专题21.12 一元二次方程（全章常考核心知识点分类专题）（基础练）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.12 一元二次方程（全章常考核心知识点分类专题）（基础练） 考点目录： 【考点1】一元二次方程的定义； 【考点2】一元二次方程的解（整体思想）； 【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程； 【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程； 【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程； 【考点6】配方法求（最）值与比较大小； 【考点7】 根的判别式求取值范围或证明； 【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想； 【考点9】韦达定理与根的判别式综合； 【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值； 【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）； 【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）； 【考点13】一元二次方程一次函数问题； 1、 选择题 【考点1】一元二次方程的定义； 1．若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A．2，3 B．3，1 C． D． 【考点2】一元二次方程的解（整体思想）； 3．已知m是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．2024 B．2023 C．2021 D．2020 4．已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，2 D．，2 【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程； 5．若，则等于（    ） A．4 B． C． D．或4 6．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程； 7．是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 8．关于的一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．1和2 D．和2 【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程； 9．下列方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 10．若分式的值为零，则x的值为(     ) A．3 B．3或-3 C．-3 D．0 【考点6】配方法求（最）值与比较大小； 11．已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【考点7】 根的判别式求取值范围或证明； 13．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 14．已知一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想； 15．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 16．已知a，b是方程的两根，则代数式的值是（　　） A．19 B．20 C．14 D．15 【考点9】韦达定理与根的判别式综合； 17．已知方程有两个同号的实数根，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 18．关于x的方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．或3 B． C．3 D．或1 【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值； 19．已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 20．四边形中，，且，长是关于x的方程的两个实数根，则四边形是（　　） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．平行四边形或梯形 【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）； 21．我校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%.设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（    ） A． B． C． D． 22．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）； 23．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 24．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C，D．当矩形的面积为4时，点P的坐标为（    ）    A． B． C．或 D．或 【考点13】一元二次方程一次函数问题. 25．在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于x的方程的实根的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 26．若关于x的一元二次方程有实数根，则直线一定不经过第几象限（  ） A．一 B．二 C．三 D．四 2、 选择题 【考点1】一元二次方程的定义； 27．一元二次方程化为一般形式是 ． 28．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【考点2】一元二次方程的解（整体思想）； 29．已知是方程的一个根，求 ． 30．已知为方程的根，那么的值为 【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程； 31．方程的一个较小的根为 ． 32．把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ． 【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程； 33．方程的根是 ． 34．已知满足，则关于的方程的解是 【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程； 35．如果方程，那么 ． 36．无论x取何值，分式总有意义，则m的取值范围是 ． 【考点6】配方法求（最）值与比较大小； 37．已知代数式，则A的最小值为 ． 38．已知，求 ． 【考点7】 根的判别式求取值范围或证明； 39．已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为 ． 40．若关于x的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围是 ． 【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想； 41．若a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 42．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【考点9】韦达定理与根的判别式综合； 43．一元二次方程和所有实数根的和为 ． 44．若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值； 45．已知平行四边形的两条邻边长，的长分别是关于x的方程的两个实数根，当 时，四边形是菱形． 46．平行四边形两邻边长分别为的两根，则其周长为 ． 【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）； 47．某商场在“五·一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 48．香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元． 【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）； 49．一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于，其中较小正方形的边长为 ． 50．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为 ．    【考点13】一元二次方程一次函数问题； 51．如图，点的坐标为，直线与坐标轴交于点，，连接，如果，则 ． 52．若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据的二次项系数和一次项系数分别是，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴二次项系数和一次项系数分别为 故选：D 3．A 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值．由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．C 【分析】根据方程的两个根分别为，3，得到，或，即可求解， 本题考查了，一元二次方程的解，解题的关键是：理解方程的解． 【详解】解：∵的两个根分别为，3， ∴中，，或， 解得：或， 故选：C． 5．D 【分析】用直接开方法求解即可， 本题考查了，直接开方法解一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握直接开方法． 【详解】解：∵ ∴ ∴或， ∴或， 故选：． 6．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值（若，方程无实数根）；在的前提下，把的值代入公式进行计算求出方程的根，解题的关键是掌握去根公式． 【详解】解：、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，x，符合题意； 故选：． 8．D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了解无理方程和解分式方程，能把分式方程转化成整式方程和能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 先把方程两边平方得出，整理后根据根的判别式即可判断选项A；移项后两边平方，即可判断选项B；方程两边都乘求出，再进行检验，即可判断选项C，方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验，即可判断选项D． 【详解】解：A．， 两边平方得：， 整理得：， ， 所以方程无实数根，故本选项不符合题意； B．， ， 两边平方得：， 即， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； C．， 方程两边都乘，得， 经检验是增根， 即分式方程无实数根，故本选项不符合题意； D．， 两边平方得：， 即， 解得：或， 经检验不是原方程的解，是原方程的解， 即方程有实数根，故本选项符合题意； 故选：D． 10．C 【分析】分式值为零的条件：分子为0且分母不为0时，分式值为零． 【详解】解：由题意得，解得，则x=-3 故选C． 【点睛】本题考查分式值为零的条件，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式值为零的条件，即可完成． 11．C 【分析】根据配方法的即可求出答案． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 12．B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴所以的最小值为， 故选：B． 13．D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 14．C 【分析】利用根的判别式的意义得到△，再把代入得到，所以，，由于，则，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：方程有两个相等的实数根， △， ， 即， ， ， ，即， ， 而， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根． 15．B 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了一元二次方程的根．先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：B． 16．C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值，把与分别代入方程得到，，根据根与系数的关系得到，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ 故选：C． 17．B 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键． 首先根据有两个实数根得到，求出，然后由两根同号得到，求出，即可求解． 【详解】∵方程有两个同号的实数根， ∴ 解得； ∵两根同号， ∴ ∴解得 ． 故选：B． 18．B 【分析】此题考查根的判别式，根与系数的关系，解题关键在于得到m的方程．根据根与系数的关系，解方程；再由方程有两个相等的实数根得出，解方程；由相同的解得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得或， ∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得或 ∴综上， 故选B． 19．B 【分析】此题考查了正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系. 首先根据正方形的性质得到，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，进而求出，即可得到正方形的周长． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∵正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根， ∴， ∴ ∴正方形的周长为． 故选：B． 20．C 【分析】、长是关于x的方程的两个实数根，即判别式，可得到与的关系，再判定四边形的形状． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． ∴， ∵， ∴四边形是梯形． 故选：C． 【点睛】本题利用了一元二次方程的根的判别式与根的关系，根据方程根的情况判断和的长度关系是解题的关键． 21．B 【分析】根据今年的近视学生人数是前年近视学生人数的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：． 故选：B 22．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可． 【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得： ， 故选：D． 23．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 24．D 【分析】设，根据矩形的面积为4求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意可得：，化简可得： 解得或 即点的坐标为：或 故选：D 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了一次函数的性质，解题的关键是理解题意，正确的列出方程． 25．D 【分析】本题考查根的判别式．根据一次函数不过第一象限，得到，再求出判别式的符号，进而得出结果即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵直线不经过第一象限， ∴， ∵， 当，方程为一元一次方程，为，解得：； 方程有一个实数根， 当时，方程为一元二次方程， ∵， ∴方程有2个实数根． 故选D． 26．B 【分析】先根据一元二次方程有实数根得到，求出，即可得到一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， ∴ ∴一次函数的图象一定不经过第二象限． 故：B． 【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的判别式，一次函数的图象等知识．一元二次方程 的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．熟知一元二次方程根的判别式和一次函数的图象与性质是解题关键． 27． 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开，将方程转化为的形式即可． 【详解】解：， 整理，得：； 故答案为：． 28．1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， 解得，； 故答案为：1． 29．3 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题中的整体代入思想． 因为是方程的一个根，所以，然后把代入即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ． 故答案为：3． 30． 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 31．/ 【分析】本题考查了解一元二次方程通过直接开平方法解得，则易求该方程的两个根，通过比较即可知该方程的较小的根为． 【详解】解：由原方程，得 ， 解得，，． ，即 ，即方程的一个较小的根为． 故答案为：． 32． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方得，进而得出，即可求解． 【详解】解： 配方，得 ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 33．， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．注意：不要忽视x的取值范围，将方程两边同时除以x，导致漏掉这个实数根． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，， 故答案为：，． 34．， 【分析】由可得，，进而可得，即可得到方程的解． 【详解】解：∵ ∴，，解得，， 则方程变形为，整理，得， 解得，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了二次根式、绝对值、解一元二次方程等知识，掌握绝对值和二次根式的意义是解题的关键． 35．2 【分析】根据解无理方程的解法，即可求解， 本题考查了，解无理方程，解题的关键是：注意验根． 【详解】解：， 移项，得， 两边平方，得， 整理得， 解得，， 检验：当时，方程左边右边，则为原方程的解； 当时，方程左边右边，则不是原方程的解； 所以原方程的解为． 故答案为：2． 36．m＞1 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：当x2+2x+m≠0时，总有意义， ∴△=4-4m＜0， 解得，m＞1 故答案为m＞1． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 37． 【分析】本题考查了配方法的应用； 先利用配方法把代数式配成完全平方式的形式，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴，即A的最小值为， 故答案为：． 38． 【分析】把原式子化为，根据完全平方式的非负性解出x，y，代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查配方法，非负数的性质，掌握用配方法把原方程化为非负数的和为0的形式是解题的关键． 39．1或2 【分析】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由一次函数的图像不过第三象限，得，分类讨论，当时，方程为一元一次方程，有1个根；当时，方程为一元二次方程，根据判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图像不过第三象限， ∴， 当时，，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个； 当时，，由于， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1或2． 故答案为：1或2． 40．且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，根的判别式大于0， “二次项系数不为0”，是解决问题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 41．4 【分析】本题考查根与系数的关系及一元二次方程的解，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．由题意可得，，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为： 42． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握，．把代入原方程得 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，整理，即可求解． 【详解】解：把代入原方程得：， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 故答案为：4049． 43． 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题．学生必须掌握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根．根据根与系数的关系可知，两根之和等于，两根之积等于，由两个一元二次方程分别找出，和的值，计算出两根之和，然后再把所有的根相加即可求出所求的值． 【详解】解：由， 得到：，，， ，即方程有两个不等的实数根， 设两根分别为和， 则； 由， 找出，，， ， 此方程没有实数根． 综上，两方程所有的实数根的和为． 故答案为： 44．或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得：，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的值，再利用判别式检验即可得出答案． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由题意得：，，， ， ， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 综上所述，实数的值是或， 故答案为：或． 45． 【分析】本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可解题． 【详解】解：由题可得：， 则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 46． 【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，即可确定出平行四边形的周长． 【详解】解：设方程的两根分别为a，b， 由根与系数关系得：a+b=6， ∵平行四边形两邻边长分别为的两根， ∴其周长为：， 故答案为：． 【点晴】本题考查了根与系数的关系，以及平行四边形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 47． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每次降价的百分率为，利用该玩具经过两次降价后的价格该玩具的定价每次降价的百分率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 每次降价的百分率为． 故答案为：． 48．80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件， 根据题意得：， 整理得： 解得： 又∵要尽快减少库存， ∴， ∴每件应降价80元． 故答案为：80． 49．4 【分析】考查了一元二次方程的应用，此题要数形结合，结合图形，设出未知数，然后根据题意列出方程，利用方程即可解决问题． 本题可设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，又因两个正方形的面积和等于，则可列出方程求解即可． 【详解】解：设一个正方形的边长为， 正方形的四边相等， 此正方形的周长是，另一个正方形的边长是， 根据题意得， 解得，． 当时，； 当时，， 所以另一个正方形的边长为和． 较小正方形的边长为． 故答案为：4． 50．3或5/5或3 【分析】根据题意，知，则可求出，再由面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ， ∵五边形的面积等于， ∴ ， 矩形， ， ， ， ∴3秒或5秒后五边形的面积等于． 故答案为：3或5． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用．利用长方形的性质与三角形面积，找出等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键． 51． 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得到点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为，由，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：直线与坐标轴交于点，， 点的坐标为，，点的坐标为， 点的坐标为，， ， ，， ， 即 解得，（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，一次函数与坐标轴交点问题，解一元二次方程，掌握勾股定理是解题的关键． 52．第二象限 【分析】本题考查了解一元二次方程和一次函数的图象与系数的关系，先配方，求出、的值，再根据一次函数的图象与系数的关系得出即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴直线为， ∵ ∴图象不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$