛物线l1经过(s,﹣4),当a=1,﹣2<b<2时,对于任意实数x,满足ax2+(2b+1)x+2b≥﹣4恒成立;且当m≤x≤n时,恰好有,求直线l2的解析式. 9.(2023秋•长沙县期末)我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”,交点称为“五好点”,两交点间的距离称为“五好距”. (1)判断下列函数是“五好函数”吗?如果是,请在括号里打“√”,如果不是则打“ ”; ①y=( );②y=x2﹣x﹣6( ); (2)求出“五好函数”y=x2﹣2(a+1)x+a2+2a﹣3的“五好距”; (3)①已知“五好函数”G:y=x2﹣2(a+1)x+a2+2a﹣3左侧的“五好点”位于A(1,0)和B(5,0)之间(含A,B两点),求a的取值范围; ②不论m取何值,不等式bm2+2bm+2m+b+>0(b>0)恒成立,在①的条件下,函数y=a2﹣2ab+b2+b﹣3(b为常数)的最小值为3b﹣12,求b的值. 10.(2024•越秀区校级二模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0). (1)已知抛物线的对称轴为直线x=3,若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为1:2,求这两个交点的坐标; (2)已知对于抛物线上的任意一点(x0,y0),点(4﹣x0,y0)也在此抛物线上,且16a2﹣8ac+c2=0,若存在一点G(m,m)恰在该抛物线上,求a的取值范围; (3)已知当x>﹣1时,y随x的增大而增大,且抛物线与直线y=ax﹣+c相切(只有一个交点)于点D,若OD≥2恒成立,求c的取值范围. 11.(2023•东城区一模)已知抛物线y=ax2﹣2ax(a≠0). (1)求该抛物线的顶点坐标(用含a的式子表示); (2)当a>0时,抛物线上有两点(﹣1,s),(k,t),若s>t时,直接写出k的取值范围; (3)若A(m﹣1,y1),B(m,y2),C(m+3,y3)都在抛物线上,是否存在实数m,使得y1<y3<y2≤﹣a恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 12.(2023秋•岳麓区校级月考)在平面直角坐标系中,给出如下定义:已知两个函数,如果对于任意的自变量x,这两个函数对应的函数值记为y1,y2,恒有点(x,y1)和点(x,y2)关于点成中心对称(此三个点可以重合),则称这两个函数互为“友好函数”.例如:和互为“友好函数”. (1)判断:①y=﹣x和y=2x;②和;③和,其中互为“友好函数”的是 (填序号). (2)若函数y=2x﹣4的“友好函数”与反比例函数的图象在第一象限内有两个交点C和D. ①求m的取值范围; ②若 COD的面积为,求m的值. (3)若M(1,m),N(3,n),P(t,m)三个不同的点均在二次函数y=﹣ax2+(1﹣b)x﹣c(a,b,c为常数,且a>0)的“友好函数”的图象上,且满足m<n<c,若存在常数w,使得恒成立,求w的取值范围. 13.(2023•安徽自主招生)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+m的图象与x轴交于A(﹣1,0),与y轴交于点C.以直线x=2为对称轴的抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,C两点,并与x轴正半轴交于点B. (1)求m的值及抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)的函数表达式; (2)设点D(0,),若F是抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴上使得 ADF的周长最小值的点,过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1(x1,y1),M2(x2,y2)两点,试探究是否为定值?请说明理由; (3)将抛物线C1作适当平移,得到抛物线C2:y2=﹣(x﹣h)2,h>1,若当1<x≤m时,y2≥﹣x恒成立,求m的最大值. 14.(2023•宿豫区三模)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2的抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)也经过点A、点C,并与x轴正半轴交于点B. (1)求抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)的函数表达式; (2)设点E(0,),点F在抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)对称轴上,并使得 AEF的周长最小,过点F任意作一条与y轴不平行的直线交此抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,试探究的值是否为定值?说明理由; (3)将抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)适当平移后,得到抛物线y3=a(x﹣h)2(h>1),若当1<x≤m时,y3≥﹣x恒成立,求m的最大值. 15.(2023春•江岸区校级月考)如图,抛物线y=ax2﹣x+c(a>0)与x轴正半轴交于点A、B,与y轴交于点C. (1)若抛物线的对称轴为x=2,求a的值; (2)若OB=2OC,求sin∠ACB的值; (3)已知抛物线的顶点为P(,﹣),动直线l:y=kx与抛物线交于点E、F(点E在点F左边),与 对称轴交于点N,若x轴下方的一条直线y=t交直线l于M,使得=恒成立,试确定t的值. 16.(2023•亭湖区校级模拟)已知抛物线,点F(2,﹣2).过F的直线L与抛物线C1交于点M、N. (1)如图1,当MN平行x轴时,= ; (2)如图2过F的直线L与抛物线C1交点M(m,n)满足0<m<2,则线段MF的长= (用含n的式子表示); (3)如图2过F的直线L与抛物线C1交点M(m,n)满足0<m<2,试探究值是否不变?如果是定值,请给出解答过程,如果不是定值,请说明理由; (4)将抛物线C1作适当的平移,得抛物线,若t≤x<﹣1时,y2≥x恒成立,请直接写出t的最小值 . 17.(2023•硚口区模拟)抛物线y=﹣x2﹣2x+3交x轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C. (1)直接写出点A,B,C的坐标; (2)如图1,连接AC,BC,点P在抛物线上,且∠PCA=∠BCO,求点P的坐标; (3)如图2,直线l:y=kx(k<0)与抛物线交于点E,F(点E在点F的左边),与抛物线的对称轴交于点N,直线y=t(t>0)交直线l于点M(点M在点E的左边),使恒成立,求t的值. 18.在平面直角坐标系中,给出如下定义:已知两个函数,如果对于任意的自变量x,这两个函数对应的函数值记为y1,y2,恒有点(x,y1)和点(x,y2)关于点成中心对称(此三个点可以重合),则称这两个函数互为“友好函数”.例如:和互为“友好函数”. (1)判断:①y=﹣x和y=2x;②和;③,其中互为“友好函数”的是 (填序号). (2)若函数y=2x﹣4的“友好函数”与反比例函数的图象在第一象限内有两个交点点C和点D. ①求m的取值范围; ②若 COD的面积为,求m的值. (3)若M(1,m),N(3,n),P(t,m)三个不同的点均在二次函数y=﹣ax2+(1﹣b)x﹣c(a,b,c为常数,且a>0)的“友好函数”的图象上,且满足m<n<c,若存在常数w,使得恒成立,求w的取值范围. 19.(2023•天心区二模)如图1,已知抛物线与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,直线l:y=kx+b经过点B,与y轴负半轴交于点D. (1)若D(0,﹣8),且DB=DC,求a的值; (2)如图2,若点D为 ABC的内心,且 ABC的内切圆半径为3,直线BD上是否存在点P(不与点D重合),使得 BCP与 BCD相似,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图3,点E是抛物线F1与直线l的另一个交点,已知OC=2OD,且 BCE的面积为9.此时,对于在抛物线上且介于点E与点B之间(含B与E)的动点Q(x0,y0),总能使不等式及不等式恒成立,求m的取值范围. 20.(2023•滨湖区校级一模)如图,直线交x轴于点C,交y轴于点A,抛物线过点A,与x轴交于点B、C. (1)求该抛物线的解析式. (2)如图1,点P在抛物线上,横坐标为2.Q是抛物线上的动点,且在直线AC上方.若S QAC>3S PAC恒成立,求点Q的横坐标xQ的取值范围. (3)如图2,连接AB,点M(m,0)为x轴上一动点,将 OAB绕点M逆时针旋转90 ,得到 O′A′B′,若 O′A′B′的边与抛物线有交点,直接写出m的取值范围. ( 1 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$ 二次函数中的恒成立问题（一） 1．（2024•尤溪县二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x﹣2（a＞0）交y轴于点A，点P，B在抛物线上，已知AB∥x轴，且△OAB为等腰直角三角形，设AB的中点为F，点P的纵坐标为t． （1）求抛物线的函数表达式； （2）是否存在常数m，使得PF＝t﹣m恒成立？若存在求出m的值，若不存在请说明理由； （3）已知M（0，﹣3），设PM＝d，求d﹣t的最大值，并求当d﹣t取最大值时点P的坐标． 【解答】解：（1）如图1，在函数y＝ax2﹣x﹣2（a＞0）中，当x＝0时，y＝﹣2，故A（0，﹣2）． ∵直线AB∥x轴， ∴AB⊥OA． 又∵△OAB为等腰直角三角形， ∴AB＝OA＝2． ∴B（2，﹣2）或B（﹣2，﹣2）． 若B（2，﹣2），则4a﹣2﹣2＝﹣2，解得a＝； 若B（﹣2，﹣2），则4a+2﹣2＝﹣2，解得a＝﹣与a＞0矛盾． ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2； （2）存在常数m，使得PF＝t﹣m恒成立；理由如下： ∵F为AB中点， ∴AF＝＝1， ∴F（1，﹣2）， 过P作AB的垂线，垂足为H，连接PH，FH，如图2． 设P（s，t）． 则PH＝|t+2|，FH＝|s﹣1|． ∵点P在抛物线上， ∴t＝s2﹣s﹣2＝（s﹣1）2﹣， 即（s﹣1）2＝2t+5， ∵∠PHF＝90°， ∴PF＝＝＝|t+3|， ∵t＝（s﹣1）2﹣≥， ∴t+3＞0． ∴PF＝t+3． 即：存在m＝﹣3，使得PF＝t+m恒成立； （3）由（2）知，PF＝t+3，即t＝PF﹣3． ∴d﹣t＝PM﹣（PF﹣3）＝PM﹣PF+3≤MF+3． 当P在MF延长线上时，上式等号成立，如图3． ∵A（0，﹣2），M（0，﹣3）， ∴AM＝﹣2+3＝1， 又∵AF＝1，且AF⊥AM， ∴MF＝且∠AMF＝45°， ∴d﹣t的最大值为MF+3＝+3； 设d﹣t取最大值时P的位置为点P′（m，n）． 过P′作y轴的垂线，垂足为Q． 则P′Q＝m，MQ＝n﹣（﹣3）＝n+3， ∵P′Q⊥QM，∠QMP＝45°， ∴MQ＝P′Q，即m＝n+3， ∵P′在抛物线上， ∴n＝m2﹣m﹣2， ∴m＝m2﹣m﹣2+3， 整理得m2﹣4m+2＝0， 解得：m＝2±， ∵P′在MF的延长线上，故m＞1， ∴m＝+2， 则n＝m﹣3＝﹣1， 即当d﹣t取得最大值时，点P的坐标为（+2，﹣1） 2．（2024•邵东市三模）有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，正方形等都是“乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． （1）当，，c＝5，请判断四边形COBD是否为“乐学四边形”，如果是，请说明理由并指出“善思线段”，如果不是，请说明理由． （2）在第（1）问的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点E使得S△ABE＝，若存在，请求出点E的横坐标，若不存在，请说明理由． （3）四边形COBD为“乐学四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足： ①a＜0，ab≠0，c＝2； ②△ABD为等腰直角三角形； 点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+c上任意一点，且，若恒成立，求m的最小值． 【解答】解：（1）四边形COBD是“乐学四边形”，OC，CD是“善思线段”，理由如下： 当，，c＝5时，代入抛物线y＝ax2+bx+c得， 令y＝0，得， 解得，， 令x＝0，得y＝5， ∴，B，C（0，5）， ∵， ∴顶点D（4，8）， ∴OC＝5， ∴ ∴OC＝CD， ∴四边形COBD是“乐学四边形”，OC，CD是“善思线段”． （2）存在，点E的横坐标为． 如图，过点E作EH⊥x轴于点H，连接AE，BE， 则S△ABE＝， 由（1）可知，B， ∴， ∴EH＝2， ∵点E在第一象限内， ∴点E的纵坐标为2， 令y＝2，得， 解得，，（舍去）， ∴点E的横坐标为． （3）在抛物线y＝ax2+bx+2中，顶点D的坐标为，C（0，2）， ∵CD＝OC． ∴CD2＝OC2， ∴， ∵△ABD为等腰直角三角形，过点D作DK⊥AB于点K，如图， ∴， 在y＝ax2+bx+2中，令y＝0，得ax2+bx+2＝0， 解得，， ∴A（，0），B，0）， ∴， ∵， ∴， 联立①②，且ab＜0， 得，， ∴抛物线解析式为， ∴t＝＝＝＝， ∴当时，t有最大值， ∵恒成立， ∴tmax， ∴， ∴， ∴m的最小值为． 3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0） （1）已知抛物线的对称轴为直线x＝3，若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为1：2，求这两个交点的坐标； （2）已知对于抛物线上的任意一点（x0，y0），点（4﹣x0，y0）也在此抛物线上，且16a2﹣8ac+c2＝0，若存在一点G（m，m）恰在该抛物线上，求a的取值范围； （3）已知当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，且抛物线与直线y＝ax﹣+c只有一个交点D，若OD＞2恒成立，求c的取值范围． 【解答】解：（1）设这两个交点的横坐标为x1，x2， 根据题意，得：， 解得：， ∴这两个交点的坐标为（2，0），（4，0）； （2）∵由点（x0，y0），点（4﹣x0，y0）在抛物线上， ∴抛物线对称轴为：， ∴b＝﹣4a， ∵16a2﹣8ac+c2＝0， ∴（4a﹣c）2＝0， ∴c＝4a， ∴抛物线解析式为：y＝ax2﹣4ax+4a， ∵点G（m，m）恰在该抛物线y＝ax2﹣4ax+4a上， ∴am2﹣4am+4a＝m，方程有实数根， 整理：am2﹣（4a+1）m+4a＝0， ∴[﹣（4a+1）]2﹣4a×4a≥0， 解得：， ∵a≠0， ∴a的取值范围为：，且a≠0； （3）由题意得：抛物线在x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴， ∴b≥2a＞0， ∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线相切于点D，设切点坐标为D（x1，y2）， 联立方程组，得：， 整理，得：， 即，且，， ∴（b﹣a）2﹣4＝0， ∴b﹣a＝2或b﹣a＝﹣2（舍去）， 即b＝a+2， ∴，则， 根据点D在直线上有：， ∵b≥2a＞0， ∴a+2≥2a＞0， ∴0＜a≤2， ∵， ∴， 令，则， 则OD2＝2t2+2（1﹣c）t+（c﹣1）2， 化为顶点式为：， 由于该抛物线开口向上，且顶点横坐标为， ∵恒成立， ∴OD2＞8， ①若，即c＞2， 当时，最小值， 解得：c＞5或c＜﹣3， ∴c＞5； ②若，即c≤2， 当时，有最小值， 解得：或， ∴， 综上所述，c＞5或． 4．（2024•洪山区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OB＝OC，D为抛物线的顶点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，连BC，BD，点Q在抛物线上，且∠QBA＝∠CBD，求Q点坐标； （3）如图2，过点P（0，﹣1）的直线l与抛物线相交于E，F两点，与抛物线的对称轴交于N点，直线l上另有一点M，且四个点M，E，N，F在直线l上，自下而上依此排，若EM•NF＝EN•MN恒成立，求M点的纵坐标． 【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3， 则点C（0，﹣3）， 由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 则﹣3a＝﹣3， 解得：a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）延长BD交y轴于点H，过点H作HN⊥BC交BC的延长线于点N， 由点B、C的坐标得，OC＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠NCH，BC＝3， 故设CN＝NH＝x，则CH＝x， 由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝2x﹣6， 则点H（0，﹣6），则CH＝﹣3+6＝3＝x， 则x＝， 则tan∠CBD＝＝＝＝＝tan∠QBA， 则直线BQ的表达式为：y＝±（x﹣3）， 联立直线BQ的表达式和抛物线的表达式得：x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）或x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣3）， 解得：x＝﹣3（舍去）或﹣或﹣， 则点Q的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣，）； （3）设点E、F、M的横坐标分别为m、n、x，而xF＝1， 设直线MN的表达式为：y＝kx﹣1， 联立上式和抛物线的表达式得：kx﹣1＝x2﹣2x﹣3， 则m+n＝k+2，mn＝﹣2， ∵EM•NF＝EN•MN，点M、E、N、F在同一直线上， 则（xE﹣xM）（xF﹣xN）＝（xN﹣xE）（xN﹣xM）， 即（m﹣x）（n﹣1）＝（1﹣m）（1﹣x）， 整理得：mn﹣（m+n）x+2x﹣1＝0， 而m+n＝k+2，mn＝﹣2， 则kx＝﹣3， 则yM＝kx﹣1＝﹣4， 即点M的纵坐标为﹣4． 5．以x为自变量的两个函数y与g，令h＝y﹣g，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数y＝x2与g＝2x﹣1它们的“相关函数”为h＝y﹣g＝x2﹣2x+1．h＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，y≥g恒成立． （1）已知函数y＝x2+mx+n与函数g＝4x+1相交于点（﹣1，﹣3）、（3，13），求函数y与g的“相关函数”h； （2）已知以x为自变量的函数y＝3x+t与g＝x﹣2，当x＞1时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”h＞0恒成立，求t的取值范围； （3）已知以x为自变量的函数y＝ax2+bx+c与g＝﹣2bx﹣c（a、b、c为常数且a＞0，b≠0），点、B（﹣2，y1）、C（1，y2）是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足2c＜y2＜y1，求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围． 【解答】解：（1）∵已知函数 y＝x2+mx+n与函数g＝4x+1相交于点 （﹣1，﹣3）、（3，13），代入得： ， 解得， ∴函数y＝x2+2x﹣2， ∴h＝y﹣g＝（x2+2x﹣2）﹣（4x+1）＝x2﹣2x﹣3； （2）∵函数y＝3x+t与g＝x﹣2， ∴相关函数h＝y﹣g＝2x+t+2， ∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”h＞0恒成立， ∴h＝2x+t+2＞0（x＞1）恒成立， 当x＝1 时，w＝2×1+t+2＝t+4， 当x＞1时，t+4≥0恒成立，所以t≥﹣4； （3）∵函数y＝ax2+bx+c与g＝﹣2bx﹣c， ∴h＝ax2+3bx+2c， 将点 ，B（﹣2，y1），C（1，y2）代入解析式得： ， y1＝4a﹣6b+2c，y2＝a+3b+2c， ∴， ∵2c＜y2＜y1， ∴2c＜a+3b+2c＜4a﹣6b+2c， 解不等式得：且， 令，则且t≠0， 设函数h与x轴交于 （x1，0），（x2，0）， ∴x1 x2是方程ax2+3bx+2c＝0的两根， ∴ ∴函数h的图象截x轴得到的线段长度为：＝， ∵且t≠0， ∴0＜|1+3|＜2且|1+3t|≠1，即0＜|x1﹣x2|＜2且|x1﹣x2|≠1， ∴函数w的图象截x轴得到的线段长度的取值范围大于0小于2且不等于1． 6．（2024春•越秀区校级月考）已知抛物线C：y1＝a（x﹣h）2﹣1，直线l：y2＝kx﹣kh﹣1． （1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点； （2）当a＝﹣1，m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，直接写出m的取值范围； （3）当0＜a≤2，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围． 【解答】（1）证明：抛物线C的顶点坐标为（h，﹣1）， 当x＝h 时，y2＝kh﹣kh﹣1＝﹣1， ∴直线l恒过抛物线C的顶点； （2）解： 当a＝﹣1时，抛物线C解析式为y1＝﹣（x﹣h）2﹣1， 令y3＝x﹣3， 如图1所示：抛物线C的顶点在直线y＝﹣1上移动， 当m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立， 则可知抛物线C的顶点为（2，﹣1）， 设抛物线C与直线y3＝x﹣3除顶点外的另一交点为M， 此时点M的横坐标即为m的最小值， 由， 解得：或， ∴m的最小值为1， ∴m的取值范围为1≤m≤2； （3）如图2所示：由（1）可知：抛物线C与直线l都过点A（h，﹣1）． 当0＜a≤2时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x＝h+2时，y2＞y1恒成立． ∴k（h+2）﹣kh﹣1＞a（h+2﹣h）2﹣1，整理得：k＞2a． 又∵0＜a≤2， ∴0＜2a≤4， ∴k＞4． 7．（2023秋•辽宁期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+mx+n（其中m，n均为常数）交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），A点的坐标为（1，0），设抛物线交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接OD，AD，AC．且抛物线对于如下不等式恒成立：． （1）求抛物线的解析式； （2）①求证：∠CDA＝∠ODA； ②连接BC，DB，点P为抛物线上一动点，连接DP交BC于Q．若∠DQC＝∠CAB，求点Q的坐标； （3）在x轴上有一点G（a，0）（a为常数），以G为对称中心，将抛物线旋转180°得到抛物线C2，将点G向上平移2|a|个单位得到H，连接BH．当C2与△BGH的直角边有两个公共点时，请直接写出a的取值范围 　1≤a≤3　． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点A， ∴1+m+n＝0，即n＝﹣1﹣m， ∴y＝x2+mx﹣1﹣m， ∵：， ∴， 将不等式①、②看作两个抛物线y＝x2+（m+4）x﹣4﹣m，y＝x2+（m﹣2）x+5﹣m， 此时两个抛物线均处于x轴上方，即与x轴没有公共点或有一个公共点， ∴Δ＝m2+12m+32≤0，Δ＝m2﹣4m+4﹣4（5﹣m）＝m2﹣16≤0， 解得﹣8≤m≤﹣4，﹣4≤m≤4， ∴m＝﹣4， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）①当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴D（2，﹣1）， 设直线CD的解析式为y＝kx+3， ∴2k+3＝﹣1， 解得k＝﹣2， ∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+3， 设A点到OD的距离为h1，A点到CD的距离为h2， ∵OD＝，CD＝2，直线CD与x轴的交点为（，0）， ∴＝×h1，（﹣1）×（3+1）＝2h2， 解得h1＝h2＝， ∴DA是∠ODC的平分线， ∴∠CDA＝∠ODA； ②当y＝0时，x2﹣4x+3＝0， 解得x＝1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴OB＝OC＝3， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∴BD＝，BC＝3，CD＝2， ∴CD2＝BC2+BD2， ∴三角形BCD是直角三角形， ∴∠CBD＝90°， 设Q（t，﹣t+3）， ∵∠DQC＝∠CAB， ∴∠BQD＝∠CAO， ∵tan∠CAO＝＝3， ∴＝3， ∴BQ＝， ∴＝， 解得t＝或t＝（舍）， ∴Q（，）； （3）设抛物线C2上任意一点（x，y）， 则（x，y）关于G（a，0）的对称点为（2a﹣x，﹣y）， ∴抛物线C2的解析式为﹣y＝（2a﹣x）2﹣4（2a﹣x）+3，整理得y＝﹣x2+（4a﹣4）x﹣4a2+8a﹣3， 由平移可知H（a，2|a|）， 当抛物线C2经过点B时，﹣9+12a﹣12﹣4a2+8a﹣3＝0， 解得a＝2或a＝3（舍）；当抛物线C2经过点G时，﹣a2+（4a﹣4）a﹣4a2+8a﹣3＝0， 解得a＝1或a＝3（舍）； ∴1≤a≤3时，C2与△BGH的直角边有两个公共点， 故答案为：1≤a≤3． 8．（2023秋•开福区校级期末）已知抛物线l1：y＝ax2+（2b+1）x+2b，直线l2：y＝mx+n（0＜m＜n）． （1）若抛物线l1的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），求该抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，将抛物线l1图象x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的新图象记作w，图象w与直线y＝t+1恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为A，B，C，D，是否存在以BC为直径的圆恰好过点M（1，1）？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）若抛物线l1经过（s，﹣4），当a＝1，﹣2＜b＜2时，对于任意实数x，满足ax2+（2b+1）x+2b≥﹣4恒成立；且当m≤x≤n时，恰好有，求直线l2的解析式． 【解答】解：（1）∵抛物线l1的对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1， ∴a+b＝﹣， 将点（﹣1，0）代入y＝ax2+（2b+1）x+2b， ∴a﹣2b﹣1+2b＝0， 解得a＝1， ∴b＝﹣， ∴抛物线l1的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）存在以BC为直径的圆恰好过点M（1，1），理由如下： ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∵图象w与直线y＝t+1恒有四个交点， ∴0＜t+1＜4，即﹣1＜t＜3， ∵以BC为直径的圆经过点M（1，1）， ∴∠BMC＝90°， ∵B、C点关于直线x＝1对称， ∴MB＝MC， ∴△MBC是等腰直角三角形， ∴C（t+1，t+1）， ∵C点关于x轴的对称点为（t+1，﹣t﹣1）， ∴﹣t﹣1＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3， 解得t＝或t＝（舍）； （3）当a＝1时，y＝x2+（2b+1）x+2b， ∵ax2+（2b+1）x+2b≥﹣4恒成立， ∴（s，﹣4）是抛物线的顶点， ∴＝﹣4， 解得b＝﹣或b＝， ∵﹣2＜b＜2， ∴b＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∵当m≤x≤n时，恰好有， ∴≥， ∴﹣≤y≤﹣， ∵y＝（x﹣1）2﹣4， ∴﹣≥﹣4， ∴m≥1， ∴当m≤x≤n时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m、n是方程x3﹣2x2﹣3x+4＝0的其中两个根， ∵（x﹣1）（x2﹣x﹣4）＝0， 解得x＝1或x＝或x＝， ∵n＞m≥1， ∴m＝1，n＝， ∴直线l2的解析式为y＝x+． 9．（2023秋•长沙县期末）我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”，交点称为“五好点”，两交点间的距离称为“五好距”． （1）判断下列函数是“五好函数”吗？如果是，请在括号里打“√”，如果不是则打“×”； ①y＝（ 　×　）；②y＝x2﹣x﹣6（ 　√　）； （2）求出“五好函数”y＝x2﹣2（a+1）x+a2+2a﹣3的“五好距”； （3）①已知“五好函数”G：y＝x2﹣2（a+1）x+a2+2a﹣3左侧的“五好点”位于A（1，0）和B（5，0）之间（含A，B两点），求a的取值范围； ②不论m取何值，不等式bm2+2bm+2m+b+＞0（b＞0）恒成立，在①的条件下，函数y＝a2﹣2ab+b2+b﹣3（b为常数）的最小值为3b﹣12，求b的值． 【解答】解：（1）①y＝与x轴没有交点，故不是“五好函数”； ②当x2﹣x﹣6＝0时，解得x＝3或x＝﹣2， ∴y＝x2﹣x﹣6与x轴有两个不同的交点，故是“五好函数”； 故答案为：×，√； （2）x2﹣2（a+1）x+a2+2a﹣3＝0时，x1+x2＝2a+2，x1•x2＝a2+2a﹣3， ∴“五好距”为＝4； （3）①由题可知当x＝1时，﹣2（a+1）+a2+2a﹣3≥0，解得a≥2或a≤﹣2， 当x＝5时，25﹣10（a+1）+a2+2a﹣3≤0，解得2≤a≤6， ∴a的取值范围是2≤a≤6； ②令y＝bm2+2bm+2m+b+＝b（m+1+）2+﹣， ∵b＞0， ∴关于m的函数有最小值﹣， ∵不论m取何值，不等式bm2+2bm+2m+b+＞0（b＞0）恒成立， ∴﹣＞0，即b＜2， ∵2≤a≤6， y＝a2﹣2ab+b2+b﹣3＝（a﹣b）2+b﹣3， 当a≤2时，当x＝2时有最小值，即（2﹣b）2+b﹣3＝3b﹣12， 此时b无解； 当a≥6时，当x＝6时有最小值，即（6﹣b）2+b﹣3＝3b﹣12， 解得b＝5（舍）或b＝9； 当2＜b＜9时，b﹣3＝3b﹣12， 解得b＝； 综上所述：b的值为9或． 10．（2024•越秀区校级二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）． （1）已知抛物线的对称轴为直线x＝3，若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为1：2，求这两个交点的坐标； （2）已知对于抛物线上的任意一点（x0，y0），点（4﹣x0，y0）也在此抛物线上，且16a2﹣8ac+c2＝0，若存在一点G（m，m）恰在该抛物线上，求a的取值范围； （3）已知当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，且抛物线与直线y＝ax﹣+c相切（只有一个交点）于点D，若OD≥2恒成立，求c的取值范围． 【解答】解：（1）设这两个交点的横坐标为x1，x2，根据题可得，解得， ∴这两个交点的坐标为（2，0），（4，0）； （2）由点（x0，y0），点（4﹣x0，y0）在抛物线上，可得对称轴为直线x＝2， ∴x＝﹣＝2，即b＝﹣4a， ∵16a2﹣8ac+c2＝0， ∴（4a﹣c）2＝0， ∴c＝4a， ∴抛物线的解析式为：y＝ax2﹣4ax+4a， ∵点G（m，m）在直线y＝x上， ∴令x＝ax2﹣4ax+4a，整理得ax2﹣（4a+1）x+4a＝0， ∵存在一点G（m，m）恰在抛物线上， ∴Δ＝（4a+1）2﹣4a•4a≥0，解得a≥﹣． 即a的取值范围a≥﹣且a≠0． （3）由题意得， ∴b≥2a＞0， 令ax2+bx+c＝ax﹣+c，整理得ax2+（b﹣a）x+＝0， ∴（b﹣a）2﹣4＝0， ∴b﹣a＝2或b﹣a＝﹣2（舍去）， ∴a+2≥2a＞0， ∴0＜a≤2， ∴x1＝x2＝﹣， ∴D（﹣，﹣1﹣+c）， ∴OD2＝（﹣）2+（﹣1﹣+c）2＝+（1﹣c）+（c﹣1）2， 令t＝，则t，OD2＝2t2+2（1﹣c）t+（c﹣1）2， ①若，即c＞2， 当t＝时，OD2min＝≥8， 解得c≥5或c≤﹣3， ∴c≥5； ②若≤，即c≤2， 当t＝时，OD2min＝（c﹣）2+≥8， 解得c≥或． ∴． 综上，c≥5或． 11．（2023•东城区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）当a＞0时，抛物线上有两点（﹣1，s），（k，t），若s＞t时，直接写出k的取值范围； （3）若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+3，y3）都在抛物线上，是否存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a）； （2）当a＞0时，如图， 当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣a）， ∴抛物线的对称轴为为直线x＝1， ∴点（﹣1，s）关于直线x＝1的对称点为（3，s）， ∵点（﹣1，s），（k，t），s＞t， ∴﹣1＜k＜3； （3）存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立， ∵y1＜y3＜y2≤﹣a，抛物线的顶点坐标为（1，﹣a）， ∴抛物线开口向下， ∴a＜0， 如图，当B（m，y2），C（m+3，y3）关于抛物线对称轴对称时，＝1， 解得m＝﹣， ∴m＞﹣时，y3＜y2≤﹣a， 当A（m﹣1，y1），B（m，y2）关于抛物线对称轴对称时，＝1， 解得m＝， ∴m＜时，y1＜y2≤﹣a， 当A（m﹣1，y1），C（m+3，y3）关于抛物线对称轴对称时，＝1， 解得m＝0， ∴m＜0时，y1＜y3≤﹣a， 综上，存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立，m的取值范围为﹣＜m＜0． 12．（2023秋•岳麓区校级月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”． （1）判断：①y＝﹣x和y＝2x；②和；③和，其中互为“友好函数”的是 　①②　（填序号）． （2）若函数y＝2x﹣4的“友好函数”与反比例函数的图象在第一象限内有两个交点C和D． ①求m的取值范围； ②若△COD的面积为，求m的值． （3）若M（1，m），N（3，n），P（t，m）三个不同的点均在二次函数y＝﹣ax2+（1﹣b）x﹣c（a，b，c为常数，且a＞0）的“友好函数”的图象上，且满足m＜n＜c，若存在常数w，使得恒成立，求w的取值范围． 【解答】解：（1）已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”． ∵y＝﹣x图象上的点（x，﹣x）和y＝2x图象上的点（x，2x）关于成中心对称， ∴y＝﹣x和y＝2x是“友好函数”； 图象上的点和图象上的点关于成中心对称， ∴和是“友好函数”； 图象上的点和图象上的点不关于成中心对称， ∴和不是“友好函数”； ∴互为“友好函数”的是①②， 故答案为：①②； （2）①根据“友好函数”的定义得：， ∴， ∴y2＝﹣x+4，即函数y＝2x﹣4的“友好函数”解析式为y＝﹣x+4， ∵反比例函数的图象与直线y＝﹣x+4在第一象限内有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根均为正数， 整理得：x2﹣4x+m＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0且m＞0， 解得：0＜m＜4； ②如图，设C，D的坐标分别为 （x1，y1），（x2，y2）， ∴x1，x2是方程x2﹣4x+m＝0的两根， ∴x1+x2＝4，x1⋅x2＝m，且y1+y2＝8﹣（x1+x2）＝8﹣4＝4， ∴S△COD＝＝2（x2﹣x1）＝＝＝， ∴16﹣4m＝8， 故m＝2； （3）由得：， ∴y＝﹣ax2+（1﹣b）x﹣c（a≠0）的“友好函数”解析式为y＝ax2+bx+c， ∵M（1，m），N（3，n）在函数 y＝ax2+bx+c的上， ∴m＝a+b+c，n＝9a+3b+c， ∵m＜n＜c， ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c， ∴a+b＜9a+3b＜0， ∵a＞0， ∴， ∵点M（1，m），P（t，m）的纵坐标相等， ∴抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∴3＜t+1＜4， 解得：2＜t＜3， 设， 当t＝2时，h＝﹣1； 当t＝3时，； ∴， ∵恒成立， ∴w≥﹣1． 13．（2023•安徽自主招生）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x＝2为对称轴的抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，C两点，并与x轴正半轴交于点B． （1）求m的值及抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式； （2）设点D（0，），若F是抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值？请说明理由； （3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2，h＞1，若当1＜x≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0） ∴0＝﹣+m， ∴m＝． ∴一次函数的解析式为y＝x+． ∴点C的坐标为（0，）． ∵y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点且对称轴是直线x＝2，代入得： ， 解得， ∴y＝﹣x2+x+． ∴a的值为，抛物线C1的函数表达式为y＝﹣x2+x+． （2）+为定值；理由如下： 要使△ADF的周长取得最小，只需AF+DF最小 连接BD交x＝2于点F，因为点B与点A关于x＝2对称， 根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小． 令y＝﹣x2+x+中的y＝0，则x＝﹣1或5， ∴B（5，0）， ∵D（0，）， ∴直线BD解析式为y＝﹣x+， ∴F（2，）． 令过F（2，）的直线M1M2解析式为y＝kx+b1， 则＝2k+b1， ∴b1＝﹣2k 则直线M1M2的解析式为y＝kx+﹣2k． 解法一： 由， 得x2﹣（4﹣4k）x﹣8k＝0， ∴x1+x2＝4﹣4k，x1x2＝﹣8k， ∵y1＝kx1+﹣2k，y2＝kx2+﹣2k， ∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2）， ∴M1M2＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4（1+k2）， M1F＝ ＝ ＝， 同理M2F＝， ∴M1F•M2F＝（1+k2） ＝（1+k2） ＝（1+k2） ＝4（1+k2）＝M1M2， ∴+＝ ＝＝1； 解法二： ∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣2）2+， ∴（x﹣2）2＝9﹣4y， 设M1（x1，y1），则有（x1﹣2）2＝9﹣4y1． ∴M1F＝＝＝﹣y1； 设M2（x2，y2），同理可求得：M2F＝﹣y2． ∴+＝＝＝①． 直线M1M2的解析式为y＝kx+﹣2k，即：y﹣＝k（x﹣2）． 联立y﹣＝k（x﹣2）与抛物线（x﹣2）2＝9﹣4y，得： y2+（4k2﹣）y+﹣9k2＝0， ∴y1+y2＝﹣4k2，y1y2＝﹣9k2，代入①式，得： +＝＝1． （3）设y2与y＝﹣x的两交点的横坐标分别为x0，x1， ∵抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2可以看成由y＝﹣x2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x0，x0′的值不断增大， ∴当1＜x≤m，y2≥﹣x恒成立时，m最大值在x1处取得 ∴当x0＝1时，对应的x1即为m的最大值 将x0＝1代入y2＝﹣（x﹣h）2＝﹣x得（1﹣h）2＝4， ∴h＝3或﹣1（舍）， 将h＝3代入y2＝﹣（x﹣h）2＝﹣x有： ﹣（x﹣3）2＝﹣x， ∴x0＝1，x1＝9． ∴m的最大值为9． 14．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2的抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）也经过点A、点C，并与x轴正半轴交于点B． （1）求抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式； （2）设点E（0，），点F在抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上，并使得△AEF的周长最小，过点F任意作一条与y轴不平行的直线交此抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，试探究的值是否为定值？说明理由； （3）将抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）适当平移后，得到抛物线y3＝a（x﹣h）2（h＞1），若当1＜x≤m时，y3≥﹣x恒成立，求m的最大值． 【解答】解：（1）一次函数y1＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C， 令x＝0，则y1＝， 令y1＝0，则x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），C（0，）， ∵抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且抛物线过点A（﹣1，0），C（0，），且抛物线与x轴正半轴交于点B， ∴B（5，0）， 设函数表达式为y2＝a（x+1）（x﹣5）， 将点C（0，）代入解析式得，a（0+1）（0﹣5）＝， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y2＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+x+； （2）的值是定值，理由如下： ∵△AEF的周长为AE+AF+EF，由△AEF的周长最小，AE的长是定值， ∴AF+EF最小， 连接BE交对称轴于点F， 设BE所在直线的解析式为yBE＝mx+n，且B（5，0），E（0，）， ∴， 解得，， ∴直线BE的解析式为yBE＝﹣x+， ∵点F在抛物线的对称轴x＝2的直线上， ∴点F（2，）； ∵过点F（2，）任意作一条与y轴不平行的直线交此抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，如图所示，过点P作y的平行线，过点Q作x轴的平行线，交于点K， ∴设yPQ＝px+q，把点F（2，）代入得， ∴＝2p+q， ∴q＝﹣2p， ∴直线PQ的解析为yPQ＝px+﹣2p， 令px+﹣2p＝﹣x2+x+， 整理得：x2﹣（4﹣4p）x﹣8p＝0， ∴根据韦达定理得，x1+x2＝4﹣4p，x1x2＝﹣8p， ∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在直线PQ上，在Rt△PQK中，PK＝y1﹣y2，QK＝x1﹣x2， ∴y1＝px1+﹣2p，y2＝px2+﹣2p， ∴y1﹣y2＝p（x1﹣x2）， ∴PQ2＝QK2+PK2 ＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2 ＝（1+p2）（x1﹣x2）2 ＝（1+p2）[（x1+x2）2﹣4x1x2] ＝（1+p2）[（4﹣4p）2﹣4（﹣8p）] ＝16（1+p2）2， ∴PQ＝4（1+p2）， 同理：PF＝，QF＝， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ＝1， ∴的值是定值． （3）∵y3≥﹣x，设y4＝﹣x， ∴y3≥y4， 设新的抛物线与直线y3＝﹣x的相交的横坐标分别设为x3，x4，如图所示， ∵将抛物线y2＝﹣x2+x+适当平移后，得到抛物线y3＝a（x﹣h）2（h＞1）， ∴抛物线是左右平移，则a＝﹣， ∴y3＝﹣（x﹣h）2，由抛物线y2＝﹣x2+x+左右平移得到，观察图象， 随着图象向右平移，x3，x4的值不断增大， 若当1＜x≤m时，y3≥﹣x恒成立，即y3＝﹣（x﹣h）2≥﹣x， 则m的最大值在x4处， ∴当x3＝1时，对应的x4为最大值， ∴﹣（1﹣h）2＝﹣1， ∴h1＝3，h2＝﹣1（舍）， ∴y3＝﹣（x﹣4）2， 令﹣（x﹣3）2＝﹣x， 解得，x3＝1，x4＝9， ∴m的最大值为9． 15．（2023春•江岸区校级月考）如图，抛物线y＝ax2﹣x+c（a＞0）与x轴正半轴交于点A、B，与y轴交于点C． （1）若抛物线的对称轴为x＝2，求a的值； （2）若OB＝2OC，求sin∠ACB的值； （3）已知抛物线的顶点为P（，﹣），动直线l：y＝kx与抛物线交于点E、F（点E在点F左边），与 对称轴交于点N，若x轴下方的一条直线y＝t交直线l于M，使得＝恒成立，试确定t的值． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝2， ∴﹣＝2， 解得：a＝； （2）当x＝0时，y＝c， ∴C（0，c）， ∴OC＝c， ∵OB＝2OC， ∴B（2c，0）， 将B（2c，0）代入y＝ax2﹣x+c，得4ac2﹣6c＝0， 解得：c＝0（舍）或c＝， ∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣x+， 当y＝0时，ax2﹣x+＝0， 解得x＝或x＝， ∴A（，0），B（，0）， ∴AB＝， 过点A作AG⊥BC交于点G，如图： ∵OC＝c＝，OB＝2c＝， ∴BC＝c＝， ∵∠OBC＝∠GBA，∠COB＝90°＝∠AGB， ∴△COB∽△AGB， ∴＝＝，即＝＝， ∴AG＝，BG＝， ∴CG＝BC﹣BG＝﹣＝， ∴AC＝＝， ∴sin∠ACB＝＝＝， ∴sin∠ACB的值是； （3）设点E、F、M的横坐标分别为m、n、x， 由题意得：y＝a（x﹣）2﹣＝a（x2﹣7x+）﹣， 则﹣7a＝﹣，则a＝， 即抛物线的表达式为：y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x+3， 联立y＝kx和y＝＝x2﹣x+3并整理得：x2﹣（7+2k）x+6＝0， 则m+n＝7+2k，mn＝6， 过点E作EH⊥y轴于点H，则EH∥l，设直线l交y轴于点T， 则△NEH∽△NMT， ∴＝， 同理可得：， ∵＝， 则＝＝， 整理得：﹣7x＝mn﹣x（m+n）＝6﹣x（2k+7）， 则kx＝﹣＝t， 即t＝﹣． 16．（2023•亭湖区校级模拟）已知抛物线，点F（2，﹣2）．过F的直线L与抛物线C1交于点M、N． （1）如图1，当MN平行x轴时，＝　1　； （2）如图2过F的直线L与抛物线C1交点M（m，n）满足0＜m＜2，则线段MF的长＝　﹣n　（用含n的式子表示）； （3）如图2过F的直线L与抛物线C1交点M（m，n）满足0＜m＜2，试探究值是否不变？如果是定值，请给出解答过程，如果不是定值，请说明理由； （4）将抛物线C1作适当的平移，得抛物线，若t≤x＜﹣1时，y2≥x恒成立，请直接写出t的最小值 　﹣9　． 【解答】解：（1）当y＝﹣2时，﹣x2+x﹣2＝﹣2， 解得x＝0或x＝4， ∴M（0，﹣2），N（4，﹣2）， ∴MF＝2，NF＝2， ∴＝1， 故答案为：1； （2）∵过F的直线L与抛物线C1交点M（m，n）， ∴n＝﹣m2+m﹣2， ∴m＝2﹣2或m＝2+2， ∴0＜m＜2， ∴m＝2﹣2， ∴MF＝＝＝﹣n， 故答案为：﹣n； （3）值不变，理由如下： 设N（p，q），由（2）可知，p＝2+2， ∴NF＝﹣q， 设MN的直线解析式为y＝k（x﹣2）﹣2＝kx﹣2k﹣2， 当kx﹣2k﹣2＝﹣x2+x﹣2时，m+p＝4﹣4k，mp＝﹣8k， ∴n+q＝﹣4﹣4k2，nq＝4+4k2， ∴＝﹣﹣＝﹣＝1， ∴是定值1； （4）∵t≤x＜﹣1时，y2≥x恒成立， ∴t≤x＜﹣1时，函数的图象在直线y＝x的上方， 当﹣（x﹣h）2＝x时，整理得x2﹣（2h﹣4）x+h2＝0， 方程的两个根分别是x＝﹣1或x＝t， ∴2h﹣4＝t﹣1， ∴t＝2h﹣3， 当t＝2h﹣3时，﹣（2h﹣3﹣h）2＝2h﹣3， 解得h＝1（舍）或h＝﹣3， ∴t＝﹣9， 当﹣9≤t＜1时，y2≥x恒成立， ∴t的最小值为﹣9， 故答案为：﹣9． 17．（2023•硚口区模拟）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图1，连接AC，BC，点P在抛物线上，且∠PCA＝∠BCO，求点P的坐标； （3）如图2，直线l：y＝kx（k＜0）与抛物线交于点E，F（点E在点F的左边），与抛物线的对称轴交于点N，直线y＝t（t＞0）交直线l于点M（点M在点E的左边），使恒成立，求t的值． 【解答】解：（1）令x＝0，得：y＝3， ∴C（0，3）， 令y＝0，得：﹣x2﹣2x+3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）； ∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）； （2）①如图1，当P点在第三象限时，过点B作BD⊥BC交PC于点D，过点D作DE⊥AB于点E， ∵OA＝OC＝3， ∴∠ACO＝45°， ∵∠PCA＝∠BCO， ∴∠BCD＝45°， ∵∠CBD＝90°， ∴∠BDC＝∠BCD＝45°， ∴BC＝BD， ∵∠EBD+∠CBO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°， ∴∠EBD＝∠BCO， 又∵∠DEB＝∠BOC＝90°， ∴△BED≌△COB（ASA）， ∴DE＝BO＝1，BE＝OC＝3， ∴D（﹣2，﹣1）， 设CD的解析式为：y＝kx+3，将D（﹣2，﹣1）代入，得： k＝2， ∴y＝2x+3， ∴2x+3＝﹣x2﹣2x+3， 解得：x1＝﹣4，x2＝0（舍去）， ∴P点的坐标为（﹣4，﹣5）； ②如图2，当点P在第二象限时，在OA上取一点F，使得OF＝OB＝1，过点F作FG⊥FC，且FG＝FC，过点G作GH⊥AO，连接CG， ∵FC＝FG，且FG⊥FC， 同理可证：△FGH≌△CFO（ASA）， ∴GH＝OF＝1，FH＝OC＝3， ∴G点的坐标为（﹣4，1）， 设直线CG的解析式为y＝mx+3，将（﹣4，1）代入得： m＝， ∴y＝， 由得： ，x2＝0（舍去）， ∴P点的坐标为， ∴P点的坐标为（﹣4，﹣5）或； （3）过点E作ET⊥直线y＝t于点T，EP⊥对称轴于点P，直线y＝t交对称轴于点H，过点F作FG⊥对称轴于点G，则有： ，， 又∵， ∴， 又∵M，对称轴为＝﹣1， ∴， 整理得：， 由kx＝﹣x2﹣2x+3，整理得：x2+（k+2）x﹣3＝0， ∴xE+xF＝﹣k﹣2，xE•xF＝﹣3， ∴， 解得：t＝4， ∴t的值为4． 18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”． （1）判断：①y＝﹣x和y＝2x；②和；③，其中互为“友好函数”的是 　①②　（填序号）． （2）若函数y＝2x﹣4的“友好函数”与反比例函数的图象在第一象限内有两个交点点C和点D． ①求m的取值范围； ②若△COD的面积为，求m的值． （3）若M（1，m），N（3，n），P（t，m）三个不同的点均在二次函数y＝﹣ax2+（1﹣b）x﹣c（a，b，c为常数，且a＞0）的“友好函数”的图象上，且满足m＜n＜c，若存在常数w，使得恒成立，求w的取值范围． 【解答】解：（1）y＝﹣x图象上的点（x，﹣x）和y＝2x图象上的点（x，2x）关于（x，x）成中心对称， ∴y＝﹣x和y＝2x是“友好函数”； y＝x+3图象上的点（x，x+3）和y＝x﹣3图象上的点（x，x﹣3）关于（x，x）成中心对称， ∴y＝x+3和y＝x﹣3是“友好函数”； y＝x2+1图象上的点（x，x2+1）和y＝x2﹣1图象上的点（x，x2﹣1）不关于（x，x）成中心对称， ∴不是“友好函数”； ∴互为“友好函数”的是①②， 故答案为：①②； （2）①根据“友好函数”的定义得：， ∴， ∴y2＝﹣x+4，即函数y＝2x﹣4的“友好函数”解析式为y＝﹣x+4， ∵反比例函数 的图象与直线y＝﹣x+4在第一象限内有两个交点， ∴方程 有两个不相等的实数根，且两根均为正数， 整理得：x2﹣4x+m＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0且m＞0， 解得：0＜m＜4； ②记直线y＝﹣x+4与坐标轴的交点为A，B，如图， 在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝4， ∴A（0，4），B（4，0）， 设C，D的横坐标分别为 x1，x2， ∴x1，x2 是方程 x2﹣4x+m＝0 的两根， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝m， ∵S△COD＝5， ∴S△AOB﹣S△AOC﹣S△BOD＝5， ∴×4×4﹣×4•x1﹣×4•＝5， 将 x1x2＝m 代入上式得： 8﹣2x1﹣2×＝5， 解得：x1＝2﹣， ∵x1+x2＝4， ∴2﹣+x2＝4， 解得：x2＝2+， ∴m＝x1•x2＝（2﹣）×（2+）＝， ∴m的值为； （3）由＝x得：y2＝ax2+bx+c， ∴y＝﹣ax2+（1﹣b）x﹣c （a≠0）的“友好函数”解析式为 y＝ax2+bx+c， ∵M（1，m），N（3，n）在函数 y＝ax2+bx+c 的上， ∴m＝a+b+c，n＝9a+3b+c， ∵m＜n＜c， ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c， ∴a+b＜9a+3b＜0， ∵a＞0， ∴3＜﹣＜4， ∵点M（1．m），P（t，m）的纵坐标相等， ∴抛物线对称轴为直线x＝，即， ∴﹣＝t+1， ∴3＜t+1＜4， 解得：2＜t＜3， 设h＝﹣t2﹣t+2＝﹣（t+2）2+3， 当t＝2时，h＝﹣1； 当t＝3时，h＝﹣； ∴﹣＜h＜﹣1， ∵恒成立， ∴w+≥﹣1， ∴w≥﹣． 19．（2023•天心区二模）如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线l：y＝kx+b经过点B，与y轴负半轴交于点D． （1）若D（0，﹣8），且DB＝DC，求a的值； （2）如图2，若点D为△ABC的内心，且△ABC的内切圆半径为3，直线BD上是否存在点P（不与点D重合），使得△BCP与△BCD相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图3，点E是抛物线F1与直线l的另一个交点，已知OC＝2OD，且△BCE的面积为9．此时，对于在抛物线上且介于点E与点B之间（含B与E）的动点Q（x0，y0），总能使不等式及不等式恒成立，求m的取值范围． 【解答】解：（1）在y＝ax2﹣36a中，令y＝0，得：ax2﹣36a＝0， 解得：x1＝﹣6，x2＝6， ∴A（﹣6，0），B（6，0）， ∴OA＝OB＝6， ∵抛物线F1：y＝ax2﹣36a（a＞0）与y轴交于点C， ∴C（0，﹣36a）， ∵D（0，﹣8）， ∴OD＝8，DC＝﹣8﹣（﹣36a）＝36a﹣8， 在Rt△BOD中，DB＝＝＝10， ∵DB＝DC， ∴10＝36a﹣8， ∴a＝； （2）存在．理由如下： ∵A（﹣6，0），B（6，0），C（0，﹣36a）， ∴OA＝OB＝6，∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵点D为△ABC的内心，且△ABC的内切圆半径为3， ∴D（0，﹣3）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线BD的解析式为y＝x﹣3， ∵OC＝36a， ∴AC＝BC＝＝， ∴S△ABC＝×3（AB+AC+BC）＝AB•OC， ∴×3（12+2）＝×12×36a， 整理得：＝12a﹣1， 两边平方，化简得：a（9a﹣2）＝0， ∵a＞0， ∴a＝， ∴C（0，﹣8）， ∴OC＝8， 由勾股定理得：BC＝＝10，BD＝＝3， 设P（t，t﹣3），则BP＝＝（6﹣t）， ∵∠CBD＝∠PBC，△CBD∽△PBC， ∴＝， ∴BC2＝BD•BP，即102＝3×（6﹣t）， 解得：t＝﹣， ∴P（﹣，﹣）， ∴直线BD上存在点P（不与点D重合），使得△BCP与△BCD相似，P（﹣，﹣）； （3）由（1）知：B（6，0），C（0，﹣36a）， ∵OC＝2OD， ∴D（0，﹣18a）， ∵直线l：y＝kx+b经过点B，与y轴负半轴交于点D， ∴， 解得：， ∴直线l解析式为：y＝3ax﹣18a， ∵点E是抛物线F1与直线l的另一个交点， ∴， 解得：（舍去），， ∴E（﹣3，﹣27a）， ∴S△BCE＝×DC×（3+6）＝×[﹣18a﹣（﹣36a）]×9＝81a， ∵△BCE的面积为9， ∴81a＝9， 解得：a＝， ∴E（﹣3，﹣3）， ∵动点Q（x0，y0）在点E与点B之间（含B与E）， ∴﹣3≤x0≤6，﹣4≤y0≤0， 当x0＝﹣2时，﹣﹣x0+＝﹣（x0+2）2+， ∵﹣＜0，且﹣3≤x0≤6， ∴当x0＝﹣2时，（﹣﹣x0+）取得最大值，即（﹣﹣x0+）max＝5.25， 当y0＝0时，（﹣）取得最小值，即（﹣）min＝6.19， 又∵m≥（﹣﹣x0+）max＝5.25，及m≤（﹣）min＝6.19， ∴5.25≤m≤6.19． 20．（2023•滨湖区校级一模）如图，直线交x轴于点C，交y轴于点A，抛物线过点A，与x轴交于点B、C． （1）求该抛物线的解析式． （2）如图1，点P在抛物线上，横坐标为2．Q是抛物线上的动点，且在直线AC上方．若S△QAC＞3S△PAC恒成立，求点Q的横坐标xQ的取值范围． （3）如图2，连接AB，点M（m，0）为x轴上一动点，将△OAB绕点M逆时针旋转90°，得到△O′A′B′，若△O′A′B′的边与抛物线有交点，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）由，当x＝0时，得y＝﹣2， 当y＝0时，x＝4， ∴C（4，0），A（0，﹣2）， 代入，得， ， 解得：， 解得：， （2）如图所示，过点B作AC的平行线， ∵P点的横坐标为2，当x＝2时， 则P（2，﹣2） ∵A（0，﹣2），C（4，0）， ∴ 设直线AC的解析式为y＝kx﹣2，将点C（4，0）代入得， 则4k﹣2＝0，解得 ∵B（﹣2，0）， ∴ ∴S△ABC＝3S△APC， 设过点B的直线l的解析式为，将点B（﹣2，0）代入，得， 解得：b＝1， ∴线l的解析式为， 联立， 解得：或， 则直线l与抛物线的另一个交点为（6，4）， 依题意，S△QAC＞3S△PAC恒成立， ∴点Q的横坐标xQ的取值范围为x＜﹣2或x＞6． （3）解：如图所示， ∵OA＝OB＝2，则△OAB是等腰直角三角形， ∴△O′A′B′是等腰直角三角形， ∵点M（m，0）为x轴上一动点，将△OAB绕点M逆时针旋转90°，得到△O′A′B′， ∴OM＝O′M， 根据图象可知，O′在直线y＝﹣x上运动， ∴当O′与点P重合时，△O′A′B′的顶点与抛物线有交点，此时MO′＝AP＝2， 即m＝2， 当B′与点A重合时，此时m＝0 ∴0≤m≤2时，△O′A′B′的边与抛物线有交点， 当B′与点B重合时，此时m＝﹣2， 当A′在抛物线上，此时MO′＝MO＝m，A′（m+2，﹣m）， 代入抛物线解析式即：﹣m＝m2+﹣2， 解得：m＝﹣3+（舍去）或m＝﹣3﹣， ∴当﹣时，△O′A′B′的边与抛物线有交点， 综上所述，﹣3﹣≤m≤﹣2或0≤m≤2时，△O′A′B′的边与抛物线有交点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$