精品解析：山东省滨州市邹平市邹平市黄山实验初级中学2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试题

初二下学期数学期中考试试题 （满分120分 时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ） A. 4和6 B. 6和8 C. 8和12 D. 20和30 2. 下列曲线中能表示是的函数的是（　　） A. B. C D. 3. 点在第一象限内，且，点的坐标为．设的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（ ） A. B. C. D. 4. 期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，”依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对（ ） A. 平均数、众数 B. 中位数、众数 C 中位数、方差 D. 平均数、中位数 5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. OB＝OD，OA＝OC B. AD∥BC，AB＝CD C. AB∥CD，AD∥BC D. AB∥CD，AB=CD 6. 如图，四边形为菱形，对角线，交于点，，垂足为．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 知一次函数中，x取不同值时，y对应的值列表如下：则不等式（中k，b，m，n为常数）的解集为（ ） x … 2 3 … y … 0 … A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随x的增大而减小 B. C. 当时， D. 方程组的解为 10. 甲、乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ） A. 甲车行驶到距城240km处，被乙车追上 B. A城与B城的距离是300km C. 乙车平均速度是80km/h D. 甲车比乙车早到B城 11. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 12. 如图，矩形ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，AB＝2，AD＝4，动点P沿EC，CD，DF的路线由点E运动到点F，则△PAB的面积s是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空（每小题4分，共24分） 13. 若一次函数图像不经过第二象限，则k的取值范围是______. 14. 数据的平均数是4，方差是3，则数据的平均数和方差分别是_________，___________． 15. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____． 16. 如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，正方形绕点自由转动，设两个正方形重叠部分（阴影）的面积为，正方形的面积为．则与的关系是_______． 17. 如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图像如图2所示，则矩形的周长是___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（1，2），点B在第一象限，将直线y=-2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边BC有交点，则m的取值范围是_____________. 三、解答题（共0分） 19. 如图，在四边形中，，于点H，于点G，且．求证：四边形为平行四边形． 20. 已知，如图，一次函数的图象经过了点P(3，2)和B(0，﹣2)，与x轴交于点A （1）求一次函数的解析式； （2）点M在y轴上，且ABM的面积为，求点M的坐标． 21. 我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（） 初中部 a 85 b 高中部 85 c 100 160 （1）根据图示计算出a、b、c的值； （2）结合两队成绩平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？ （3）计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 22. 如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由. （2）若，，求四边形的面积． 23. 鲜花是云南的名片，更是云南送给世界的礼物．在日新月异的技术加持下，云南鲜花为各地带去了来自高原的芬芳与绚烂．元旦前夕，某批发商购进两种类型的玫瑰花共100束，其中种类型的玫瑰花价格为每束25元，购买种类型的玫瑰花所需费用（单位：元）与购买数量（单位：束）的函数关系图象如图所示． （1）求与的函数关系式； （2）若购买种类型玫瑰花所需的数量不超过60束，但不少于种类型玫瑰花的数量，试问如何购买能使购买费用最少，并求出最少费用． 24. 如图，直线的图像与轴、轴分别交于，两点，且． （1）求点坐标和值． 【问题探究】 （2）点在直线的图像上，当点的横坐标是时，求的面积； 【问题发现】 （3）若点是直线图像上在第二象限内的一个动点，求的面积与的函数关系式； 【问题拓展】 （4）①问题（3）中当点运动到某位置时，的面积为，求此时点坐标； ②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二下学期数学期中考试试题 （满分120分 时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ） A. 4和6 B. 6和8 C. 8和12 D. 20和30 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边逐项判断即可． 【详解】解：如图，设AB=10，对角线相交于点E， 它的两条对角线的长为4和6时，，不符合题意； 它的两条对角线的长为6和8时，，不符合题意； 它的两条对角线的长为8和12时，，不符合题意； 它的两条对角线的长为20和30时，设AE=15，BE=10，，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系，解题关键是明确两条较短边的和大于最长边可构成三角形． 2. 下列曲线中能表示是的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数表达式的三种表示之一图象法，根据函数定义，在自变量的取值范围内，有且只有一个值，从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．理解函数定义，掌握判断图象是否是函数关系的方法是解决问题的关键． 【详解】解：对于D选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、C三个选项中图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示是的函数； 故选：D． 3. 点在第一象限内，且，点的坐标为．设的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在第一象限内，且，点坐标为，从而可以得到关于的函数关系式，从而可以解答本题． 【详解】解：点在第一象限内，且，点的坐标为， ，，可排除B、D选项， ，可排除A选项． 故选：C． 【点睛】本题考查函数图象、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系，利用数形结合的思想解答． 4. 期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，”依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对（ ） A. 平均数、众数 B. 中位数、众数 C. 中位数、方差 D. 平均数、中位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据两位老师的说法中的有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，可以判断90分是中位数，大部分的学生都考在85分到90分之间，可以判断众数． 【详解】解：∵有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分， ∴90分是这组数据的中位数， ∵大部分的学生都考在85分到90分之间， ∴众数在此范围内， 故选：B． 【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语． 5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. OB＝OD，OA＝OC B. AD∥BC，AB＝CD C. AB∥CD，AD∥BC D. AB∥CD，AB=CD 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：选项A，由OB＝OD，OA＝OC知对角线互相平分，可以判断四边形ABCD是平行四边形； 选项B，由AD∥BC，AB＝CD知一组对边平行，另一组对边相等，这样的四边形有可能是等腰梯形，不可以判断四边形ABCD是平行四边形； 选项C，由AB∥CD，AD∥BC知两组对边分别平行，可以判断四边形ABCD是平行四边形； 选项D，由AB∥CD，AB=CD知一组对边平行且相等，可以判断四边形ABCD是平行四边形； 故答案为：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，需要熟练掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 6. 如图，四边形为菱形，对角线，交于点，，垂足为．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．由菱形的性质和勾股定理得，再由，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：C． 7. 知一次函数中，x取不同值时，y对应的值列表如下：则不等式（中k，b，m，n为常数）的解集为（ ） x … 2 3 … y … 0 … A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握表格数据信息，一次函数的增减性，是解决本题的关键． 根据表格中数据知时，，时，，得出不等式（其中k，b，m，n为常数）的解集为． 【详解】由表格可得， 时，， 时，， 知时， (其中k，b，m，n为常数)． 故选：A． 8. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EH=BD，EH//BD，FG=BD，FG//BD，EF=AC，EF//AC，HG=AC，HG//AC， ∴EH=FG，EH//FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 当对角线AC⊥BD时，则∠HEF=90°， ∴四边形EFGH是矩形，故①符合题意； 当对角线BD=AC时，则EF=EH， ∴四边形EFGH是菱形，故②符合题意； 当四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD不一定互相平分，故③不符合题意； 若四边形EFGH是正方形， ∴EH⊥HG，EH=HG， ∴AC⊥BD，AC=BD， ∴AC与BD互相垂直且相等，故④符合题意； 综上，正确的是①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形． 9. 在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随x的增大而减小 B. C. 当时， D. 方程组的解为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图象可知，一次函数与y轴交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 10. 甲、乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ） A. 甲车行驶到距城240km处，被乙车追上 B. A城与B城的距离是300km C. 乙车的平均速度是80km/h D. 甲车比乙车早到B城 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象即可判断． 【详解】由图象可知，A城与B城的距离是300km，故B选项正确； 甲车的速度，， 甲车行驶到距城240km处，被乙车追上，故A选项正确； 乙车的速度，故C选项正确； 乙车比甲车先到达B城，故D选项不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 11. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值． 【详解】如图：连接BE， ， ∵菱形ABCD， ∴B、D关于直线AC对称， ∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小 ∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．， ∵菱形ABCD，，点， ∴，， ∴ ∴△CDB是等边三角形 ∴ ∵点是的中点， ∴,且BE⊥CD， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长． 12. 如图，矩形ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，AB＝2，AD＝4，动点P沿EC，CD，DF的路线由点E运动到点F，则△PAB的面积s是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是（　　） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析△PAB的面积的变化趋势即可． 【详解】解：根据题意当点P由E向C运动时，△PAB的面积匀速增加，当P由C向D时，△PAB的面积保持不变，当P由D向F运动时，△PAB的面积匀速减小但不为0． 故选：C． 【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了函数图象的性质，分析动点到达临界点前后函数值变化是解题关键． 二、填空（每小题4分，共24分） 13. 若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象不经过第二象限列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数图形不经过第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 数据的平均数是4，方差是3，则数据的平均数和方差分别是_________，___________． 【答案】 ①. 5 ②. 3 【解析】 【分析】由于数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的每个数比原数据大1，则新数据的平均数比原数据的平均数大1；由于新数据的波动性没有变，所以新数据的方差与原数据的方差相同． 【详解】解：∵数据x1，x2，x3，x4的平均数是4， ∴ ∴ ∴数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的平均数为5， ∵数据x1，x2，x3，x4的方差是3， ∴ ∴ ∴数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的方差为3． 故答案为5，3． 【点睛】本题考查了方差的计算：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数的计算． 15. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____． 【答案】5 【解析】 【分析】连接OB，利用勾股定理求出OB的长，即为AC的长． 【详解】如图，连接OB， ∵B的坐标为（4，3）， ∴ ∵四边形OABC是矩形 ∴AC=OB=5 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查求矩形对角线的长，解题的关键是熟知矩形对角线相等． 16. 如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，正方形绕点自由转动，设两个正方形重叠部分（阴影）的面积为，正方形的面积为．则与的关系是_______． 【答案】S1=S2 【解析】 【分析】由“ASA”可证△AOE≌△BOF，可得S△AOE=S△BOF，进而可得结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，AC⊥BD，∠BAD=∠ABC=90°， ∴∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠EOF=90°， ∴∠AOE+∠BOE=∠BOF+∠BOE， ∴∠AOE=∠BOF， 在△AOE和△BOF中，， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴S△AOE=S△BOF， ∴四边形EOFB的面积S1=S△AOB=S2， 故答案为：S1=S2． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，正方形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 17. 如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图像如图2所示，则矩形的周长是___________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据图像分析，当，可求得,当时，可求得,进而利用勾股定理求得对角线的长度． 【详解】根据图像当，△MNR的面积y逐渐增大， 可知，， 当时，△MNR的面积不变， 可知：， 四边形是矩形， 矩形的周长为 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数图像的应用，读懂函数图像是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（1，2），点B在第一象限，将直线y=-2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边BC有交点，则m的取值范围是_____________. 【答案】4≤m≤8 【解析】 【分析】设平移后的直线解析式为y=-2x+m．根据平行四边形的性质结合点O、A、C的坐标即可求出点B的坐标，再由平移后的直线与边BC有交点，可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】设平移后的直线解析式为y=-2x+m． ∵四边形OABC为平行四边形，且点A（2，0），O（0，0），C（1，2）， ∴点B（3，2）． ∵平移后的直线与边BC有交点， ∴， 解得：4≤m≤8． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质以及两条直线相交的问题，解题的关键是找出关于m的一元一次不等式组． 三、解答题（共0分） 19. 如图，在四边形中，，于点H，于点G，且．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，运用证明是解题的关键．先证明得到，再结合得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵于点H，于点G， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 20. 已知，如图，一次函数的图象经过了点P(3，2)和B(0，﹣2)，与x轴交于点A （1）求一次函数的解析式； （2）点M在y轴上，且ABM的面积为，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2）M(0，3)或(0，) 【解析】 【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，然后把B、P两点的坐标代入解析式，计算求解即可； （2）根据，先求出A点的坐标，得到OA的长，从而计算出BM的长确定M的坐标即可. 【详解】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b， 把点P（3，2）和B（0，）代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）当y＝0时，，解得x＝，则A（，0）， ∴ ∵点M在y轴上，且△ABM的面积为， ∴， ∴BM＝5， ∵B（0，）， ∴M（0，3）或（0，）． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 21. 我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（） 初中部 a 85 b 高中部 85 c 100 160 （1）根据图示计算出a、b、c的值； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？ （3）计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1），，； （2）初中部的成绩较好 （3）70，初中选手成绩比较稳定 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，掌握相关定义和公式，是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数的计算方法，计算即可； （2）根据平均数和中位数的大小关系进行说明即可； （3）根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可． 【小问1详解】 解：初中部5名选手的成绩为：75，80，85，85，100， ∴，众数； 高中部5名选手的成绩为：， ∴； 【小问2详解】 由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好． 【小问3详解】 ； ∵， ∴初中选手成绩较为稳定． 22. 如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由. （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）四边形是菱形．根据题意和翻折的性质，可以得到，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （）根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积； 本题考查了翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵矩形中，， ，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 23. 鲜花是云南的名片，更是云南送给世界的礼物．在日新月异的技术加持下，云南鲜花为各地带去了来自高原的芬芳与绚烂．元旦前夕，某批发商购进两种类型的玫瑰花共100束，其中种类型的玫瑰花价格为每束25元，购买种类型的玫瑰花所需费用（单位：元）与购买数量（单位：束）的函数关系图象如图所示． （1）求与的函数关系式； （2）若购买种类型玫瑰花所需的数量不超过60束，但不少于种类型玫瑰花的数量，试问如何购买能使购买费用最少，并求出最少费用． 【答案】（1） （2）购买种类型的玫瑰花40束，购买种类型的玫瑰花60束时，购买费用最少，最少费用为元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，根据图象求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法分别求出当和时的函数关系式即可； （2）设购买种类型玫瑰花的数量为束，则A种类型的玫瑰花的数量为束，总费用为元，先求出．再求出．根据一次函数的性质得到当时，有最小值为元．即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图知：当时，设函数关系式为，把点代入得到， ， 解得， ∴． 当时，设与的函数关系式为． 它的图象经过点与点． ， 解这个方程组，得， ∴， 与的函数关系式为． 【小问2详解】 设购买种类型玫瑰花的数量为束，则A种类型的玫瑰花的数量为束，总费用为元． 由题知：且，解得． ． ， 随的增大而减小． ， 当时，有最小值为元． 此时，A种类型的玫瑰花：（束）． 答：购买种类型的玫瑰花40束，购买种类型的玫瑰花60束时，购买费用最少，最少费用为元． 24. 如图，直线的图像与轴、轴分别交于，两点，且． （1）求点坐标和值． 【问题探究】 （2）点在直线的图像上，当点的横坐标是时，求的面积； 【问题发现】 （3）若点是直线图像上在第二象限内的一个动点，求的面积与的函数关系式； 【问题拓展】 （4）①问题（3）中当点运动到某位置时，的面积为，求此时点坐标； ②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点坐标为，；（2）的面积为；（3）；（4）①点坐标为时，的面积为；②存在一点，使是等腰三角形，满足条件的所有点坐标为或或或，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，涉及三角形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论． （1）由与轴相交于点，可得，根据，求出，即可求出点坐标，将点坐标代入，即可求出值； （2）求出，根据即可求解； （3）由即可求解； （4）①当时，，求出，再将代入中即可求解；②设，则，，，当时，；当时，；当时，；分别解方程即可求解． 【详解】（1）与轴相交于点， ， ， ， 点坐标为， 把点坐标代入， 得，； （2）由（1）知， 把代入 得， ， ； （3）， ； （4）①当时，， 解得，则， 点坐标为时，的面积为； ②存在一点，使是等腰三角形，理由如下： 设， ，，， 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：（不合题意，舍去）或， ； 当时，， 解得：或， 或； 综上所述，点坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$